Teorema de Noether

O teorema de Noether é um princípio fundamental na física que conecta simetrias e leis de conservação. É nomeado em homenagem à matemática alemã Emmy Noether, que expressou este teorema pela primeira vez em termos das equações de Euler-Lagrange no contexto lagrangiano da mecânica clássica. Este teorema tem implicações profundas não apenas na mecânica clássica, mas também na mecânica quântica e na relatividade geral.

A ideia principal do teorema de Noether é simples, mas poderosa: sempre que um sistema tem uma simetria contínua, existe uma quantidade associada que é conservada. Esta relação liga a lacuna entre as simetrias matemáticas abstratas e os observáveis físicos, como a conservação de energia, momento e momento angular.

Compreendendo a mecânica lagrangiana

Para entender completamente o teorema de Noether, devemos primeiro compreender o básico da mecânica lagrangiana. Nesse contexto, o momento de um sistema é derivado de uma função chamada lagrangiana, geralmente denotada por L. A lagrangiana é uma função das coordenadas generalizadas q_i, da velocidade generalizada dot{q}_i e possivelmente do tempo t:

        L = L(q_i, dot{q}_i, t)
    

O princípio da ação mínima afirma que o caminho tomado pelo sistema é aquele que minimiza a ação S, definida como a integral da lagrangiana ao longo do tempo:

        S = int L(q_i, dot{q}_i, t) , dt
    

As equações de movimento são obtidas aplicando as equações de Euler-Lagrange:

        frac{d}{dt} left( frac{partial L}{partial dot{q}_i} right) - frac{partial L}{partial q_i} = 0
    

Simetrias e leis de conservação

A simetria na física refere-se a transformações que deixam algumas propriedades de um sistema inalteradas. Por exemplo, se mudar a origem do tempo ou espaço não tiver efeito sobre um sistema físico, então ele tem simetria de tradução de tempo ou espaço.

Quando um sistema exibe tal simetria, o teorema de Noether afirma que existe uma quantidade correspondente conservada. Vamos considerar alguns exemplos de simetrias comuns:

• Simetria de translação temporal: se a lagrangiana não depende explicitamente do tempo, então a energia do sistema é conservada.
• Simetria de translação espacial: se o sistema é invariante sob translação espacial, então o momento linear é conservado.
• Simetria rotacional: Se o sistema permanece inalterado sob rotação, então o momento angular é conservado.

Exemplos: partículas livres

Considere uma partícula livre movendo-se em uma dimensão. A lagrangiana é dada como segue:

        l = frac{1}{2} m dot{x}^2
    

Aqui, a lagrangiana não depende explicitamente de t, o que reflete a simetria de translação temporal. De acordo com o teorema de Noether, a energia é conservada.

Da mesma forma, como L depende apenas de dot{x}, não de x, o espaço também é uma simetria de translação, então o momento é conservado. Aqui está uma demonstração intuitiva de como esse teorema funciona.

Ilustração do teorema de Noether

Vamos considerar um sistema rotativo para entender o conceito de simetria rotacional e conservação do momento angular.

Suponha que uma partícula esteja se movendo em torno de um eixo em um campo de forças. Se o campo e o movimento forem simétricos em relação ao eixo, então o momento angular da partícula é conservado.

A matemática por trás do teorema de Noether

Vamos dar uma olhada mais profunda no formalismo matemático do teorema de Noether. Suponha que a lagrangiana L é invariante sob uma transformação contínua desta forma:

        q_i rightarrow q_i + epsilon f_i(q, dot{q}, t)
    

onde epsilon é um pequeno parâmetro. O teorema de Noether afirma que existe uma quantidade conservada J tal que:

        J = sum_i left( frac{partial L}{partial dot{q}_i} f_i(q, dot{q}, t) right) - F
    

Aqui, a função F é derivada como parte da transformação de simetria. Seu papel é ajustar a forma de J para garantir a conservação.

Exemplo: pêndulo

Considere um pêndulo simples realizando pequenas oscilações. Seu ângulo em relação à vertical é a coordenada theta. A lagrangiana é:

        L = frac{1}{2} ml^2 dot{theta}^2 - mgl(1 - costheta)
    

Para pequenas oscilações, costheta approx 1 - frac{1}{2} theta^2, simplificando a lagrangiana:

        L = frac{1}{2} ML^2 dot{theta}^2 - frac{1}{2} MGL theta^2
    

Uma vez que a lagrangiana não mostra dependência explícita do tempo t, a conservação da energia segue pelo teorema de Noether.

O teorema de Noether na mecânica quântica e na relatividade

Embora nossa discussão tenha sido focada na mecânica clássica, o teorema de Noether é igualmente importante em teorias mais avançadas, como a mecânica quântica e a relatividade geral.

Na mecânica quântica, as simetrias desempenham um papel central na determinação das regras que governam os sistemas. Aqui, o teorema de Noether fornece uma base para derivar regras de conservação na presença de simetrias na formulação da função de onda.

Na relatividade geral, as simetrias do espaço-tempo levam a leis de conservação. Por exemplo, a invariância de difeomorfismo leva à conservação do tensor de energia-momento, que é um pilar da teoria.

Conclusão

O teorema de Noether é uma das mais belas e importantes pontes entre a matemática e a física. Ao vincular simetrias a leis de conservação, ele fornece uma explicação unificada de por que certas quantidades permanecem inalteradas ao longo do tempo. À medida que as teorias da física evoluem, os insights de Noether continuam a inspirar e moldar nossa compreensão do universo.

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