Doutorado
  1. Mecânica clássica  1.1. Mecânica newtoniana  1.1.1. Leis do movimento na mecânica Newtoniana  1.1.2. Dinâmica de partículas e sistemas  1.1.3. Leis de conservação  1.1.4. Movimento de força central  1.2. Mecânica lagrangiana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Restrições e coordenadas normalizadas  1.2.4. Teorema de Noether  1.3. Mecânica Hamiltoniana  1.3.1. Equações de Hamilton  1.3.2. Conversão canônica  1.3.3. Colchete de Poisson  1.3.4. Variável ação-ângulo  1.4. Mobilidade de corpo rígido  1.4.1. Rotação de corpos rígidos  1.4.2. Tensor de momento de inércia  1.4.3. Equações de Euler na dinâmica de corpos rígidos  1.4.4. Movimento giroscópico  1.5. Caos e Dinâmica Não Linear  1.5.1. Espaço de fase e atrativo  1.5.2. Teoria da Bifurcação e do Caos  1.5.3. Caos Hamiltoniano  1.5.4. Expoente de Lyapunov
  2. Eletrodinâmica  2.1. As equações de Maxwell  2.1.1. Lei de Gauss para eletricidade  2.1.2. Lei de Gauss para o magnetismo  2.1.3. Lei de Faraday  2.1.4. Ampere's Law  2.1.5. Condições de contorno nas equações de Maxwell  2.2. Ondas eletromagnéticas  2.2.1. Equação de onda  2.2.2. Polarização  2.2.3. Reflexão e Refração  2.2.4. Guias de onda e ressonadores  2.3. Relatividade especial  2.3.1. Transformações de Lorentz  2.3.2. Energia e momentum relativísticos  2.3.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.4. Espaço-tempo de Minkowski  2.4. Radiação e dispersão  2.4.1. Radiação de dipolo  2.4.2. Expansão Multipolar  2.4.3. Dispersão de Compton  2.4.4. Dispersão de Thomson e Rayleigh  2.5. Física de Plasma  2.5.1. Tela de Debye  2.5.2. Magnetohidrodinâmica  2.5.3. Instabilidade do plasma  2.5.4. Plasma de Fusão
  3. Mecânica quântica  3.1. Fundamentos da mecânica quântica  3.1.1. Princípios da mecânica quântica  3.1.2. Função de onda e interpretação de probabilidade  3.1.3. Princípio da Incerteza  3.1.4. Tunelamento Quântico  3.2. Equação de Schrödinger  3.2.1. Equação de Schrödinger dependente do tempo  3.2.2. Equação de Schrödinger independente do tempo  3.2.3. Autovalores e autofunções na equação de Schrödinger  3.2.4. Integrais de caminho em mecânica quântica  3.3. Operadores quânticos  3.3.1. Comutadores e observáveis  3.3.2. Operador de momento angular  3.3.3. Ladder Operator  3.3.4. Matrizes de Pauli  3.4. Entrelaçamento quântico e medição  3.4.1. Teorema de Bell  3.4.2. Teletransporte Quântico  3.4.3. Emaranhamento quântico e decoerência quântica na medição  3.4.4. Emaranhamento quântico e medição na mecânica quântica  3.5. Mecânica quântica relativística  3.5.1. Equação de Klein-Gordon  3.5.2. Equação de Dirac  3.5.3. Teoria quântica de campos  3.5.4. Integral de caminho de Feynman
  4. Mecânica estatística e termodinâmica  4.1. Termodinâmica clássica  4.1.1. Leis da Termodinâmica  4.1.2. Ciclo de Carnot  4.1.3. Entropia e energia livre  4.1.4. Eficiência Termodinâmica  4.2. Teoria cinética dos gases  4.2.1. Distribuição de Maxwell–Boltzmann  4.2.2. Fenômeno de transporte  4.2.3. Caminho livre médio  4.2.4. Sistemas fora do equilíbrio na teoria cinética dos gases  4.3. Mecânica Estatística  4.3.1. Microestados e Macroestados  4.3.2. Função de partição  4.3.3. Estatísticas de Bose-Einstein e Fermi-Dirac  4.3.4. Flutuações e correlações  4.4. Transição de fase  4.4.1. Eventos importantes  4.4.2. Teoria de Landau  4.4.3. Modelo de Ising  4.4.4. Teoria do grupo de renormalização
  5. Teoria quântica de campos  5.1. Segunda Quantização  5.1.1. Oscilador harmônico quântico na segunda quantização  5.1.2. Operadores de criação e aniquilação na segunda quantização  5.1.3. Integral de Caminho na Segunda Quantização  5.1.4. Espaço de Fock  5.2. Eletrodinâmica Quântica  5.2.1. Diagramas de Feynman  5.2.2. Renormalização na eletrodinâmica quântica  5.2.3. Invariância de calibre em eletrodinâmica quântica  5.2.4. Polarização do vácuo  5.3. QCD - Cromodinâmica Quântica  5.3.1. Quarks e glúons  5.3.2. Faixa de cores  5.3.3. Lattice QCD  5.3.4. Liberdade assintótica  5.4. Modelo padrão da física de partículas  5.4.1. Teoria eletrofraca  5.4.2. Mecanismo de Higgs  5.4.4. Teorias da Grande Unificação
  6. Relatividade geral e gravidade  6.1. Equações de campo de Einstein  6.1.1. Tensores de Ricci e curvatura escalar  6.1.2. Solução de Schwarzschild  6.1.3. Métrica de Kerr  6.1.4. Ondas gravitacionais  6.2. Cosmologia  6.2.1. Equação de Friedmann  6.2.2. Inflação cósmica  6.2.3. Matéria escura e energia escura  6.2.4. Estrutura em grande escala  6.3. Buracos negros e buracos de minhoca  6.3.1. Horizonte de eventos em buracos negros e buracos de minhoca  6.3.2. Radiação de Hawking  6.3.3. Processo de Penrose  6.3.4. Paradoxo da informação em buracos negros e buracos de minhoca
  7. Física da matéria condensada  7.1. Estrutura cristalina e rede  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Teoria de bandas na estrutura cristalina e redes  7.1.3. Fónons na estrutura cristalina e em redes  7.1.4. Teorema de Bloch  7.2. Supercondutividade  7.2.1. Princípio BCS  7.2.2. Efeito Meissner  7.2.3. Supercondutor de Alta Temperatura  7.2.4. Efeito Josephson

