正準変換
古典力学の分野において、ハミルトン力学はニュートン力学の強力な再定式化として際立っています。ラグランジュ力学とは異なり、一般化座標と速度の概念を中心に展開するのではなく、ハミルトン力学はこれらを一般化座標と運動量として知られる新しい変数に変換することで新しいアプローチを導入します。これらの変換は正準変換の核心であり、複雑な機械システムを簡略化し解くための強力なツールを提供します。この正準変換の探索はその重要性、数学的定式化、および古典力学における応用について深く掘り下げています。
正準変換の理解
ハミルトン力学の核心には、次のように表現されるハミルトンの方程式があります：
,
dot{q}_i = frac{partial H}{partial p_i}, quad dot{p}_i = -frac{partial H}{partial q_i}
,
ここで、(q_i) は一般化座標、(p_i) は一般化運動量、(H) はシステムのハミルトニアンです。
正準変換は座標と運動量((q_i, p_i)) を新しい座標と運動量((Q_i, P_i)) に変換し、ハミルトンの方程式の形式を保持します。これは重要で、簡略化後の運動方程式を解くことが元の問題に対して同等であるといえます。
形式的定義
((q_i, p_i)) から ((Q_i, P_i)) への変換は、ハミルトンの方程式の形を保持する場合に正準と呼ばれます。これは、新しい変数も同じ方程式を満たすことを意味します：
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dot{Q}_i = frac{partial K}{partial P_i}, quad dot{P}_i = -frac{partial K}{partial Q_i}
,
ここで、(K(Q, P, t)) は新しい変数 ((Q_i, P_i)) で表現された新しいハミルトニアンです。
生成関数
生成関数は正準変換の構築において重要な役割を果たし、古い座標と運動量、新しい座標と運動量の間の関数的関係を決定するのに使用されます。
生成関数には主に4種類があります：
- F1(q, Q, t) - 古い座標と新しい座標の関数。
- F2(q, P, t) - 古い座標と新しい運動量の関数。
- F3(p, Q, t) - 古い運動量と新しい座標の関数。
- F4(p, P, t) - 古い運動量と新しい運動量の関数。
各タイプの生成関数について、対応する関係が古い変数と新しい変数を結びます。1つの例を詳しく見てみましょう：
生成関数 F2(q, P, t) の例
この生成関数は変換方程式を導き出します：
,
p_i = frac{partial F2}{partial q_i}, quad Q_i = frac{partial F2}{partial P_i}
,
これらから、(p_i) と (Q_i) の (q_i) と (P_i) に関する明示的な式を見つけることができます。
変化の視覚的表現
位相空間に表される単純調和振動子系を考慮し、正準変換が問題を単純化します：
図において、位相空間の移動として表された変化が、方程式の形式を変えることなく起こります。
正準変換の特性
正準変換の最も興味深い特性の1つは、これらの写像のシンプレクティックな性質です。これはシンプレクティック構造を次のように保持します：
,
sum_{i} dQ_i wedge dP_i = sum_{i} dq_i wedge dp_i
,
この保存により、位相空間の体積が正準変換の下で変化せず、リウヴィルの定数密度の原理が自然に満たされ、統計力学や熱力学において重要な意味を持ちます。
正準変換の応用
正準変換はさまざまな目的に役立ちます：
- ハミルトニアンを簡略化し時に完全に対角化することによって動的問題の解決を単純化します。
- 量子力学において、異なる量子問題の同等性を示し、対称性や不変量を明らかにします。
- 天体力学において、ポアンカレ法のような摂動理論を通じて惑星運動を支配する方程式を解くのに役立ちます。
例：調和振動子
単純調和振動子は正準変換を示す基礎となる例です。そのハミルトニアンを考えます：
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H(q, p) = frac{p^2}{2m} + frac{1}{2}momega^2q^2
,
正準変換を用いて、このハミルトニアンは複素平面への移行や作用・角変数を使用することで、時間に関する積分が簡単になるように簡略化できます。
結論
正準変換はハミルトン力学において重要なツールであり、複雑な機械システムを簡略化し解くための体系的な方法を提供します。生成関数の使用とシンプレクティック構造の保持を通じて、通常の状況では解析的に解くのが非常に困難な問題の解決を容易にします。
正準変換の有用性は古典力学を超えて、量子力学、統計力学、さらにその先にまで及び、ハミルトン力学を理論的考察と実践的応用に適用することを望む物理学者にとって、これらの変換を理解することが重要なステップです。
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