Doutorado
  1. Mecânica clássica  1.1. Mecânica newtoniana  1.1.1. Leis do movimento na mecânica Newtoniana  1.1.2. Dinâmica de partículas e sistemas  1.1.3. Leis de conservação  1.1.4. Movimento de força central  1.2. Mecânica lagrangiana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Restrições e coordenadas normalizadas  1.2.4. Teorema de Noether  1.3. Mecânica Hamiltoniana  1.3.1. Equações de Hamilton  1.3.2. Conversão canônica  1.3.3. Colchete de Poisson  1.3.4. Variável ação-ângulo  1.4. Mobilidade de corpo rígido  1.4.1. Rotação de corpos rígidos  1.4.2. Tensor de momento de inércia  1.4.3. Equações de Euler na dinâmica de corpos rígidos  1.4.4. Movimento giroscópico  1.5. Caos e Dinâmica Não Linear  1.5.1. Espaço de fase e atrativo  1.5.2. Teoria da Bifurcação e do Caos  1.5.3. Caos Hamiltoniano  1.5.4. Expoente de Lyapunov
  2. Eletrodinâmica  2.1. As equações de Maxwell  2.1.1. Lei de Gauss para eletricidade  2.1.2. Lei de Gauss para o magnetismo  2.1.3. Lei de Faraday  2.1.4. Ampere's Law  2.1.5. Condições de contorno nas equações de Maxwell  2.2. Ondas eletromagnéticas  2.2.1. Equação de onda  2.2.2. Polarização  2.2.3. Reflexão e Refração  2.2.4. Guias de onda e ressonadores  2.3. Relatividade especial  2.3.1. Transformações de Lorentz  2.3.2. Energia e momentum relativísticos  2.3.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.4. Espaço-tempo de Minkowski  2.4. Radiação e dispersão  2.4.1. Radiação de dipolo  2.4.2. Expansão Multipolar  2.4.3. Dispersão de Compton  2.4.4. Dispersão de Thomson e Rayleigh  2.5. Física de Plasma  2.5.1. Tela de Debye  2.5.2. Magnetohidrodinâmica  2.5.3. Instabilidade do plasma  2.5.4. Plasma de Fusão
  3. Mecânica quântica  3.1. Fundamentos da mecânica quântica  3.1.1. Princípios da mecânica quântica  3.1.2. Função de onda e interpretação de probabilidade  3.1.3. Princípio da Incerteza  3.1.4. Tunelamento Quântico  3.2. Equação de Schrödinger  3.2.1. Equação de Schrödinger dependente do tempo  3.2.2. Equação de Schrödinger independente do tempo  3.2.3. Autovalores e autofunções na equação de Schrödinger  3.2.4. Integrais de caminho em mecânica quântica  3.3. Operadores quânticos  3.3.1. Comutadores e observáveis  3.3.2. Operador de momento angular  3.3.3. Ladder Operator  3.3.4. Matrizes de Pauli  3.4. Entrelaçamento quântico e medição  3.4.1. Teorema de Bell  3.4.2. Teletransporte Quântico  3.4.3. Emaranhamento quântico e decoerência quântica na medição  3.4.4. Emaranhamento quântico e medição na mecânica quântica  3.5. Mecânica quântica relativística  3.5.1. Equação de Klein-Gordon  3.5.2. Equação de Dirac  3.5.3. Teoria quântica de campos  3.5.4. Integral de caminho de Feynman
  4. Mecânica estatística e termodinâmica  4.1. Termodinâmica clássica  4.1.1. Leis da Termodinâmica  4.1.2. Ciclo de Carnot  4.1.3. Entropia e energia livre  4.1.4. Eficiência Termodinâmica  4.2. Teoria cinética dos gases  4.2.1. Distribuição de Maxwell–Boltzmann  4.2.2. Fenômeno de transporte  4.2.3. Caminho livre médio  4.2.4. Sistemas fora do equilíbrio na teoria cinética dos gases  4.3. Mecânica Estatística  4.3.1. Microestados e Macroestados  4.3.2. Função de partição  4.3.3. Estatísticas de Bose-Einstein e Fermi-Dirac  4.3.4. Flutuações e correlações  4.4. Transição de fase  4.4.1. Eventos importantes  4.4.2. Teoria de Landau  4.4.3. Modelo de Ising  4.4.4. Teoria do grupo de renormalização
  5. Teoria quântica de campos  5.1. Segunda Quantização  5.1.1. Oscilador harmônico quântico na segunda quantização  5.1.2. Operadores de criação e aniquilação na segunda quantização  5.1.3. Integral de Caminho na Segunda Quantização  5.1.4. Espaço de Fock  5.2. Eletrodinâmica Quântica  5.2.1. Diagramas de Feynman  5.2.2. Renormalização na eletrodinâmica quântica  5.2.3. Invariância de calibre em eletrodinâmica quântica  5.2.4. Polarização do vácuo  5.3. QCD - Cromodinâmica Quântica  5.3.1. Quarks e glúons  5.3.2. Faixa de cores  5.3.3. Lattice QCD  5.3.4. Liberdade assintótica  5.4. Modelo padrão da física de partículas  5.4.1. Teoria eletrofraca  5.4.2. Mecanismo de Higgs  5.4.4. Teorias da Grande Unificação
  6. Relatividade geral e gravidade  6.1. Equações de campo de Einstein  6.1.1. Tensores de Ricci e curvatura escalar  6.1.2. Solução de Schwarzschild  6.1.3. Métrica de Kerr  6.1.4. Ondas gravitacionais  6.2. Cosmologia  6.2.1. Equação de Friedmann  6.2.2. Inflação cósmica  6.2.3. Matéria escura e energia escura  6.2.4. Estrutura em grande escala  6.3. Buracos negros e buracos de minhoca  6.3.1. Horizonte de eventos em buracos negros e buracos de minhoca  6.3.2. Radiação de Hawking  6.3.3. Processo de Penrose  6.3.4. Paradoxo da informação em buracos negros e buracos de minhoca
  7. Física da matéria condensada  7.1. Estrutura cristalina e rede  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Teoria de bandas na estrutura cristalina e redes  7.1.3. Fónons na estrutura cristalina e em redes  7.1.4. Teorema de Bloch  7.2. Supercondutividade  7.2.1. Princípio BCS  7.2.2. Efeito Meissner  7.2.3. Supercondutor de Alta Temperatura  7.2.4. Efeito Josephson