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Princípio da ação mínima


O princípio da ação mínima é um conceito fundamental na física teórica, particularmente no campo da mecânica lagrangiana, que é uma reformulação da mecânica clássica. Este princípio fornece uma maneira poderosa e elegante de analisar sistemas dinâmicos, proporcionando insights sobre como a natureza opera em um nível profundo. O princípio estabelece que o caminho tomado por um sistema entre dois estados é aquele para o qual a ação é mínima, ou mais geralmente, está no seu pico.

Antes de entrarmos na explicação detalhada, vamos entender alguns conceitos e terminologias básicos relacionados à teoria:

Ação e Lagrangiana

A ação é uma quantidade que geralmente pode ser calculada a partir do movimento de um sistema físico. Ela é calculada integrando a função de Lagrange ao longo do tempo, chamada de Lagrangiana.

S = int L(q, dot{q}, t) , dt

Nesta expressão, S denota a ação, L é a Lagrangiana, que depende das coordenadas generalizadas q, de suas derivadas temporais dot{q} (velocidades) e do tempo t.

Lagrangiana

A Lagrangiana L é frequentemente dada pela diferença entre a energia cinética T e a energia potencial V do sistema:

L = T - V

Esta equação aparentemente simples contém um universo de informações sobre a dinâmica do sistema. Vamos explicar cada componente:

  • Energia cinética (T): É a energia que um objeto possui devido ao seu movimento. Para uma partícula de massa m movendo-se com velocidade v, a energia cinética é dada por: T = frac{1}{2}mv^2.
  • Energia potencial (V): É a energia armazenada no sistema devido à sua posição ou configuração. Por exemplo, a energia potencial de um objeto em um campo gravitacional é V = mgh, onde g é a aceleração da gravidade e h é a altura.

Compreendendo o princípio

O princípio da menor ação sugere que, de todos os caminhos possíveis que um sistema pode tomar, o caminho realmente tomado é aquele que minimiza a ação. Isso implica que a natureza desempenha cenários de maneira mais "econômica" ou "eficiente".

Cálculo das variações

Para encontrar o caminho que leva a ação a um extremo, usamos uma ferramenta matemática chamada cálculo das variações. Esta é uma técnica que encontra funções que otimizam certas quantidades.

