Doctorado
  1. Classical mechanics  1.1. Mecánica newtoniana  1.1.1. Leyes del movimiento en la mecánica newtoniana  1.1.2. Dinámica de partículas y sistemas  1.1.3. Leyes de conservación  1.1.4. Movimiento de fuerza central  1.2. Mecánica lagrangiana  1.2.1. Principio de acción mínima  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. Restricciones y coordenadas normalizadas  1.2.4. Teorema de Noether  1.3. Hamiltonian mechanics  1.3.1. Ecuaciones de Hamilton  1.3.2. Conversión canónica  1.3.3. Corchete de Poisson  1.3.4. Variable de acción-ángulo  1.4. Movilidad del cuerpo rígido  1.4.1. Rotación de cuerpos rígidos  1.4.2. Tensor de momento de inercia  1.4.3. Ecuaciones de Euler en la dinámica de cuerpos rígidos  1.4.4. Movimiento giroscópico  1.5. Caos y dinámica no lineal  1.5.1. Espacio de fase y atractivo  1.5.2. Teoría de bifurcación y caos  1.5.3. Caos Hamiltoniano  1.5.4. Exponente de Lyapunov
  2. Electrodinámica  2.1. Las ecuaciones de Maxwell  2.1.1. La ley de Gauss para la electricidad  2.1.2. La ley de Gauss para el magnetismo  2.1.3. La ley de Faraday  2.1.4. La Ley de Ampère  2.1.5. Condiciones de frontera en las ecuaciones de Maxwell  2.2. Ondas electromagnéticas  2.2.1. Ecuación de onda  2.2.2. Polarización  2.2.3. Reflexión y Refracción  2.2.4. Guías de onda y resonadores  2.3. Relatividad especial  2.3.1. Transformaciones de Lorentz  2.3.2. Energía y momento relativista  2.3.3. Electrodinámica relativista  2.3.4. Espaciotiempo de Minkowski  2.4. Radiación y dispersión  2.4.1. Radiación de dipolo  2.4.2. Expansión multipolar  2.4.3. Dispersión de Compton  2.4.4. Dispersión de Thomson y Rayleigh  2.5. Física de Plasma  2.5.1. Pantalla de Debye  2.5.2. Magnetohidrodinámica  2.5.3. Inestabilidad del plasma  2.5.4. Plasma de Fusión
  3. Mecánica cuántica  3.1. Fundamentos de la mecánica cuántica  3.1.1. Principios de la mecánica cuántica  3.1.2. Función de onda e interpretación de la probabilidad  3.1.3. Principio de incertidumbre  3.1.4. Efecto túnel cuántico  3.2. Ecuación de Schrödinger  3.2.1. Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo  3.2.2. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo  3.2.3. Valores propios y funciones propias en la ecuación de Schrödinger  3.2.4. Integrales de caminos en mecánica cuántica  3.3. Operadores cuánticos  3.3.1. Conmutadores y observables  3.3.2. Operador de momento angular  3.3.3. Operador Escalera  3.3.4. Matrices de Pauli  3.4. Entrecruzamiento cuántico y medición  3.4.1. Teorema de Bell  3.4.2. Teletransportación Cuántica  3.4.3. Enredo cuántico y decoherencia cuántica en la medición  3.4.4. Entrelazamiento cuántico y medición en mecánica cuántica  3.5. Mecánica cuántica relativista  3.5.1. Ecuación de Klein–Gordon  3.5.2. Ecuación de Dirac  3.5.3. Teoría cuántica de campos  3.5.4. Integral de camino de Feynman
  4. Mecánica estadística y termodinámica  4.1. Termodinámica clásica  4.1.1. Leyes de la Termodinámica  4.1.2. Ciclo de Carnot  4.1.3. Entropía y energía libre  4.1.4. Eficiencia termodinámica  4.2. Teoría cinética de los gases  4.2.1. Distribución de Maxwell-Boltzmann  4.2.2. Fenómeno de transporte  4.2.3. Camino libre medio  4.2.4. Sistemas no equilibrados en la teoría cinética de gases  4.3. Mecánica estadística  4.3.1. Microestados y Macroestados  4.3.2. Función de partición  4.3.3. Estadísticas de Bose–Einstein y Fermi–Dirac  4.3.4. Fluctuaciones y correlaciones  4.4. Transición de fase  4.4.1. Eventos importantes  4.4.2. Teoría de Landau  4.4.3. Modelo de Ising  4.4.4. Teoría del grupo de renormalización
  5. Teoría cuántica de campos  5.1. Segunda Cuantización  5.1.1. Oscilador armónico cuántico en segunda cuantización  5.1.2. Operadores de creación y aniquilación en segunda cuantización  5.1.3. Integral de Camino en la Segunda Cuantización  5.1.4. Espacio de Fock  5.2. Electrodinámica Cuántica  5.2.1. Feynman diagrams  5.2.2. Renormalización en electrodinámica cuántica  5.2.3. Invariancia de calibre en electrodinámica cuántica  5.2.4. Polarización del vacío  5.3. Cromodinámica Cuántica  5.3.1. Quarks y gluones  5.3.2. Rango de colores  5.3.3. Lattice QCD  5.3.4. Libertad asintótica  5.4. Modelo estándar de la física de partículas  5.4.1. Teoría electrodébil  5.4.2. Mecanismo de Higgs  5.4.4. Teorías de Gran Unificación
  6. Relatividad general y gravedad  6.1. Ecuaciones de campo de Einstein  6.1.1. Tensor de Ricci y curvatura escalar  6.1.2. Solución de Schwarzschild  6.1.3. Métrica de Kerr  6.1.4. Ondas gravitacionales  6.2. Cosmología  6.2.1. Ecuación de Friedmann  6.2.2. Inflación cósmica  6.2.3. Materia oscura y energía oscura  6.2.4. Estructura a gran escala  6.3. Agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.1. Horizonte de sucesos en agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.2. Radiación de Hawking  6.3.3. Proceso de Penrose  6.3.4. Paradoja de la información en agujeros negros y agujeros de gusano
  7. Física de la materia condensada  7.1. Estructura cristalina y red  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Teoría de bandas en estructuras y redes cristalinas  7.1.3. Fonones en la estructura cristalina y la red  7.1.4. Teorema de Bloch  7.2. Superconductividad  7.2.1. Principio BCS  7.2.2. Efecto Meissner  7.2.3. Superconductor de Alta Temperatura  7.2.4. Efecto Josephson

