Doctorado
  1. Classical mechanics  1.1. Mecánica newtoniana  1.1.1. Leyes del movimiento en la mecánica newtoniana  1.1.2. Dinámica de partículas y sistemas  1.1.3. Leyes de conservación  1.1.4. Movimiento de fuerza central  1.2. Mecánica lagrangiana  1.2.1. Principio de acción mínima  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. Restricciones y coordenadas normalizadas  1.2.4. Teorema de Noether  1.3. Hamiltonian mechanics  1.3.1. Ecuaciones de Hamilton  1.3.2. Conversión canónica  1.3.3. Corchete de Poisson  1.3.4. Variable de acción-ángulo  1.4. Movilidad del cuerpo rígido  1.4.1. Rotación de cuerpos rígidos  1.4.2. Tensor de momento de inercia  1.4.3. Ecuaciones de Euler en la dinámica de cuerpos rígidos  1.4.4. Movimiento giroscópico  1.5. Caos y dinámica no lineal  1.5.1. Espacio de fase y atractivo  1.5.2. Teoría de bifurcación y caos  1.5.3. Caos Hamiltoniano  1.5.4. Exponente de Lyapunov
  2. Electrodinámica  2.1. Las ecuaciones de Maxwell  2.1.1. La ley de Gauss para la electricidad  2.1.2. La ley de Gauss para el magnetismo  2.1.3. La ley de Faraday  2.1.4. La Ley de Ampère  2.1.5. Condiciones de frontera en las ecuaciones de Maxwell  2.2. Ondas electromagnéticas  2.2.1. Ecuación de onda  2.2.2. Polarización  2.2.3. Reflexión y Refracción  2.2.4. Guías de onda y resonadores  2.3. Relatividad especial  2.3.1. Transformaciones de Lorentz  2.3.2. Energía y momento relativista  2.3.3. Electrodinámica relativista  2.3.4. Espaciotiempo de Minkowski  2.4. Radiación y dispersión  2.4.1. Radiación de dipolo  2.4.2. Expansión multipolar  2.4.3. Dispersión de Compton  2.4.4. Dispersión de Thomson y Rayleigh  2.5. Física de Plasma  2.5.1. Pantalla de Debye  2.5.2. Magnetohidrodinámica  2.5.3. Inestabilidad del plasma  2.5.4. Plasma de Fusión
  3. Mecánica cuántica  3.1. Fundamentos de la mecánica cuántica  3.1.1. Principios de la mecánica cuántica  3.1.2. Función de onda e interpretación de la probabilidad  3.1.3. Principio de incertidumbre  3.1.4. Efecto túnel cuántico  3.2. Ecuación de Schrödinger  3.2.1. Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo  3.2.2. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo  3.2.3. Valores propios y funciones propias en la ecuación de Schrödinger  3.2.4. Integrales de caminos en mecánica cuántica  3.3. Operadores cuánticos  3.3.1. Conmutadores y observables  3.3.2. Operador de momento angular  3.3.3. Operador Escalera  3.3.4. Matrices de Pauli  3.4. Entrecruzamiento cuántico y medición  3.4.1. Teorema de Bell  3.4.2. Teletransportación Cuántica  3.4.3. Enredo cuántico y decoherencia cuántica en la medición  3.4.4. Entrelazamiento cuántico y medición en mecánica cuántica  3.5. Mecánica cuántica relativista  3.5.1. Ecuación de Klein–Gordon  3.5.2. Ecuación de Dirac  3.5.3. Teoría cuántica de campos  3.5.4. Integral de camino de Feynman
  4. Mecánica estadística y termodinámica  4.1. Termodinámica clásica  4.1.1. Leyes de la Termodinámica  4.1.2. Ciclo de Carnot  4.1.3. Entropía y energía libre  4.1.4. Eficiencia termodinámica  4.2. Teoría cinética de los gases  4.2.1. Distribución de Maxwell-Boltzmann  4.2.2. Fenómeno de transporte  4.2.3. Camino libre medio  4.2.4. Sistemas no equilibrados en la teoría cinética de gases  4.3. Mecánica estadística  4.3.1. Microestados y Macroestados  4.3.2. Función de partición  4.3.3. Estadísticas de Bose–Einstein y Fermi–Dirac  4.3.4. Fluctuaciones y correlaciones  4.4. Transición de fase  4.4.1. Eventos importantes  4.4.2. Teoría de Landau  4.4.3. Modelo de Ising  4.4.4. Teoría del grupo de renormalización
  5. Teoría cuántica de campos  5.1. Segunda Cuantización  5.1.1. Oscilador armónico cuántico en segunda cuantización  5.1.2. Operadores de creación y aniquilación en segunda cuantización  5.1.3. Integral de Camino en la Segunda Cuantización  5.1.4. Espacio de Fock  5.2. Electrodinámica Cuántica  5.2.1. Feynman diagrams  5.2.2. Renormalización en electrodinámica cuántica  5.2.3. Invariancia de calibre en electrodinámica cuántica  5.2.4. Polarización del vacío  5.3. Cromodinámica Cuántica  5.3.1. Quarks y gluones  5.3.2. Rango de colores  5.3.3. Lattice QCD  5.3.4. Libertad asintótica  5.4. Modelo estándar de la física de partículas  5.4.1. Teoría electrodébil  5.4.2. Mecanismo de Higgs  5.4.4. Teorías de Gran Unificación
  6. Relatividad general y gravedad  6.1. Ecuaciones de campo de Einstein  6.1.1. Tensor de Ricci y curvatura escalar  6.1.2. Solución de Schwarzschild  6.1.3. Métrica de Kerr  6.1.4. Ondas gravitacionales  6.2. Cosmología  6.2.1. Ecuación de Friedmann  6.2.2. Inflación cósmica  6.2.3. Materia oscura y energía oscura  6.2.4. Estructura a gran escala  6.3. Agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.1. Horizonte de sucesos en agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.2. Radiación de Hawking  6.3.3. Proceso de Penrose  6.3.4. Paradoja de la información en agujeros negros y agujeros de gusano
  7. Física de la materia condensada  7.1. Estructura cristalina y red  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Teoría de bandas en estructuras y redes cristalinas  7.1.3. Fonones en la estructura cristalina y la red  7.1.4. Teorema de Bloch  7.2. Superconductividad  7.2.1. Principio BCS  7.2.2. Efecto Meissner  7.2.3. Superconductor de Alta Temperatura  7.2.4. Efecto Josephson

