Doutorado
  1. Mecânica clássica  1.1. Mecânica newtoniana  1.1.1. Leis do movimento na mecânica Newtoniana  1.1.2. Dinâmica de partículas e sistemas  1.1.3. Leis de conservação  1.1.4. Movimento de força central  1.2. Mecânica lagrangiana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Restrições e coordenadas normalizadas  1.2.4. Teorema de Noether  1.3. Mecânica Hamiltoniana  1.3.1. Equações de Hamilton  1.3.2. Conversão canônica  1.3.3. Colchete de Poisson  1.3.4. Variável ação-ângulo  1.4. Mobilidade de corpo rígido  1.4.1. Rotação de corpos rígidos  1.4.2. Tensor de momento de inércia  1.4.3. Equações de Euler na dinâmica de corpos rígidos  1.4.4. Movimento giroscópico  1.5. Caos e Dinâmica Não Linear  1.5.1. Espaço de fase e atrativo  1.5.2. Teoria da Bifurcação e do Caos  1.5.3. Caos Hamiltoniano  1.5.4. Expoente de Lyapunov
  2. Eletrodinâmica  2.1. As equações de Maxwell  2.1.1. Lei de Gauss para eletricidade  2.1.2. Lei de Gauss para o magnetismo  2.1.3. Lei de Faraday  2.1.4. Ampere's Law  2.1.5. Condições de contorno nas equações de Maxwell  2.2. Ondas eletromagnéticas  2.2.1. Equação de onda  2.2.2. Polarização  2.2.3. Reflexão e Refração  2.2.4. Guias de onda e ressonadores  2.3. Relatividade especial  2.3.1. Transformações de Lorentz  2.3.2. Energia e momentum relativísticos  2.3.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.4. Espaço-tempo de Minkowski  2.4. Radiação e dispersão  2.4.1. Radiação de dipolo  2.4.2. Expansão Multipolar  2.4.3. Dispersão de Compton  2.4.4. Dispersão de Thomson e Rayleigh  2.5. Física de Plasma  2.5.1. Tela de Debye  2.5.2. Magnetohidrodinâmica  2.5.3. Instabilidade do plasma  2.5.4. Plasma de Fusão
  3. Mecânica quântica  3.1. Fundamentos da mecânica quântica  3.1.1. Princípios da mecânica quântica  3.1.2. Função de onda e interpretação de probabilidade  3.1.3. Princípio da Incerteza  3.1.4. Tunelamento Quântico  3.2. Equação de Schrödinger  3.2.1. Equação de Schrödinger dependente do tempo  3.2.2. Equação de Schrödinger independente do tempo  3.2.3. Autovalores e autofunções na equação de Schrödinger  3.2.4. Integrais de caminho em mecânica quântica  3.3. Operadores quânticos  3.3.1. Comutadores e observáveis  3.3.2. Operador de momento angular  3.3.3. Ladder Operator  3.3.4. Matrizes de Pauli  3.4. Entrelaçamento quântico e medição  3.4.1. Teorema de Bell  3.4.2. Teletransporte Quântico  3.4.3. Emaranhamento quântico e decoerência quântica na medição  3.4.4. Emaranhamento quântico e medição na mecânica quântica  3.5. Mecânica quântica relativística  3.5.1. Equação de Klein-Gordon  3.5.2. Equação de Dirac  3.5.3. Teoria quântica de campos  3.5.4. Integral de caminho de Feynman
  4. Mecânica estatística e termodinâmica  4.1. Termodinâmica clássica  4.1.1. Leis da Termodinâmica  4.1.2. Ciclo de Carnot  4.1.3. Entropia e energia livre  4.1.4. Eficiência Termodinâmica  4.2. Teoria cinética dos gases  4.2.1. Distribuição de Maxwell–Boltzmann  4.2.2. Fenômeno de transporte  4.2.3. Caminho livre médio  4.2.4. Sistemas fora do equilíbrio na teoria cinética dos gases  4.3. Mecânica Estatística  4.3.1. Microestados e Macroestados  4.3.2. Função de partição  4.3.3. Estatísticas de Bose-Einstein e Fermi-Dirac  4.3.4. Flutuações e correlações  4.4. Transição de fase  4.4.1. Eventos importantes  4.4.2. Teoria de Landau  4.4.3. Modelo de Ising  4.4.4. Teoria do grupo de renormalização
  5. Teoria quântica de campos  5.1. Segunda Quantização  5.1.1. Oscilador harmônico quântico na segunda quantização  5.1.2. Operadores de criação e aniquilação na segunda quantização  5.1.3. Integral de Caminho na Segunda Quantização  5.1.4. Espaço de Fock  5.2. Eletrodinâmica Quântica  5.2.1. Diagramas de Feynman  5.2.2. Renormalização na eletrodinâmica quântica  5.2.3. Invariância de calibre em eletrodinâmica quântica  5.2.4. Polarização do vácuo  5.3. QCD - Cromodinâmica Quântica  5.3.1. Quarks e glúons  5.3.2. Faixa de cores  5.3.3. Lattice QCD  5.3.4. Liberdade assintótica  5.4. Modelo padrão da física de partículas  5.4.1. Teoria eletrofraca  5.4.2. Mecanismo de Higgs  5.4.4. Teorias da Grande Unificação
  6. Relatividade geral e gravidade  6.1. Equações de campo de Einstein  6.1.1. Tensores de Ricci e curvatura escalar  6.1.2. Solução de Schwarzschild  6.1.3. Métrica de Kerr  6.1.4. Ondas gravitacionais  6.2. Cosmologia  6.2.1. Equação de Friedmann  6.2.2. Inflação cósmica  6.2.3. Matéria escura e energia escura  6.2.4. Estrutura em grande escala  6.3. Buracos negros e buracos de minhoca  6.3.1. Horizonte de eventos em buracos negros e buracos de minhoca  6.3.2. Radiação de Hawking  6.3.3. Processo de Penrose  6.3.4. Paradoxo da informação em buracos negros e buracos de minhoca
  7. Física da matéria condensada  7.1. Estrutura cristalina e rede  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Teoria de bandas na estrutura cristalina e redes  7.1.3. Fónons na estrutura cristalina e em redes  7.1.4. Teorema de Bloch  7.2. Supercondutividade  7.2.1. Princípio BCS  7.2.2. Efeito Meissner  7.2.3. Supercondutor de Alta Temperatura  7.2.4. Efeito Josephson

