Doctorado
  1. Classical mechanics  1.1. Mecánica newtoniana  1.1.1. Leyes del movimiento en la mecánica newtoniana  1.1.2. Dinámica de partículas y sistemas  1.1.3. Leyes de conservación  1.1.4. Movimiento de fuerza central  1.2. Mecánica lagrangiana  1.2.1. Principio de acción mínima  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. Restricciones y coordenadas normalizadas  1.2.4. Teorema de Noether  1.3. Hamiltonian mechanics  1.3.1. Ecuaciones de Hamilton  1.3.2. Conversión canónica  1.3.3. Corchete de Poisson  1.3.4. Variable de acción-ángulo  1.4. Movilidad del cuerpo rígido  1.4.1. Rotación de cuerpos rígidos  1.4.2. Tensor de momento de inercia  1.4.3. Ecuaciones de Euler en la dinámica de cuerpos rígidos  1.4.4. Movimiento giroscópico  1.5. Caos y dinámica no lineal  1.5.1. Espacio de fase y atractivo  1.5.2. Teoría de bifurcación y caos  1.5.3. Caos Hamiltoniano  1.5.4. Exponente de Lyapunov
  2. Electrodinámica  2.1. Las ecuaciones de Maxwell  2.1.1. La ley de Gauss para la electricidad  2.1.2. La ley de Gauss para el magnetismo  2.1.3. La ley de Faraday  2.1.4. La Ley de Ampère  2.1.5. Condiciones de frontera en las ecuaciones de Maxwell  2.2. Ondas electromagnéticas  2.2.1. Ecuación de onda  2.2.2. Polarización  2.2.3. Reflexión y Refracción  2.2.4. Guías de onda y resonadores  2.3. Relatividad especial  2.3.1. Transformaciones de Lorentz  2.3.2. Energía y momento relativista  2.3.3. Electrodinámica relativista  2.3.4. Espaciotiempo de Minkowski  2.4. Radiación y dispersión  2.4.1. Radiación de dipolo  2.4.2. Expansión multipolar  2.4.3. Dispersión de Compton  2.4.4. Dispersión de Thomson y Rayleigh  2.5. Física de Plasma  2.5.1. Pantalla de Debye  2.5.2. Magnetohidrodinámica  2.5.3. Inestabilidad del plasma  2.5.4. Plasma de Fusión
  3. Mecánica cuántica  3.1. Fundamentos de la mecánica cuántica  3.1.1. Principios de la mecánica cuántica  3.1.2. Función de onda e interpretación de la probabilidad  3.1.3. Principio de incertidumbre  3.1.4. Efecto túnel cuántico  3.2. Ecuación de Schrödinger  3.2.1. Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo  3.2.2. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo  3.2.3. Valores propios y funciones propias en la ecuación de Schrödinger  3.2.4. Integrales de caminos en mecánica cuántica  3.3. Operadores cuánticos  3.3.1. Conmutadores y observables  3.3.2. Operador de momento angular  3.3.3. Operador Escalera  3.3.4. Matrices de Pauli  3.4. Entrecruzamiento cuántico y medición  3.4.1. Teorema de Bell  3.4.2. Teletransportación Cuántica  3.4.3. Enredo cuántico y decoherencia cuántica en la medición  3.4.4. Entrelazamiento cuántico y medición en mecánica cuántica  3.5. Mecánica cuántica relativista  3.5.1. Ecuación de Klein–Gordon  3.5.2. Ecuación de Dirac  3.5.3. Teoría cuántica de campos  3.5.4. Integral de camino de Feynman
  4. Mecánica estadística y termodinámica  4.1. Termodinámica clásica  4.1.1. Leyes de la Termodinámica  4.1.2. Ciclo de Carnot  4.1.3. Entropía y energía libre  4.1.4. Eficiencia termodinámica  4.2. Teoría cinética de los gases  4.2.1. Distribución de Maxwell-Boltzmann  4.2.2. Fenómeno de transporte  4.2.3. Camino libre medio  4.2.4. Sistemas no equilibrados en la teoría cinética de gases  4.3. Mecánica estadística  4.3.1. Microestados y Macroestados  4.3.2. Función de partición  4.3.3. Estadísticas de Bose–Einstein y Fermi–Dirac  4.3.4. Fluctuaciones y correlaciones  4.4. Transición de fase  4.4.1. Eventos importantes  4.4.2. Teoría de Landau  4.4.3. Modelo de Ising  4.4.4. Teoría del grupo de renormalización
  5. Teoría cuántica de campos  5.1. Segunda Cuantización  5.1.1. Oscilador armónico cuántico en segunda cuantización  5.1.2. Operadores de creación y aniquilación en segunda cuantización  5.1.3. Integral de Camino en la Segunda Cuantización  5.1.4. Espacio de Fock  5.2. Electrodinámica Cuántica  5.2.1. Feynman diagrams  5.2.2. Renormalización en electrodinámica cuántica  5.2.3. Invariancia de calibre en electrodinámica cuántica  5.2.4. Polarización del vacío  5.3. Cromodinámica Cuántica  5.3.1. Quarks y gluones  5.3.2. Rango de colores  5.3.3. Lattice QCD  5.3.4. Libertad asintótica  5.4. Modelo estándar de la física de partículas  5.4.1. Teoría electrodébil  5.4.2. Mecanismo de Higgs  5.4.4. Teorías de Gran Unificación
  6. Relatividad general y gravedad  6.1. Ecuaciones de campo de Einstein  6.1.1. Tensor de Ricci y curvatura escalar  6.1.2. Solución de Schwarzschild  6.1.3. Métrica de Kerr  6.1.4. Ondas gravitacionales  6.2. Cosmología  6.2.1. Ecuación de Friedmann  6.2.2. Inflación cósmica  6.2.3. Materia oscura y energía oscura  6.2.4. Estructura a gran escala  6.3. Agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.1. Horizonte de sucesos en agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.2. Radiación de Hawking  6.3.3. Proceso de Penrose  6.3.4. Paradoja de la información en agujeros negros y agujeros de gusano
  7. Física de la materia condensada  7.1. Estructura cristalina y red  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Teoría de bandas en estructuras y redes cristalinas  7.1.3. Fonones en la estructura cristalina y la red  7.1.4. Teorema de Bloch  7.2. Superconductividad  7.2.1. Principio BCS  7.2.2. Efecto Meissner  7.2.3. Superconductor de Alta Temperatura  7.2.4. Efecto Josephson

