Doctorado
  1. Classical mechanics  1.1. Mecánica newtoniana  1.1.1. Leyes del movimiento en la mecánica newtoniana  1.1.2. Dinámica de partículas y sistemas  1.1.3. Leyes de conservación  1.1.4. Movimiento de fuerza central  1.2. Mecánica lagrangiana  1.2.1. Principio de acción mínima  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. Restricciones y coordenadas normalizadas  1.2.4. Teorema de Noether  1.3. Hamiltonian mechanics  1.3.1. Ecuaciones de Hamilton  1.3.2. Conversión canónica  1.3.3. Corchete de Poisson  1.3.4. Variable de acción-ángulo  1.4. Movilidad del cuerpo rígido  1.4.1. Rotación de cuerpos rígidos  1.4.2. Tensor de momento de inercia  1.4.3. Ecuaciones de Euler en la dinámica de cuerpos rígidos  1.4.4. Movimiento giroscópico  1.5. Caos y dinámica no lineal  1.5.1. Espacio de fase y atractivo  1.5.2. Teoría de bifurcación y caos  1.5.3. Caos Hamiltoniano  1.5.4. Exponente de Lyapunov
  2. Electrodinámica  2.1. Las ecuaciones de Maxwell  2.1.1. La ley de Gauss para la electricidad  2.1.2. La ley de Gauss para el magnetismo  2.1.3. La ley de Faraday  2.1.4. La Ley de Ampère  2.1.5. Condiciones de frontera en las ecuaciones de Maxwell  2.2. Ondas electromagnéticas  2.2.1. Ecuación de onda  2.2.2. Polarización  2.2.3. Reflexión y Refracción  2.2.4. Guías de onda y resonadores  2.3. Relatividad especial  2.3.1. Transformaciones de Lorentz  2.3.2. Energía y momento relativista  2.3.3. Electrodinámica relativista  2.3.4. Espaciotiempo de Minkowski  2.4. Radiación y dispersión  2.4.1. Radiación de dipolo  2.4.2. Expansión multipolar  2.4.3. Dispersión de Compton  2.4.4. Dispersión de Thomson y Rayleigh  2.5. Física de Plasma  2.5.1. Pantalla de Debye  2.5.2. Magnetohidrodinámica  2.5.3. Inestabilidad del plasma  2.5.4. Plasma de Fusión
  3. Mecánica cuántica  3.1. Fundamentos de la mecánica cuántica  3.1.1. Principios de la mecánica cuántica  3.1.2. Función de onda e interpretación de la probabilidad  3.1.3. Principio de incertidumbre  3.1.4. Efecto túnel cuántico  3.2. Ecuación de Schrödinger  3.2.1. Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo  3.2.2. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo  3.2.3. Valores propios y funciones propias en la ecuación de Schrödinger  3.2.4. Integrales de caminos en mecánica cuántica  3.3. Operadores cuánticos  3.3.1. Conmutadores y observables  3.3.2. Operador de momento angular  3.3.3. Operador Escalera  3.3.4. Matrices de Pauli  3.4. Entrecruzamiento cuántico y medición  3.4.1. Teorema de Bell  3.4.2. Teletransportación Cuántica  3.4.3. Enredo cuántico y decoherencia cuántica en la medición  3.4.4. Entrelazamiento cuántico y medición en mecánica cuántica  3.5. Mecánica cuántica relativista  3.5.1. Ecuación de Klein–Gordon  3.5.2. Ecuación de Dirac  3.5.3. Teoría cuántica de campos  3.5.4. Integral de camino de Feynman
  4. Mecánica estadística y termodinámica  4.1. Termodinámica clásica  4.1.1. Leyes de la Termodinámica  4.1.2. Ciclo de Carnot  4.1.3. Entropía y energía libre  4.1.4. Eficiencia termodinámica  4.2. Teoría cinética de los gases  4.2.1. Distribución de Maxwell-Boltzmann  4.2.2. Fenómeno de transporte  4.2.3. Camino libre medio  4.2.4. Sistemas no equilibrados en la teoría cinética de gases  4.3. Mecánica estadística  4.3.1. Microestados y Macroestados  4.3.2. Función de partición  4.3.3. Estadísticas de Bose–Einstein y Fermi–Dirac  4.3.4. Fluctuaciones y correlaciones  4.4. Transición de fase  4.4.1. Eventos importantes  4.4.2. Teoría de Landau  4.4.3. Modelo de Ising  4.4.4. Teoría del grupo de renormalización
  5. Teoría cuántica de campos  5.1. Segunda Cuantización  5.1.1. Oscilador armónico cuántico en segunda cuantización  5.1.2. Operadores de creación y aniquilación en segunda cuantización  5.1.3. Integral de Camino en la Segunda Cuantización  5.1.4. Espacio de Fock  5.2. Electrodinámica Cuántica  5.2.1. Feynman diagrams  5.2.2. Renormalización en electrodinámica cuántica  5.2.3. Invariancia de calibre en electrodinámica cuántica  5.2.4. Polarización del vacío  5.3. Cromodinámica Cuántica  5.3.1. Quarks y gluones  5.3.2. Rango de colores  5.3.3. Lattice QCD  5.3.4. Libertad asintótica  5.4. Modelo estándar de la física de partículas  5.4.1. Teoría electrodébil  5.4.2. Mecanismo de Higgs  5.4.4. Teorías de Gran Unificación
  6. Relatividad general y gravedad  6.1. Ecuaciones de campo de Einstein  6.1.1. Tensor de Ricci y curvatura escalar  6.1.2. Solución de Schwarzschild  6.1.3. Métrica de Kerr  6.1.4. Ondas gravitacionales  6.2. Cosmología  6.2.1. Ecuación de Friedmann  6.2.2. Inflación cósmica  6.2.3. Materia oscura y energía oscura  6.2.4. Estructura a gran escala  6.3. Agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.1. Horizonte de sucesos en agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.2. Radiación de Hawking  6.3.3. Proceso de Penrose  6.3.4. Paradoja de la información en agujeros negros y agujeros de gusano
  7. Física de la materia condensada  7.1. Estructura cristalina y red  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Teoría de bandas en estructuras y redes cristalinas  7.1.3. Fonones en la estructura cristalina y la red  7.1.4. Teorema de Bloch  7.2. Superconductividad  7.2.1. Principio BCS  7.2.2. Efecto Meissner  7.2.3. Superconductor de Alta Temperatura  7.2.4. Efecto Josephson

