Doctorado
  1. Classical mechanics  1.1. Mecánica newtoniana  1.1.1. Leyes del movimiento en la mecánica newtoniana  1.1.2. Dinámica de partículas y sistemas  1.1.3. Leyes de conservación  1.1.4. Movimiento de fuerza central  1.2. Mecánica lagrangiana  1.2.1. Principio de acción mínima  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. Restricciones y coordenadas normalizadas  1.2.4. Teorema de Noether  1.3. Hamiltonian mechanics  1.3.1. Ecuaciones de Hamilton  1.3.2. Conversión canónica  1.3.3. Corchete de Poisson  1.3.4. Variable de acción-ángulo  1.4. Movilidad del cuerpo rígido  1.4.1. Rotación de cuerpos rígidos  1.4.2. Tensor de momento de inercia  1.4.3. Ecuaciones de Euler en la dinámica de cuerpos rígidos  1.4.4. Movimiento giroscópico  1.5. Caos y dinámica no lineal  1.5.1. Espacio de fase y atractivo  1.5.2. Teoría de bifurcación y caos  1.5.3. Caos Hamiltoniano  1.5.4. Exponente de Lyapunov
  2. Electrodinámica  2.1. Las ecuaciones de Maxwell  2.1.1. La ley de Gauss para la electricidad  2.1.2. La ley de Gauss para el magnetismo  2.1.3. La ley de Faraday  2.1.4. La Ley de Ampère  2.1.5. Condiciones de frontera en las ecuaciones de Maxwell  2.2. Ondas electromagnéticas  2.2.1. Ecuación de onda  2.2.2. Polarización  2.2.3. Reflexión y Refracción  2.2.4. Guías de onda y resonadores  2.3. Relatividad especial  2.3.1. Transformaciones de Lorentz  2.3.2. Energía y momento relativista  2.3.3. Electrodinámica relativista  2.3.4. Espaciotiempo de Minkowski  2.4. Radiación y dispersión  2.4.1. Radiación de dipolo  2.4.2. Expansión multipolar  2.4.3. Dispersión de Compton  2.4.4. Dispersión de Thomson y Rayleigh  2.5. Física de Plasma  2.5.1. Pantalla de Debye  2.5.2. Magnetohidrodinámica  2.5.3. Inestabilidad del plasma  2.5.4. Plasma de Fusión
  3. Mecánica cuántica  3.1. Fundamentos de la mecánica cuántica  3.1.1. Principios de la mecánica cuántica  3.1.2. Función de onda e interpretación de la probabilidad  3.1.3. Principio de incertidumbre  3.1.4. Efecto túnel cuántico  3.2. Ecuación de Schrödinger  3.2.1. Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo  3.2.2. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo  3.2.3. Valores propios y funciones propias en la ecuación de Schrödinger  3.2.4. Integrales de caminos en mecánica cuántica  3.3. Operadores cuánticos  3.3.1. Conmutadores y observables  3.3.2. Operador de momento angular  3.3.3. Operador Escalera  3.3.4. Matrices de Pauli  3.4. Entrecruzamiento cuántico y medición  3.4.1. Teorema de Bell  3.4.2. Teletransportación Cuántica  3.4.3. Enredo cuántico y decoherencia cuántica en la medición  3.4.4. Entrelazamiento cuántico y medición en mecánica cuántica  3.5. Mecánica cuántica relativista  3.5.1. Ecuación de Klein–Gordon  3.5.2. Ecuación de Dirac  3.5.3. Teoría cuántica de campos  3.5.4. Integral de camino de Feynman
  4. Mecánica estadística y termodinámica  4.1. Termodinámica clásica  4.1.1. Leyes de la Termodinámica  4.1.2. Ciclo de Carnot  4.1.3. Entropía y energía libre  4.1.4. Eficiencia termodinámica  4.2. Teoría cinética de los gases  4.2.1. Distribución de Maxwell-Boltzmann  4.2.2. Fenómeno de transporte  4.2.3. Camino libre medio  4.2.4. Sistemas no equilibrados en la teoría cinética de gases  4.3. Mecánica estadística  4.3.1. Microestados y Macroestados  4.3.2. Función de partición  4.3.3. Estadísticas de Bose–Einstein y Fermi–Dirac  4.3.4. Fluctuaciones y correlaciones  4.4. Transición de fase  4.4.1. Eventos importantes  4.4.2. Teoría de Landau  4.4.3. Modelo de Ising  4.4.4. Teoría del grupo de renormalización
  5. Teoría cuántica de campos  5.1. Segunda Cuantización  5.1.1. Oscilador armónico cuántico en segunda cuantización  5.1.2. Operadores de creación y aniquilación en segunda cuantización  5.1.3. Integral de Camino en la Segunda Cuantización  5.1.4. Espacio de Fock  5.2. Electrodinámica Cuántica  5.2.1. Feynman diagrams  5.2.2. Renormalización en electrodinámica cuántica  5.2.3. Invariancia de calibre en electrodinámica cuántica  5.2.4. Polarización del vacío  5.3. Cromodinámica Cuántica  5.3.1. Quarks y gluones  5.3.2. Rango de colores  5.3.3. Lattice QCD  5.3.4. Libertad asintótica  5.4. Modelo estándar de la física de partículas  5.4.1. Teoría electrodébil  5.4.2. Mecanismo de Higgs  5.4.4. Teorías de Gran Unificación
  6. Relatividad general y gravedad  6.1. Ecuaciones de campo de Einstein  6.1.1. Tensor de Ricci y curvatura escalar  6.1.2. Solución de Schwarzschild  6.1.3. Métrica de Kerr  6.1.4. Ondas gravitacionales  6.2. Cosmología  6.2.1. Ecuación de Friedmann  6.2.2. Inflación cósmica  6.2.3. Materia oscura y energía oscura  6.2.4. Estructura a gran escala  6.3. Agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.1. Horizonte de sucesos en agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.2. Radiación de Hawking  6.3.3. Proceso de Penrose  6.3.4. Paradoja de la información en agujeros negros y agujeros de gusano
  7. Física de la materia condensada  7.1. Estructura cristalina y red  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Teoría de bandas en estructuras y redes cristalinas  7.1.3. Fonones en la estructura cristalina y la red  7.1.4. Teorema de Bloch  7.2. Superconductividad  7.2.1. Principio BCS  7.2.2. Efecto Meissner  7.2.3. Superconductor de Alta Temperatura  7.2.4. Efecto Josephson

