Докторант → Квантовая механика ↓
Уравнение Шрёдингера
Уравнение Шрёдингера — это фундаментальная концепция в квантовой механике, описывающая, как квантовое состояние физической системы изменяется с течением времени. Оно было сформулировано австрийским физиком Эрвином Шрёдингером в 1925 году и предоставляет способ предсказания того, как квантовая система эволюционирует. Это уравнение является таким же важным для квантовой механики, как законы Ньютона для классической механики. В этом изложении мы глубоко погрузимся в детали уравнения Шрёдингера, его последствия и его роль в квантовом мире. Мы также обсудим несколько иллюстративных примеров, чтобы лучше понять его значение и последствия.
Понимание уравнения Шрёдингера
В своей основе уравнение Шрёдингера — это математическое выражение, описывающее эволюцию волновой функции системы во времени. Волновая функция, часто обозначаемая греческой буквой пси (ψ), содержит всю информацию о квантовой системе. Для одной нерелятивистской частицы уравнение Шрёдингера во времени записывается как:
iħ ∂ψ/∂t = HψГде:
i— это мнимая единица.ħ (h-bar)— это приведённая постоянная Планка (примерно 1,0545718 × 10^−34 Джс).∂ψ/∂t— это частная производная волновой функции по времени, показывающая, как волновая функция меняется со временем.H— это оператор Гамильтона, соответствующий полной энергии системы.
Волновая функция
Волновая функция — это ключевая часть уравнения Шрёдингера и центральная для понимания квантовой механики. Это функция с комплексными значениями, которая кодирует амплитуду вероятности различных исходов в квантовом эксперименте. Квадрат абсолютного значения волновой функции |ψ(x, t)|² даёт плотность вероятности обнаружения частицы в определённой точке пространства в определённый момент времени.
Математическая форма волновой функции
Волновая функция для одномерной системы может быть выражена как:
ψ(x, t) = A e^(i(kx - ωt))Где:
Aобозначает амплитуду волновой функции.e— это число Эйлера, приблизительно равное 2,71828.k— это волновое число, которое связано с импульсом частицы.ω— это угловая частота.
Пример волновой функции
Рассмотрим частицу в ящике, что является основным примером в квантовой механике. Волновая функция может быть представлена как синусоидальная волна, которая аналогична стоячей волне, что-то вроде этого:
ψ(x) = A sin(nπx/L)где n — это целое число, указывающее на уровень энергии, а L — это длина ящика. Чаще всего частицу можно обнаружить в точках, соответствующих пикам волны.
Временная и независимая от времени формы уравнения Шрёдингера
Существуют две основные формы уравнения Шрёдингера: временная и независимая от времени формы уравнения Шрёдингера. Временная форма была представлена первой. Независимая от времени форма уравнения Шрёдингера используется, когда нас не особо интересует эволюция во времени, но мы хотим найти стационарные состояния (энергетические собственные состояния) системы.
Временная независимая форма уравнения Шрёдингера
Hψ = EψГде:
E— это энергетическое собственное значение, соответствующее состоянию ψ.
Пример
Одно из самых известных применений независимой от времени формы уравнения Шрёдингера — это модель "частица в одномерном ящике". В этой упрощённой системе частица ограничена в движении по прямой линии между двумя непреодолимыми барьерами. Решения представляют собой синусоидальные волны следующего типа:
ψ_n(x) = sqrt(2/L) sin(nπx/L)Эти волны представляют собой стационарные состояния частиц, а их энергетические уровни определяются следующим образом:
E_n = n²π²ħ²/(2mL²)Иллюстративный пример
Рассмотрим ящик с различными энергетическими уровнями, представленными в виде стоячих волн:
Синяя волна, вероятно, представляет собой основное состояние (n=1) и имеет одну вершину. Красная волна (n=2) будет иметь узлы на концах и узел в середине, представляя первое возбуждённое состояние.
Квантовое туннелирование
Интересным явлением, возникающим из уравнения Шрёдингера, является квантовое туннелирование. Это ситуация, в которой частицы могут пересекать барьеры, которые они не должны пересекать из-за вероятностной природы квантового мира.
Представьте частицу, приближающуюся к барьеру. Классически, если у частицы недостаточно энергии, она полностью отражается. Однако квантовая физика, смоделированная уравнением Шрёдингера, позволяет ненулевую вероятность того, что частица пройдёт сквозь барьер, даже если классически это кажется невозможным.
Заключение
Уравнение Шрёдингера играет ключевую роль в квантовой механике, описывая, как физические системы эволюционируют на квантовом уровне. Оно позволяет физикам предсказывать вероятности нахождения частиц в различных состояниях, описывать явления, такие как квантовое туннелирование, и предоставлять инсайты через концепцию волновой функции, которая в конечном итоге формирует наше понимание квантового мира.
Проще говоря, уравнение Шрёдингера является ключом к разгадке тайн микроскопической вселенной. Хотя математика может казаться сложной, она в конечном счёте раскрывает секреты природы на малейших масштабах.
Комментарии