लाग्रेंजियन यांत्रिकी

लाग्रेंजियन यांत्रिकी पारंपरिक यांत्रिकी की पुनःसंरचना है जो किसी कण या कणों की प्रणाली की गति का विश्लेषण करने के लिए एक शक्तिशाली विधि प्रदान करती है। यह पारंपरिक यांत्रिकी का एक वैकल्पिक रूप है, जैसे न्यूटोनियन यांत्रिकी, जो विभिन्न वैचारिक आधारों और गणितीय दृष्टिकोणों का उपयोग करती है। इस विधि को जोसेफ-लुइस लाग्रेंज द्वारा 18वीं शताब्दी में प्रतिपादित किया गया था, और यह जटिल प्रणालियों और प्रतिबंधों से निपटने के लिए विशेष रूप से उपयोगी है।

लाग्रेंजियन यांत्रिकी का वैचारिक ढांचा

लाग्रेंजियन यांत्रिकी की मुख्य अवधारणा न्यूनतम क्रिया का सिद्धांत है। यह सिद्धांत कहता है कि स्थान-समय के दो बिंदुओं के बीच कण द्वारा लिया गया मार्ग वह है जिसके लिए क्रिया इंटीग्रल स्थिर होता है (व्यवहार में, न्यूनतम)। क्रिया को आम तौर पर इस प्रकार प्रस्तुत किया जाता है:

S = int_{t_1}^{t_2} L , dt

यहां S क्रिया है, और L प्रणाली का लाग्रेंजियन है। लाग्रेंजियन, L, इस प्रकार परिभाषित है:

L = T - V

जहां T गतिज ऊर्जा है, और V प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा है।

न्यूनतम क्रिया का कथन ईलर-लाग्रेंज समीकरण की ओर ले जाता है, जो लाग्रेंजियन यांत्रिकी की एक मौलिक समीकरण है:

frac{d}{dt}left( frac{partial L}{partial dot{q}} right) - frac{partial L}{partial q} = 0

जहां q सामान्यीकृत निर्देशांक को प्रतिनिधित्व करता है और dot{q} सामान्यीकृत वेगों को प्रतिनिधित्व करता है।

सामान्यीकृत निर्देशांक

लाग्रेंजियन यांत्रिकी की एक विशेषता "सामान्यीकृत निर्देशांक" का उपयोग है। ये निर्देशांक (अक्सर q_i द्वारा दर्शाए जाते हैं) आवश्यकतानुसार भौतिक अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व नहीं करते, बल्कि ऐसे चर हैं जो किसी प्रणाली की संरचना को अद्वितीय रूप से परिभाषित करते हैं।

उदाहरण के लिए, एक लंबाई l के लोलक पर विचार करें। लोलक की स्थिति को कार्तीय निर्देशांक (x और y) में वर्णित करने के बजाय, हम सामान्यीकृत निर्देशांक के रूप में एकल कोण theta का उपयोग करते हैं। यह गणनाओं को बहुत सरल करता है, विशेष रूप से जब अवरोधों से निपटते हैं।

गतिज और स्थितिज ऊर्जा

लाग्रेंजियन गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं से निर्मित होता है, और यह सामान्यतः प्रणालियों के गतिशील व्यवहार को दर्शाता है। आइए इन पर अधिक विस्तार से विचार करें:

गतिज ऊर्जा

बहुत सी प्रणालियों में, गतिज ऊर्जा T सामान्यीकृत वेगों के संदर्भ में व्यक्त की जाती है। उदाहरण के लिए, कार्तीय निर्देशांक में

T = frac{1}{2} m dot{x}^2

एक से अधिक स्वतंत्रता डिग्री वाली प्रणाली के लिए, जैसे कि त्रि-आयामी स्थान में एक बिंदु द्रव्यमान, गतिज ऊर्जा सामान्यीकृत की जा सकती है इस रूप में:

T = frac{1}{2} sum_{i} m_i left( dot{x}_i^2 + dot{y}_i^2 + dot{z}_i^2 right)

स्थितिज ऊर्जा

स्थितिज ऊर्जा V सामान्यीकृत निर्देशांक q का एक फलन है। रूढ़िवादी बलों के लिए, स्थितिज ऊर्जा को सीधे लाग्रेंजियन में रूपांतरित किया जाता है।

V = V(q)

उदाहरण के लिए, पृथ्वी की सतह के निकट गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा है:

