Doctorado
  1. Classical mechanics  1.1. Mecánica newtoniana  1.1.1. Leyes del movimiento en la mecánica newtoniana  1.1.2. Dinámica de partículas y sistemas  1.1.3. Leyes de conservación  1.1.4. Movimiento de fuerza central  1.2. Mecánica lagrangiana  1.2.1. Principio de acción mínima  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. Restricciones y coordenadas normalizadas  1.2.4. Teorema de Noether  1.3. Hamiltonian mechanics  1.3.1. Ecuaciones de Hamilton  1.3.2. Conversión canónica  1.3.3. Corchete de Poisson  1.3.4. Variable de acción-ángulo  1.4. Movilidad del cuerpo rígido  1.4.1. Rotación de cuerpos rígidos  1.4.2. Tensor de momento de inercia  1.4.3. Ecuaciones de Euler en la dinámica de cuerpos rígidos  1.4.4. Movimiento giroscópico  1.5. Caos y dinámica no lineal  1.5.1. Espacio de fase y atractivo  1.5.2. Teoría de bifurcación y caos  1.5.3. Caos Hamiltoniano  1.5.4. Exponente de Lyapunov
  2. Electrodinámica  2.1. Las ecuaciones de Maxwell  2.1.1. La ley de Gauss para la electricidad  2.1.2. La ley de Gauss para el magnetismo  2.1.3. La ley de Faraday  2.1.4. La Ley de Ampère  2.1.5. Condiciones de frontera en las ecuaciones de Maxwell  2.2. Ondas electromagnéticas  2.2.1. Ecuación de onda  2.2.2. Polarización  2.2.3. Reflexión y Refracción  2.2.4. Guías de onda y resonadores  2.3. Relatividad especial  2.3.1. Transformaciones de Lorentz  2.3.2. Energía y momento relativista  2.3.3. Electrodinámica relativista  2.3.4. Espaciotiempo de Minkowski  2.4. Radiación y dispersión  2.4.1. Radiación de dipolo  2.4.2. Expansión multipolar  2.4.3. Dispersión de Compton  2.4.4. Dispersión de Thomson y Rayleigh  2.5. Física de Plasma  2.5.1. Pantalla de Debye  2.5.2. Magnetohidrodinámica  2.5.3. Inestabilidad del plasma  2.5.4. Plasma de Fusión
  3. Mecánica cuántica  3.1. Fundamentos de la mecánica cuántica  3.1.1. Principios de la mecánica cuántica  3.1.2. Función de onda e interpretación de la probabilidad  3.1.3. Principio de incertidumbre  3.1.4. Efecto túnel cuántico  3.2. Ecuación de Schrödinger  3.2.1. Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo  3.2.2. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo  3.2.3. Valores propios y funciones propias en la ecuación de Schrödinger  3.2.4. Integrales de caminos en mecánica cuántica  3.3. Operadores cuánticos  3.3.1. Conmutadores y observables  3.3.2. Operador de momento angular  3.3.3. Operador Escalera  3.3.4. Matrices de Pauli  3.4. Entrecruzamiento cuántico y medición  3.4.1. Teorema de Bell  3.4.2. Teletransportación Cuántica  3.4.3. Enredo cuántico y decoherencia cuántica en la medición  3.4.4. Entrelazamiento cuántico y medición en mecánica cuántica  3.5. Mecánica cuántica relativista  3.5.1. Ecuación de Klein–Gordon  3.5.2. Ecuación de Dirac  3.5.3. Teoría cuántica de campos  3.5.4. Integral de camino de Feynman
  4. Mecánica estadística y termodinámica  4.1. Termodinámica clásica  4.1.1. Leyes de la Termodinámica  4.1.2. Ciclo de Carnot  4.1.3. Entropía y energía libre  4.1.4. Eficiencia termodinámica  4.2. Teoría cinética de los gases  4.2.1. Distribución de Maxwell-Boltzmann  4.2.2. Fenómeno de transporte  4.2.3. Camino libre medio  4.2.4. Sistemas no equilibrados en la teoría cinética de gases  4.3. Mecánica estadística  4.3.1. Microestados y Macroestados  4.3.2. Función de partición  4.3.3. Estadísticas de Bose–Einstein y Fermi–Dirac  4.3.4. Fluctuaciones y correlaciones  4.4. Transición de fase  4.4.1. Eventos importantes  4.4.2. Teoría de Landau  4.4.3. Modelo de Ising  4.4.4. Teoría del grupo de renormalización
  5. Teoría cuántica de campos  5.1. Segunda Cuantización  5.1.1. Oscilador armónico cuántico en segunda cuantización  5.1.2. Operadores de creación y aniquilación en segunda cuantización  5.1.3. Integral de Camino en la Segunda Cuantización  5.1.4. Espacio de Fock  5.2. Electrodinámica Cuántica  5.2.1. Feynman diagrams  5.2.2. Renormalización en electrodinámica cuántica  5.2.3. Invariancia de calibre en electrodinámica cuántica  5.2.4. Polarización del vacío  5.3. Cromodinámica Cuántica  5.3.1. Quarks y gluones  5.3.2. Rango de colores  5.3.3. Lattice QCD  5.3.4. Libertad asintótica  5.4. Modelo estándar de la física de partículas  5.4.1. Teoría electrodébil  5.4.2. Mecanismo de Higgs  5.4.4. Teorías de Gran Unificación
  6. Relatividad general y gravedad  6.1. Ecuaciones de campo de Einstein  6.1.1. Tensor de Ricci y curvatura escalar  6.1.2. Solución de Schwarzschild  6.1.3. Métrica de Kerr  6.1.4. Ondas gravitacionales  6.2. Cosmología  6.2.1. Ecuación de Friedmann  6.2.2. Inflación cósmica  6.2.3. Materia oscura y energía oscura  6.2.4. Estructura a gran escala  6.3. Agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.1. Horizonte de sucesos en agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.2. Radiación de Hawking  6.3.3. Proceso de Penrose  6.3.4. Paradoja de la información en agujeros negros y agujeros de gusano
  7. Física de la materia condensada  7.1. Estructura cristalina y red  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Teoría de bandas en estructuras y redes cristalinas  7.1.3. Fonones en la estructura cristalina y la red  7.1.4. Teorema de Bloch  7.2. Superconductividad  7.2.1. Principio BCS  7.2.2. Efecto Meissner  7.2.3. Superconductor de Alta Temperatura  7.2.4. Efecto Josephson