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Ecuaciones de Euler en la dinámica de cuerpos rígidos


En el estudio de la mecánica clásica, la dinámica de un cuerpo rígido es un área rica de exploración, con muchas aplicaciones en disciplinas de física e ingeniería. La dinámica de cuerpos rígidos describe el movimiento de cuerpos donde la distancia entre partículas permanece constante, lo que significa que no cambian de tamaño o forma mientras se mueven. Dentro de este campo, las ecuaciones de Euler juegan un papel fundamental en la comprensión del movimiento rotacional.

Comprender los cuerpos rígidos

Antes de entrar en las ecuaciones de Euler, entendamos brevemente qué es un cuerpo rígido. Un cuerpo rígido es un objeto que no se deforma bajo fuerzas aplicadas, manteniendo esencialmente su forma perfectamente. Imagina un trompo giratorio o un satélite en rotación; estos pueden considerarse rígidos, incluso cuando están sometidos a varias fuerzas y torques. Este concepto simplifica el mundo complejo al eliminar preocupaciones sobre fuerzas internas y deformaciones dentro del objeto.

Dinámica básica

La dinámica se ocupa de las fuerzas y torques que causan el movimiento. En la dinámica de cuerpos rígidos, la principal preocupación es cómo se mueven estos cuerpos, lo que se traduce en comprender la velocidad angular, el momento angular y el momento de inercia.

La velocidad angular determina qué tan rápido rota un cuerpo, medida en radianes por segundo. El momento angular, por otro lado, depende de la inercia rotacional y la velocidad angular, lo que describe la dificultad para cambiar el estado rotacional del cuerpo. El momento de inercia determina cómo se distribuye la masa alrededor del eje de rotación, lo que afecta el momento angular.

Ecuaciones de movimiento de Euler

Las ecuaciones de Euler son un conjunto de tres ecuaciones diferenciales que gobiernan la rotación de un cuerpo rígido. Estas ecuaciones simplifican la comprensión de la dinámica rotacional bajo efectos de torque. El matemático suizo Leonhard Euler introdujo estas ecuaciones, haciendo una contribución importante a la mecánica.

Formulación matemática

La ecuación de Euler se puede expresar de la siguiente manera:

I₁(dω₁/dt) - (I₂ - I₃)ω₂ω₃ = M₁
I₂(dω₂/dt) - (I₃ - I₁)ω₃ω₁ = M₂
I₃(dω₃/dt) - (I₁ - I₂)ω₁ω₂ = M₃

Donde:

  • ω₁, ω₂, ω₃ son los componentes de la velocidad angular.
  • I₁, I₂, I₃ son los momentos de inercia principales.
  • M₁, M₂, M₃ son los componentes del torque externo.
  • dω/dt representa la derivada temporal de la velocidad angular, que indica la aceleración.