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Principio de acción mínima


El principio de acción mínima es un concepto fundamental en la física teórica, particularmente en el campo de la mecánica Lagrangiana, que es una reformulación de la mecánica clásica. Este principio proporciona una manera poderosa y elegante de analizar sistemas dinámicos, ofreciendo ideas sobre cómo opera la naturaleza a un nivel profundo. El principio sostiene que el camino tomado por un sistema entre dos estados es el que minimiza la acción, o más generalmente, en su máximo.

Antes de entrar en la explicación detallada, comprendamos algunos conceptos básicos y terminologías relacionadas con la teoría:

Acción y Lagrangiano

La acción es una cantidad que generalmente se calcula a partir del movimiento de un sistema físico. Se calcula integrando la función de Lagrange en el tiempo, llamada Lagrangiano.

S = int L(q, dot{q}, t) , dt

En esta expresión, S denota la acción, L es el Lagrangiano, que depende de las coordenadas generalizadas q, sus derivadas temporales dot{q} (velocidades), y el tiempo t.

Lagrangiano

El Lagrangiano L suele darse por la diferencia entre la energía cinética T y la energía potencial V del sistema:

L = T - V

Esta ecuación aparentemente simple contiene un universo de información sobre la dinámica del sistema. Vamos a explicar cada componente:

  • Energía cinética (T): Es la energía que un objeto tiene debido a su movimiento. Para una partícula de masa m que se mueve con velocidad v, la energía cinética se da por: T = frac{1}{2}mv^2.
  • Energía potencial (V): Es la energía almacenada en el sistema debido a su posición o configuración. Por ejemplo, la energía potencial de un objeto en un campo gravitatorio es V = mgh, donde g es la aceleración debido a la gravedad, y h es la altura.

Entendiendo el principio

El principio de mínima acción sugiere que de todos los caminos posibles que un sistema puede tomar, el camino realmente tomado es el que minimiza la acción. Esto implica que la naturaleza desarrolla escenarios de una manera que es más "económica" o "eficiente".

Cálculo de variaciones

Para encontrar el camino que lleva la acción a un extremo, usamos una herramienta matemática llamada cálculo de variaciones. Esta es una técnica que encuentra funciones que optimizan ciertas cantidades.