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Ecuación de Schrödinger


La ecuación de Schrödinger es un concepto fundamental en la mecánica cuántica que describe cómo el estado cuántico de un sistema físico cambia con el tiempo. Fue formulada por el físico austriaco Erwin Schrödinger en 1925, y proporciona una manera de predecir cómo evoluciona un sistema cuántico. Esta ecuación es tan importante para la mecánica cuántica como las leyes de Newton lo son para la mecánica clásica. En esta exposición, nos adentraremos en los detalles de la ecuación de Schrödinger, sus implicaciones y su papel en el mundo cuántico. También discutiremos varios ejemplos ilustrativos para comprender mejor su significado e implicaciones.

Entendiendo la ecuación de Schrödinger

En su núcleo, la ecuación de Schrödinger es una expresión matemática que describe la evolución temporal de la función de onda de un sistema. La función de onda, a menudo representada por la letra griega psi (ψ), contiene toda la información sobre un sistema cuántico. Para una sola partícula no relativista, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se escribe como:

iħ ∂ψ/∂t = Hψ

Donde:

  • i es la unidad imaginaria.
  • ħ (h-bar) es la constante de Planck reducida (aproximadamente 1.0545718 × 10^−34 Js).
  • ∂ψ/∂t es la derivada parcial de la función de onda con respecto al tiempo, que muestra cómo cambia la función de onda con el tiempo.
  • H es el operador Hamiltoniano, que corresponde a la energía total del sistema.