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Colchete de Poisson


No campo da mecânica clássica, o estudo dos sistemas é frequentemente dividido em diferentes formulações, como a mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana. A formulação Hamiltoniana é particularmente bela devido à sua estrutura matemática e sua conexão com outras áreas da física. Uma das principais ferramentas matemáticas na mecânica Hamiltoniana é o conceito de colchete de Poisson. Neste artigo, vamos nos aprofundar no mundo dos colchetes de Poisson, explorando sua definição, propriedades e aplicações na mecânica clássica.

Definição de colchete de Poisson

Vamos começar considerando um sistema dinâmico caracterizado pela sua função Hamiltoniana H(q,p,t), onde q denota a coordenada generalizada, p denota o momento generalizado e t é o tempo. O colchete de Poisson é uma operação binária definida para duas funções diferenciáveis f e g no espaço de fase do sistema.

O colchete de Poisson de duas funções f e g é definido como:

{f, g} = ∑ ( ∂f/∂q_i * ∂g/∂p_i - ∂f/∂p_i * ∂g/∂q_i )

onde a soma é sobre todas as coordenadas e momentos normalizados (q_i, p_i). O colchete de Poisson é uma medida da mudança infinitesimal em um observável devido ao fluxo gerado por outro observável.

Propriedades do colchete de Poisson

O colchete de Poisson possui várias propriedades importantes que o tornam uma ferramenta poderosa na mecânica Hamiltoniana. Essas propriedades incluem:

1. Linearidade

Os colchetes de Poisson são lineares em ambos os argumentos. Se tivermos funções a, b, f, g e constantes α, β, então:

{αf + βg, a} = α{f, a} + β{g, a}

2. Antissimetria

O colchete de Poisson é antissimétrico, o que significa:

{f, g} = -{g, f}

3. Regra de Leibniz

A regra de Leibniz para o colchete de Poisson afirma que ele funciona como uma derivação da mesma forma que a diferenciação:

{f, gh} = {f, g}h + g{f, h}

4. Identidade de Jacobi

A identidade de Jacobi é uma propriedade fundamental que expressa a consistência dos colchetes de Poisson:

{{f, g}, h} + {{g, h}, f} + {{h, f}, g} = 0

O papel do colchete de Poisson na mecânica Hamiltoniana

Na mecânica Hamiltoniana, a dinâmica de um sistema é governada pelas equações de Hamilton, que podem ser elegantemente expressas usando o colchete de Poisson. Para uma função f(q, p, t) que evolui com o sistema, sua evolução temporal é dada por:

df/dt = {f, H} + ∂f/∂t

Isso deixa claro que o colchete de Poisson com a Hamiltoniana H determina como o observável f muda com o tempo.

Exemplo visual: colchete de Poisson e espaço de fase

Considere um exemplo visual simples onde temos um espaço de fase bidimensional com eixos mostrando q e p. O colchete de Poisson pode ser visto como uma medida da "torção" ou "rotação" do espaço de fase devido a mudanças em q e p. Aqui está um diagrama simples:

P Q f = constante g = constante

Neste diagrama, os círculos azul e vermelho representam as curvas de nível das funções f e g, respectivamente. O colchete de Poisson {f, g} mede a extensão em que essas curvas de nível se torcem umas às outras.

Exemplos e aplicações

Para entender melhor o colchete de Poisson, vamos ver exemplos e aplicações práticas.

Exemplo 1: Oscilador harmônico simples

Considere um oscilador harmônico simples com a Hamiltoniana:

H = (p^2 / 2m) + (1/2) mω^2 q^2

Calcule o colchete de Poisson {q, p} para este sistema:

{q, p} = ( ∂q/∂q * ∂p/∂p - ∂q/∂p * ∂p/∂q ) = 1

Exemplo 2: Momento angular

Considere os componentes do momento angular L_i. Os colchetes de Poisson desses componentes satisfazem:

{L_x, L_y} = L_z
{L_y, L_z} = L_x
{L_z, L_x} = L_y

Isso mostra que os componentes do momento angular formam uma álgebra fechada sob os colchetes de Poisson.

Importância na mecânica clássica e quântica

Na mecânica clássica, os colchetes de Poisson são importantes para entender a estrutura simplética do espaço de fase. Eles fornecem informações sobre quantidades conservadas, simetrias e integrabilidade de um sistema. Além disso, os colchetes de Poisson servem como uma ponte para a mecânica quântica. Na mecânica quântica, o colchete de Poisson é substituído pelo comutador, e essa transição possui muitas propriedades clássicas.

Conclusão

Em resumo, os colchetes de Poisson são um conceito central na mecânica Hamiltoniana, que oferecem uma descrição concisa e bela dos sistemas dinâmicos. Eles englobam simetrias chave e leis de conservação, ligando de forma bela a mecânica clássica com a mecânica quântica. Entender os colchetes de Poisson ajuda os físicos a compreender o comportamento complexo dos sistemas, oferecendo um caminho para insights mais profundos na física teórica.


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Colchete de Poisson

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