La herramienta específica que usamos del cálculo de variaciones se llama ecuación de Euler-Lagrange:

frac{d}{dt}left(frac{partial L}{partial dot{q}}right) - frac{partial L}{partial q} = 0

Esta ecuación proporciona la condición que debe cumplirse para que la acción alcance un extremo. Al resolver la ecuación de Euler-Lagrange, encontramos el camino tomado por el sistema, es decir, las ecuaciones de movimiento en el marco Lagrangiano.

Un ejemplo: un péndulo simple

Consideremos un péndulo simple de masa m y sujeto a una cuerda de longitud l, oscilando bajo la influencia de la gravedad.

La energía potencial V del péndulo se da por la altura de la masa, h = l - l cos(theta), donde θ es el ángulo con la vertical:

V = mgl(1 - cos(theta))

La energía cinética T se da por la energía cinética traslacional T = frac{1}{2} m (ldot{theta})^2.

Así, el Lagrangiano L para el péndulo es:

L = T - V = frac{1}{2} m (ldot{theta})^2 - mgl(1 - cos(theta))

Al reemplazar el Lagrangiano en la ecuación de Euler-Lagrange, obtenemos la ecuación de movimiento para el péndulo:

ml^2 ddot{theta} + mgl sin(theta) = 0

Esta es la ecuación clásica para un péndulo simple que describe pequeñas oscilaciones alrededor de una posición de equilibrio estable.

Visualizando el principio de acción

Las ilustraciones visuales pueden ayudar a solidificar la comprensión. Considere una partícula moviéndose de un punto A a un punto B. La teoría afirma que de todos los caminos concebibles, la partícula sigue el camino para el cual la acción S es extrema.

A B

En la imagen anterior:

  • El círculo rojo es el punto de inicio A
  • El círculo verde es el punto de llegada B
  • La línea negra representa el camino posible entre A y B
  • La curva azul muestra el camino real tomado por la partícula según el principio de mínima acción.

Consideraciones adicionales

Es importante notar que "acción mínima" es un nombre inapropiado. El principio de acción mínima es esencialmente un principio de extremum, lo que significa que la acción puede ser máxima, mínima o limitada. Lo importante es que alcanza un extremo en comparación con caminos vecinos. La razón por la cual se llama acción "mínima" probablemente proviene de contextos históricos y escenarios típicos de sistemas tendiendo hacia configuraciones de energía potencial mínima.

Además, este principio es una piedra angular no solo en la mecánica clásica sino también en campos como la mecánica cuántica y la relatividad general, reflejando un principio universal de la economía de la naturaleza. En la mecánica cuántica, el camino seguido por una partícula está afectado por la contribución de todos los caminos posibles, lo cual es elegantemente explicado por la formulación de integrales de camino de Feynman.

Legado matemático

Las raíces históricas del principio de acción mínima se remontan a los siglos XVII y XVIII, con contribuciones de matemáticos y filósofos como Fermat, Maupertuis, Euler y Lagrange. Cada uno hizo contribuciones únicas al desarrollo del principio, eventualmente formulándolo en el bien establecida base de la física moderna.

Aplicaciones en física

El principio de acción mínima se aplica en una variedad de áreas de la física, proporcionando discernimiento y poder predictivo:

  • Electromagnetismo: Esta teoría ayuda a derivar las ecuaciones de Maxwell, que son fundamentales para entender cómo interactúan los campos eléctricos y magnéticos.
  • Mecánica cuántica: La formulación de integrales de camino de la mecánica cuántica, desarrollada por Richard Feynman, es una extensión del principio de acción mínima.
  • Relatividad: En la relatividad general, esta teoría se utiliza para derivar las ecuaciones de campo de Einstein, que describen cómo la materia y la energía curvan el espacio-tiempo.

Reflexiones finales

El principio de acción mínima en la física es un principio profundo y hermoso, que revela la preferencia de la naturaleza por la frugalidad en acción. El rango de su aplicación a través de diferentes escalas y disciplinas subraya su universalidad y su profundo papel en las teorías físicas. El dominio de este principio abre la puerta a entender y derivar ecuaciones que gobiernan el comportamiento de innumerables sistemas físicos, desde péndulos simples hasta la estructura del universo.

Descubrimos que a través de su belleza matemática y aplicaciones prácticas, el principio de mínima acción es evidencia de los misterios perdurables y el orden dentro de las leyes de la naturaleza.


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