Función de onda

La función de onda es una parte crucial de la ecuación de Schrödinger y es central para entender la mecánica cuántica. Es una función de valor complejo que codifica la amplitud de probabilidad de diferentes resultados en un experimento cuántico. El cuadrado del valor absoluto de la función de onda |ψ(x, t)|² da la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en un punto particular del espacio en un tiempo específico.

Forma matemática de la función de onda

La función de onda para un sistema unidimensional se puede expresar como:

ψ(x, t) = A e^(i(kx - ωt))

Dónde:

  • A denota la amplitud de la función de onda.
  • e es el número de Euler, que es aproximadamente 2.71828.
  • k es el número de onda, que está relacionado con el momento de la partícula.
  • ω es la frecuencia angular.

Ejemplo de una función de onda

Considere una partícula en una caja, que es un ejemplo fundamental en la mecánica cuántica. La función de onda puede representarse como una onda sinusoidal, que es análoga a una onda estacionaria, algo como esto:

ψ(x) = A sin(nπx/L)

donde n es un número entero que indica el nivel de energía, y L es la longitud de la caja. La partícula es más probable encontrarla en posiciones que corresponden a los picos de la onda.

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo vs. independiente del tiempo

Hay dos formas principales de la ecuación de Schrödinger: la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo y la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. La forma dependiente del tiempo fue dada primero. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se usa cuando no nos preocupa directamente la evolución temporal, sino que queremos encontrar los estados estacionarios (autoestados de energía) del sistema.

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

Hψ = Eψ

Dónde:

  • E es el autovalor de energía correspondiente al estado ψ.

Ejemplo

Una de las aplicaciones más famosas de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es el modelo de "partícula en una caja unidimensional". En este sistema simplificado, una partícula está confinada a moverse en línea recta entre dos barreras impenetrables. Las soluciones son ondas sinusoidales del siguiente tipo:

ψ_n(x) = sqrt(2/L) sin(nπx/L)

Estas representan los estados estacionarios de las partículas, y sus niveles de energía se dan como sigue:

E_n = n²π²ħ²/(2mL²)

Ejemplo pictórico

Considere una caja con diferentes niveles de energía representados como ondas estacionarias:

n=1 n=2

La onda azul probablemente representa el estado fundamental (n=1) y es solo una joroba. La onda roja (n=2) tendría nodos en los extremos y un nodo en el medio, representando el primer estado excitado.

Túnel cuántico

Un fenómeno interesante que emerge de la ecuación de Schrödinger es el túnel cuántico. Esta es una situación en la que las partículas pueden cruzar barreras que no deberían cruzar debido a la naturaleza probabilística del mundo cuántico.

Imagine una partícula que se aproxima a una barrera. Clásicamente, si la partícula no tiene suficiente energía, es completamente reflejada. Sin embargo, la física cuántica, como se modela con la ecuación de Schrödinger, permite una probabilidad no nula de que la partícula atraviese el túnel a través de la barrera, aunque clásicamente parezca prohibido.

Conclusión

La ecuación de Schrödinger juega un papel clave en la mecánica cuántica, que describe cómo evolucionan los sistemas físicos a nivel cuántico. Permite a los físicos predecir las probabilidades de encontrar partículas en diferentes estados, describir fenómenos como el túnel cuántico y proporcionar ideas a través del concepto de la función de onda, que en última instancia da forma a nuestra comprensión del mundo cuántico.

En pocas palabras, la ecuación de Schrödinger es la clave para desentrañar los misterios del universo microscópico. Aunque las matemáticas puedan parecer abrumadoras, en última instancia desentrañan los misterios de la naturaleza a las escalas más pequeñas.


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