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Ecuación de onda


Introducción

La electrodinámica es una rama de la física que se ocupa del estudio de las fuerzas electromagnéticas. Estas fuerzas son una de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza y gobiernan cómo interactúan las partículas cargadas entre sí. En esta lección, nos enfocaremos en las ecuaciones de onda que describen cómo las ondas electromagnéticas se propagan a través de diferentes medios.

Conceptos básicos de las ondas electromagnéticas

Las ondas electromagnéticas son ondas de campos eléctricos y magnéticos que se propagan en el espacio. Una onda puede considerarse como una oscilación en el campo electromagnético. Estas oscilaciones son perpendiculares entre sí y perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. La luz es un ejemplo común de una onda electromagnética.

Comprendiendo la ecuación de onda

La ecuación de onda es una ecuación diferencial parcial de segundo orden que describe la propagación de ondas. En el contexto de las ondas electromagnéticas, la ecuación de onda puede derivarse de las ecuaciones de Maxwell, que son las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo. La ecuación de onda para un campo eléctrico E y un campo magnético B puede expresarse como:

∇²E - μ₀ε₀ (∂²E/∂t²) = 0 ∇²B - μ₀ε₀ (∂²B/∂t²) = 0

Aquí, ∇² es el operador de Laplace, μ₀ es la permeabilidad del vacío, ε₀ es la permitividad del vacío, y ∂ denota la derivada parcial con respecto al tiempo. Las soluciones a estas ecuaciones describen cómo los campos eléctricos y magnéticos se comportan como ondas.