Los ejes principales y los momentos de inercia son importantes porque simplifican la descripción del movimiento rotacional. Cada cuerpo rota sobre estos ejes principales con distinta facilidad o dificultad, determinada por su momento de inercia.

Perspectivas físicas

Las ecuaciones de Euler nos ayudan a predecir cómo se comportará un cuerpo rígido bajo la influencia de un torque. Por ejemplo, considere una nave espacial con una distribución de masa desigual. Un torque externo producirá un comportamiento rotacional complejo, destacando la importancia de los mecanismos de estabilización en los sistemas satelitales.

Representación geométrica de la rotación

Es muy útil entender las ecuaciones de Euler desde un punto de vista geométrico. Imaginemos cómo se pueden representar las rotaciones.





ω₁
ω₂
ω₃

Aquí, el cuerpo rígido está representado por un círculo que muestra su movimiento rotacional con flechas rojas, azules y verdes que denotan los componentes de la velocidad angular ω₁, ω₂, y ω₃. Este modelo simple muestra cómo el movimiento en un componente afecta la rotación general.

Aplicaciones y ejemplos

Las ecuaciones de Euler abarcan muchas aplicaciones prácticas, desde el movimiento de un trompo hasta la estabilidad de una bicicleta y la dirección de una estación espacial. Veamos algunos ejemplos y veamos por qué estas ecuaciones son importantes.

Caída de satélites

Los satélites experimentan varias fuerzas en órbita, incluida la atracción gravitacional y la presión solar. Cuando los torques actúan de manera desigual debido a diferencias en la distribución de masa, los satélites corren el riesgo de caer. Usando sistemas de control basados en las ecuaciones de Euler, los ingenieros aseguran que tales objetos mantengan la estabilidad y deciden cuándo activar los propulsores para realizar acciones correctivas.

Giroscopio y navegación

Los giroscopios aprovechan los principios inherentes a las ecuaciones de Euler, que aseguran una navegación precisa a través de propiedades inerciales. Aeronaves y barcos utilizan giroscopios para mantener estabilidad y dirección, siendo superados por el control de torque solo cuando es necesario para asegurar una alineación correcta del camino.

Resolviendo las ecuaciones de Euler

Resolver las ecuaciones de Euler es necesario para predecir con precisión el movimiento en problemas del mundo real. Típicamente, estas ecuaciones diferenciales se resuelven numéricamente usando herramientas computacionales para obtener precisión y eficiencia. Aquí hay una guía simple para resolver estas ecuaciones.

  • Identificar la velocidad rotacional y la inercia correspondiente.
  • Determinar el torque externo aplicado al sistema.
  • Insertar los valores conocidos en la ecuación de Euler.
  • Resolver las ecuaciones diferenciales, a menudo utilizando métodos numéricos para situaciones prácticas.

Problema de ejemplo

Resolvamos un ejemplo simple para fortalecer la comprensión. Considere un cuerpo con momentos de inercia principales I₁ = 2 kg·m², I₂ = 3 kg·m², I₃ = 4 kg·m², sometido a torques M₁ = 1 N·m, M₂ = 0 N·m, y M₃ = 0 N·m. Inicialmente, ω₁ = 0, ω₂ = 1 rad/s, ω₃ = 0

Insertamos estos en la ecuación de Euler:

2(dω₁/dt) - (3 - 4)ω₂ω₃ = 1
3(dω₂/dt) - (4 - 2)ω₃ω₁ = 0
4(dω₃/dt) - (2 - 3)ω₁ω₂ = 0

Dadas las condiciones iniciales, puede resolver estas ecuaciones numéricamente para predecir el movimiento a lo largo del tiempo, revelando los efectos de la inercia y el torque en el comportamiento dinámico.

Conclusión

Las ecuaciones de Euler son una piedra angular de la dinámica de cuerpos rígidos, presentando la complejidad inherente del movimiento rotacional en una forma matemáticamente manejable. Aunque los principios pueden parecer intimidantes al principio, son esenciales para aplicaciones que van desde la mecánica clásica hasta los sistemas de ingeniería avanzada.

Al dominar las ecuaciones de Euler, los físicos y los ingenieros pueden predecir, comprender y optimizar la dinámica rotacional, asegurando estabilidad y rendimiento en una amplia variedad de campos. Con herramientas computacionales, estas ecuaciones se transforman de constructos teóricos en soluciones prácticas que facilitan avances científicos y tecnológicos.


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