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Corchete de Poisson


En el campo de la mecánica clásica, el estudio de los sistemas a menudo se divide en diferentes formulaciones como la mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana. La formulación Hamiltoniana es particularmente hermosa debido a su estructura matemática y su conexión con otras áreas de la física. Una de las herramientas matemáticas clave en la mecánica Hamiltoniana es el concepto de corchete de Poisson. En este artículo, profundizaremos en el mundo de los corchetes de Poisson, explorando su definición, propiedades y aplicaciones en la mecánica clásica.

Definición de corchete de Poisson

Comencemos considerando un sistema dinámico caracterizado por su función Hamiltoniana H(q,p,t), donde q denota la coordenada generalizada, p denota el momento generalizado y t es el tiempo. El corchete de Poisson es una operación binaria definida para dos funciones diferenciables f y g en el espacio de fases del sistema.

El corchete de Poisson de dos funciones f y g se define como:

{f, g} = ∑ ( ∂f/∂q_i * ∂g/∂p_i - ∂f/∂p_i * ∂g/∂q_i )

donde la suma es sobre todas las coordenadas y momentos normalizados (q_i, p_i). El corchete de Poisson es una medida del cambio infinitesimal en un observable debido al flujo generado por otro observable.

Propiedades del corchete de Poisson

El corchete de Poisson tiene varias propiedades importantes que lo convierten en una herramienta poderosa en la mecánica Hamiltoniana. Estas propiedades incluyen:

1. Linealidad

Los corchetes de Poisson son lineales en ambos argumentos. Si tenemos funciones a, b, f, g y constantes α, β, entonces:

{αf + βg, a} = α{f, a} + β{g, a}

2. Antisimetría

El corchete de Poisson es antisimétrico, lo que significa:

{f, g} = -{g, f}

3. Regla de Leibniz

La regla de Leibniz para el corchete de Poisson establece que este actúa como una derivación de la misma manera que la diferenciación:

{f, gh} = {f, g}h + g{f, h}

4. Identidad de Jacobi

La identidad de Jacobi es una propiedad fundamental que expresa la consistencia de los corchetes de Poisson:

{{f, g}, h} + {{g, h}, f} + {{h, f}, g} = 0

El papel del corchete de Poisson en la mecánica Hamiltoniana

En la mecánica Hamiltoniana, la dinámica de un sistema está gobernada por las ecuaciones de Hamilton, que pueden expresarse elegantemente usando el corchete de Poisson. Para una función f(q, p, t) que evoluciona con el sistema, su evolución temporal está dada por:

df/dt = {f, H} + ∂f/∂t

Esto deja claro que el corchete de Poisson con el Hamiltoniano H determina cómo el observable f cambia con el tiempo.

Ejemplo visual: corchete de Poisson y espacio de fases

Considera un simple ejemplo visual donde tenemos un espacio de fases bidimensional con ejes mostrando q y p. El corchete de Poisson puede verse como una medida del "retorcimiento" o "rotación" del espacio de fases debido a cambios en q y p. Aquí hay un diagrama simple:

P ¿Por qué f = constante g = const

En este diagrama, los círculos azules y rojos representan las curvas de nivel de las funciones f y g, respectivamente. El corchete de Poisson {f, g} mide el grado en que estas curvas de nivel se retuercen entre sí.

Ejemplos y aplicaciones

Para comprender mejor el corchete de Poisson, veamos ejemplos y aplicaciones prácticas.

Ejemplo 1: Oscilador armónico simple

Considera un oscilador armónico simple con el Hamiltoniano:

H = (p^2 / 2m) + (1/2) mω^2 q^2

Calcula el corchete de Poisson {q, p} para este sistema:

{q, p} = ( ∂q/∂q * ∂p/∂p - ∂q/∂p * ∂p/∂q ) = 1

Ejemplo 2: Momento angular

Considera las componentes del momento angular L_i. Los corchetes de Poisson de estas componentes satisfacen:

{L_x, L_y} = L_z
{L_y, L_z} = L_x
{L_z, L_x} = L_y

Esto muestra que las componentes del momento angular forman un álgebra cerrada bajo los corchetes de Poisson.

Importancia en la mecánica clásica y cuántica

En la mecánica clásica, los corchetes de Poisson son importantes para entender la estructura simpléctica del espacio de fases. Proporcionan información sobre cantidades conservadas, simetrías e integrabilidad de un sistema. Además, los corchetes de Poisson sirven como un puente hacia la mecánica cuántica. En la mecánica cuántica, el corchete de Poisson es reemplazado por el conmutador, y esta transición tiene muchas propiedades clásicas.

Conclusión

En resumen, los corchetes de Poisson son un concepto central en la mecánica Hamiltoniana, que ofrecen una descripción concisa y hermosa de los sistemas dinámicos. Enlazan simetrías clave y leyes de conservación, conectando de manera elegante la mecánica clásica con la mecánica cuántica. Comprender los corchetes de Poisson ayuda a los físicos a comprender el comportamiento complejo de los sistemas, proporcionando un acceso a percepciones más profundas en la física teórica.


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