A ferramenta específica que usamos do cálculo variacional é chamada de equação de Euler-Lagrange:

frac{d}{dt}left(frac{partial L}{partial dot{q}}right) - frac{partial L}{partial q} = 0

Esta equação fornece a condição que deve ser cumprida para que a ação atinja um extremo. Ao resolver a equação de Euler-Lagrange, encontramos o caminho tomado pelo sistema, ou seja, as equações de movimento no quadro lagrangiano.

Um exemplo: um pêndulo simples

Consideremos um pêndulo simples de massa m e preso a um fio de comprimento l, oscilando sob a influência da gravidade.

A energia potencial V do pêndulo é dada pela altura da massa, h = l - l cos(theta), onde theta é o ângulo com a vertical:

V = mgl(1 - cos(theta))

A energia cinética T é dada pela energia cinética translacional T = frac{1}{2} m (ldot{theta})^2.

Assim, a Lagrangiana L para o pêndulo é:

L = T - V = frac{1}{2} m (ldot{theta})^2 - mgl(1 - cos(theta))

Substituindo a Lagrangiana na equação de Euler-Lagrange, obtemos a equação de movimento para o pêndulo:

ml^2 ddot{theta} + mgl sin(theta) = 0

Esta é a clássica equação para um pêndulo simples que descreve pequenas oscilações em torno de uma posição de equilíbrio estável.

Visualizando o princípio da ação

Ilustrações visuais podem ajudar a solidificar a compreensão. Considere uma partícula movendo-se do ponto A ao ponto B. A teoria afirma que, de todos os caminhos concebíveis, a partícula segue o caminho para o qual a ação S é extrema.

A B

Na imagem acima:

  • O círculo vermelho é o ponto de partida A
  • O círculo verde é o ponto final B
  • A linha preta representa o possível caminho entre A e B
  • A curva azul mostra o caminho real seguido pela partícula de acordo com o princípio da menor ação.

Considerações adicionais

É importante notar que "ação mínima" é um nome impróprio. O princípio da ação mínima é essencialmente um princípio de extremum, o que significa que a ação pode ser maximizada, minimizada ou limitada. O importante é que ela atinja um extremo em comparação com os caminhos vizinhos. A razão pela qual é chamado de "ação mínima" provavelmente vem de contextos históricos e de cenários típicos de sistemas tendendo para configurações de energia potencial mínima.

Além disso, este princípio é uma pedra angular não apenas na mecânica clássica, mas também em campos como a mecânica quântica e a relatividade geral, refletindo um princípio universal da economia da natureza. Na mecânica quântica, o caminho seguido por uma partícula é afetado pela contribuição de todos os caminhos possíveis, o que é elegantemente explicado pela formulação de integral de caminho de Feynman.

Legado matemático

As raízes históricas do princípio da ação mínima remontam aos séculos XVII e XVIII, com contribuições de matemáticos e filósofos como Fermat, Maupertuis, Euler e Lagrange. Cada um fez contribuições únicas para o desenvolvimento do princípio, eventualmente formulando-o na base bem estabelecida da física moderna.

Aplicações na física

O princípio da ação mínima é aplicado em uma variedade de áreas da física, proporcionando compreensão e poder preditivo:

  • Eletromagnetismo: Esta teoria ajuda a derivar as equações de Maxwell, que são fundamentais para entender como os campos elétrico e magnético interagem.
  • Mecânica quântica: A formulação de integral de caminho da mecânica quântica, desenvolvida por Richard Feynman, é uma extensão do princípio da ação mínima.
  • Relatividade: Na relatividade geral, esta teoria é usada para derivar as equações de campo de Einstein, que descrevem como a matéria e a energia curvam o espaço-tempo.

Reflexões finais

O princípio da ação mínima na física é um princípio profundo e belo, que revela a preferência da natureza pela frugalidade na ação. A amplitude de sua aplicação em diferentes escalas e disciplinas sublinha sua universalidade e seu papel profundo nas teorias físicas. O domínio deste princípio abre a porta para a compreensão e derivação de equações que governam o comportamento de inúmeros sistemas físicos, de pêndulos simples à estrutura do universo.

Descobrimos que, por meio de sua beleza matemática e aplicações práticas, o princípio da menor ação é uma evidência dos mistérios duradouros e da ordem dentro das leis da natureza.


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Princípio da ação mínima

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