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As equações de Maxwell


Introdução

As equações de Maxwell são um conjunto de quatro equações que formam a base da eletrodinâmica clássica, óptica clássica e circuitos elétricos. Estas equações descrevem como os campos elétricos e magnéticos interagem e como são produzidos por cargas e correntes. James Clerk Maxwell apresentou estas equações pela primeira vez em sua forma completa na década de 1860. Apesar de terem mais de um século, continuam centrais para o nosso entendimento dos fenômenos eletromagnéticos.

Visão geral das equações de Maxwell

As quatro equações de Maxwell são:

  1. Lei de Gauss para a eletricidade
  2. Lei de Gauss para o magnetismo
  3. Lei da indução de Faraday
  4. Lei de Ampère com a adição de Maxwell

Lei de Gauss para a eletricidade

A lei de Gauss para a eletricidade afirma que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga contida por essa superfície. Matematicamente, isso pode ser expresso como:

∮ E · dA = Q_internas / ε₀

Aqui, E é o campo elétrico, dA é o campo diferencial através da superfície fechada, Q_enclosed é a carga total dentro da superfície, e ε₀ é a permissividade do espaço livre.

Esta lei é um reflexo da ideia de que a carga elétrica cria um campo elétrico que se irradia em todas as direções. É especialmente útil para lidar com objetos simétricos, como esferas e cilindros.

Por quê

No exemplo visual acima, uma superfície esférica enclausura uma carga Q. As linhas representam linhas de fluxo elétrico emergindo da superfície esférica proporcionalmente à carga contida.

Lei de Gauss para o magnetismo

A lei de Gauss para o magnetismo afirma que o fluxo magnético líquido através de uma superfície fechada é zero. Em outras palavras, monopólos magnéticos não existem. Pode ser expressa como:

∮ B · dA = 0

Onde B é o campo magnético. Esta lei enfatiza que as linhas de campo magnético são laços fechados que não têm início nem fim.

A visualização acima mostra que as linhas de campo magnético (curva azul) formam um laço fechado através de uma superfície fechada, sem fluxo magnético líquido passando pela superfície.

Lei da indução de Faraday

A lei da indução de Faraday descreve como um campo magnético variável no tempo induz uma força eletromotriz (FEM) e, portanto, uma corrente elétrica em um laço fechado de fio. Pode ser formulada como:

∮ E · dl = -dΦ_B/dt

Aqui, dl é o elemento diferencial do laço, Φ_B é o fluxo magnético através do laço, e dΦ_B/dt é a taxa de variação do fluxo magnético.

A lei de Faraday é o princípio por trás de geradores e transformadores elétricos. Quando o campo magnético muda através de um laço, ele gera eletricidade.

O retângulo representa uma bobina de fio. As linhas curvas representam um campo magnético variável induzindo uma corrente na bobina, que é representada pela linha vermelha com a seta.

Lei de Ampère com a adição de Maxwell

A lei de Ampère, com as correções de Maxwell, relaciona campos magnéticos a correntes elétricas e às taxas de variação dos campos elétricos que os produzem. É dada por:

∮ B · dl = μ₀ (I + ε₀ dΦ_E/dt)

Aqui, B é o campo magnético, dl é o elemento de caminho diferencial, I é a corrente passando pelo laço, ε₀ é a permissividade do espaço livre, dΦ_E/dt é a taxa de variação do fluxo elétrico, e μ₀ é a permeabilidade do espaço livre.

Neste diagrama, uma seta vermelha contínua representa a corrente elétrica fluindo através de um fio, e o caminho azul enrolado representa o laço de campo magnético formado ao redor, implementando a lei de Ampère.

Aplicações e significado

As equações de Maxwell são essenciais para entender como as ondas eletromagnéticas se propagam. Elas não apenas mostram a relação entre eletricidade e magnetismo, mas também explicam que a luz em si é uma onda eletromagnética que viaja através do espaço. Sem as equações de Maxwell, os avanços tecnológicos modernos, incluindo radiodifusão, radar e geração de energia, não seriam possíveis.

Historicamente, a unificação dos campos elétrico e magnético por Maxwell lançou as bases para a teoria da relatividade de Einstein, que descreve como esses campos interagem com objetos em movimento.

Conclusão

Cada uma das equações de Maxwell tem sua própria importância e juntas fornecem uma descrição teórica completa do eletromagnetismo clássico. Compreender e aplicar corretamente essas equações proporciona uma clara compreensão da natureza dos campos elétricos e magnéticos e sua interdependência. Suas aplicações abrangem muitas tecnologias, desde micro-ondas até dispositivos de comunicação e refletem sua relevância vital além do reino da luz visível.


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