V = mgh

गति के समीकरणों की व्युत्पत्ति करना

आइए गति के समीकरणों को निकालने के सिद्धांत को एक सरल उदाहरण का उपयोग करके दर्शाते हैं: एक सरल हारमोनिक ऑसिलेटर।

मान लीजिये कि एक द्रव्यमान m की स्थिति k के कठोरता स्थिरांक वाले एक स्प्रिंग से जुड़ी है। यहां सामान्यीकृत निर्देशांक q संतुलन स्थिति से विस्थापन x है। लाग्रेंजियन है:

L = T - V = frac{1}{2} m dot{x}^2 - frac{1}{2} kx^2

ईलर-लाग्रेंज समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए:

frac{d}{dt} left( frac{partial L}{partial dot{x}} right) - frac{partial L}{partial x} = 0

आंशिक अवकलन की गणना करते हुए:

frac{partial L}{partial dot{x}} = m dot{x}

frac{d}{dt} left( m dot{x} right) = m ddot{x}

frac{partial L}{partial x} = -kx

यह गति का समीकरण देता है:

m ddot{x} = -kx

लाग्रेंजियन यांत्रिकी में प्रतिबंध

लाग्रेंजियन यांत्रिकी बहुत सहजता से प्रतिबंधों को शामिल करती है, अक्सर न्यूटोनियन यांत्रिकी की तुलना में वास्तविक दुनिया की स्थितियों को अधिक सटीक रूप से मॉडल करती है।

प्रतिबंध या तो होलोनोमिक या गैर-होलोनोमिक हो सकते हैं। होलोनोमिक प्रतिबंध निर्देशांकों को संबंधित करने वाले समीकरणों के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं, जबकि गैर-होलोनोमिक नहीं।

उदाहरण: दोहरा लोलक

मान लीजिए कि आपके पास दो लोलक हैं जो एक साथ जुड़े हुए हैं। प्रणाली के दो डिग्री स्वतंत्रता हैं जो theta_1 और theta_2 कोणों द्वारा दर्शाई गई हैं। लाग्रेंजियन L में ये कोण शामिल होते हैं। इस तथ्य का मूल्यांकन करना कि लंबाई स्थिर रहनी चाहिए, जटिल लेकिन हल करने योग्य समीकरणों की ओर ले जाता है।

हैमिलटोनियन यांत्रिकी में परिवर्तन

लाग्रेंजियन यांत्रिकी का एक दिलचस्प पहलू यह है कि यह हैमिलटोनियन यांत्रिकी में एक सहज परिवर्तन प्रदान करती है। लेजेंड्रे परिवर्तन के माध्यम से हैमिलटोनियन सूत्रीकरण प्राप्त किया जा सकता है:

H = sum_i dot{q}_i p_i - L

जहां p_i = frac{partial L}{partial dot{q}_i} सामान्यीकृत संवेग को दर्शाते हैं।

अनुप्रयोग और लाभ

लाग्रेंजियन यांत्रिकी एक लचीली विधि है जो शास्त्रीय भौतिकी के परे कई क्षेत्रों में उपयोगी है, जैसे कि इलेक्ट्रोडायनामिक्स, सापेक्षिक यांत्रिकी, और क्वांटम यांत्रिकी, क्योंकि यह निर्देशांक रूपांतरणों में बहुमुखी है।

न्यूनतम क्रिया का सिद्धांत और सामान्यीकृत निर्देशांकों का उपयोग इस दृष्टिकोण को न केवल गणितीय रूप से सुंदर बल्कि सार्वभौमिक रूप से लागू करते हैं। यह जटिल समस्याओं को सरल करता है और संरक्षण के नियमों को प्राप्त करने और समरूपताओं को समझने के लिए आवश्यक है।

निष्कर्ष

अंततः, लाग्रेंजियन यांत्रिकी हमें पारंपरिक न्यूटोनियन विधियों की सीमाओं को पार करने वाली एक प्रणालीगत दृष्टिकोण प्रदान करती है जो व्यवस्थित रूप से प्रतिबंधों को शामिल करती है और सहज रूप से जटिल प्रणालियों को समायोजित करती है। यह बलों से ऊर्जा की ओर प्रतिमान परिवर्तन करता है, जो विभिन्न भौतिक परिदृश्यों के लिए अनुकूलनीय एक मजबूत रूपरेखा प्रदान करता है।

टिप्पणियाँ