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Variable de acción-ángulo


Las variables de acción-ángulo son una herramienta abstracta pero poderosa en la mecánica hamiltoniana, y proporcionan una comprensión simplificada de la dinámica de un sistema. Este método es particularmente útil para sistemas que son integrables, lo que significa que tienen tantos integrales de movimiento como grados de libertad, permitiendo su solución mediante cuadratura. En dichos sistemas, las variables de acción-ángulo pueden transformar un problema complejo en una forma más simple, lo que ayuda en gran medida tanto al estudio analítico como numérico de sistemas físicos.

Conceptos básicos de la mecánica hamiltoniana

Para entender la variable de acción-ángulo, es necesario primero comprender los conceptos básicos de la mecánica hamiltoniana. La mecánica hamiltoniana es una reformulación de la mecánica clásica, paralela a la mecánica lagrangiana, pero en la que la geometría simpléctica juega un papel central. Un sistema hamiltoniano se describe por un conjunto de ecuaciones derivadas de una función llamada el Hamiltoniano, H(p, q, t), donde p y q denotan el momentum generalizado y la coordenada, respectivamente.

Ecuaciones canónicas

Las ecuaciones de movimiento hamiltonianas se expresan como:

    (dot{q}_i = frac{partial H}{partial p_i}, quad dot{p}_i = -frac{partial H}{partial q_i})

donde ( dot{q}_i ) y ( dot{p}_i ) son las derivadas temporales de la coordenada y el momentum normalizados.

Introducción a las variables de acción-ángulo

Para sistemas que son integrables, las variables de acción-ángulo simplifican la dinámica hamiltoniana del sistema. En estas coordenadas, el problema hamiltoniano original se transforma de tal manera que el nuevo Hamiltoniano, K(I), se expresa solo en términos de las variables de acción I, que son cantidades conservadas. Esencialmente, la dinámica puede describirse fácilmente porque los ángulos (theta) evolucionan linealmente con el tiempo.

Conversión a variables de acción-ángulo

La transformación de las variables tradicionales del espacio de fase (p, q) a las variables de acción-ángulo (I, theta) es una técnica analítica bien establecida. La acción I se da mediante una integral sobre un período completo de movimiento, generalmente expresada como:

    I = oint p , dq

Aquí, I cuantifica la región del espacio de fase encerrada por la trayectoria del sistema y es constante en el tiempo.

La variable de ángulo (theta) es una coordenada cíclica que indica la fase del movimiento y se define como:

    theta = frac{partial}{partial I} int (p , dq - H , dt)

Ejemplo de variables de acción-ángulo: Oscilador armónico

Para ilustrar este concepto, consideremos el oscilador armónico simple, que se caracteriza por el Hamiltoniano:

    H(p, q) = frac{p^2}{2m} + frac{1}{2} m omega^2 q^2

La solución a las ecuaciones de movimiento de este sistema es bien conocida, en la que la posición y el momentum están relacionados como funciones sinusoidales del tiempo. Convertir este sistema en variables de acción-ángulo implica identificar la energía total E como:

    E = frac{1}{2} left( frac{p^2}{m} + m omega^2 q^2 right)

La variable de acción I es equivalente a:

    I = frac{E}{omega}

En coordenadas de acción-ángulo, el Hamiltoniano se convierte en:

    K(I) = omega I

La variable de ángulo evoluciona de la siguiente manera:

    theta(t) = omega t + theta_0

Ventajas de las variables de acción-ángulo

Las variables de acción-ángulo ofrecen ventajas sustanciales en el análisis del movimiento periódico. Al reducir el problema a su forma más simple, es mucho más fácil identificar la periodicidad y las resonancias. Dado que el Hamiltoniano en la forma de acción-ángulo depende solo de I, se obtienen importantes conocimientos sobre las propiedades del sistema físico original.

Efectos en la mecánica cuántica

Las variables de acción-ángulo proporcionan una forma de conectarse con la mecánica cuántica a través del principio de cuantización. En el enfoque semiclasico, las variables de acción se cuantizan de la siguiente manera:

    I_n = hbar (n + frac{1}{2})

Para valores enteros de n, proporciona una visión de la correspondencia clásico-cuántica.

Representación visual

Considere la siguiente representación visual en coordenadas de acción-ángulo. Imagine la trayectoria del espacio de fase de un sistema representada como una elipse:

I θ

Aquí, cada curva del espacio de fase corresponde a superficies de acción constante, y el movimiento puede verse como girando alrededor de estas curvas.

Conclusión

En la mecánica clásica, el uso de variables de acción-ángulo es un enfoque tremendamente efectivo para estudiar sistemas periódicos e integrables. Estas variables simplifican en gran medida la naturaleza, de otro modo compleja, de la dinámica del espacio de fase, permitiendo una visualización clara y una comprensión profunda del comportamiento físico fundamental de un sistema. La belleza y el poder de este método lo hacen una parte indispensable de la física teórica, proporcionando herramientas que pueden aprovecharse tanto en contextos clásicos como cuánticos.


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Variable de acción-ángulo

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