Derivado de las ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen el comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos. Pueden escribirse como:

∇·E = ρ/ε₀ ∇·B = 0 ∇×E = -∂B/∂t ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t

Aquí, ρ es la densidad de carga, y J es la densidad de corriente. Al manipular estas ecuaciones, podemos obtener las ecuaciones de onda para los campos eléctricos y magnéticos. La derivación muestra que las ondas electromagnéticas viajan a la velocidad de la luz c , donde:

c = 1/√(μ₀ε₀)

Representación visual de la propagación de ondas

Considere una onda propagándose en el vacío. El campo eléctrico y el campo magnético son perpendiculares entre sí, y ambos son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. Esto puede representarse de la siguiente manera:

(Campo Eléctrico) | | /(Dirección de propagación de la onda) |_____/___________________ | / | / | / (Campo Magnético)

Soluciones de la ecuación de onda

Las soluciones generales de la ecuación de onda para campos eléctricos y magnéticos pueden ser funciones sinusoidales, que son típicas de un comportamiento ondulatorio. Estas pueden expresarse como:

E(x, t) = E₀ sin(kx - ωt + φ) B(x, t) = B₀ sin(kx - ωt + φ)

Aquí, E₀ y B₀ son las amplitudes de los campos eléctricos y magnéticos, k es el número de onda, ω es la frecuencia angular, y φ es la fase de la onda. Estas funciones describen ondas que viajan en la dirección positiva x con velocidad v = ω/k .

Aplicaciones de la ecuación de onda

La ecuación de onda es importante para describir cómo las ondas electromagnéticas se comportan en diferentes medios. Por ejemplo, puede explicar cómo la luz se refracta o se dobla al pasar a través de un medio como el vidrio o el agua. También ayuda a entender cómo las ondas de radio se propagan a través de la atmósfera.

Influencias de fronteras y medios

Las ondas electromagnéticas pueden estar sujetas a diversas condiciones de frontera que dependen del medio con el que entren en contacto. Por ejemplo, cuando una onda golpea una superficie metálica, puede reflejarse, resultando en un patrón de onda estacionaria. La ecuación de onda puede predecir tales comportamientos incorporando condiciones de frontera.

Ejemplos diversos y exploración avanzada

Para comprender aún más las implicaciones de la ecuación de onda, considere diferentes escenarios donde las ondas se comportan de manera única bajo condiciones específicas:

Ejemplo: reflexión y transmisión

Considere una onda electromagnética que llega al límite entre dos medios diferentes. Una porción de la onda se refleja y una porción se transmite. La ecuación de onda ayuda a calcular los coeficientes de reflexión y transmisión, lo que nos ayuda a entender cuánto de la onda se refleja y cuánto se transmite.

Ejemplo: propagación de ondas en un dieléctrico

Las ondas electromagnéticas que viajan a través de materiales dieléctricos tienen una velocidad más lenta que las ondas que viajan a través del vacío. Esto se debe a que la permitividad del material afecta la velocidad de la onda. Si la permitividad está representada por ε en lugar de ε₀, la ecuación de onda se ajusta en consecuencia:

∇²E - με (∂²E/∂t²) = 0

Ejemplo: polarización de ondas

La polarización describe la orientación del campo eléctrico de una onda electromagnética. La ecuación de onda juega un papel aquí, ya que diferentes polarizaciones pueden describirse y preverse matemáticamente utilizando soluciones de la ecuación de onda.

Ejemplo conceptual simplificado: analogía de vibración de cuerda estirada

Aunque no es electromagnética, considere cómo cuando se pulsa una cuerda, como la cuerda de una guitarra, vibra y produce sonido. Del mismo modo, las ondas electromagnéticas son campos eléctricos y magnéticos oscilantes, y ambos tipos de ondas pueden obedecer los principios de la ecuación de onda.

Puntos clave

  • La ecuación de onda se deriva de las ecuaciones de Maxwell y describe la propagación de ondas electromagnéticas.
  • Las soluciones de la ecuación de onda son de naturaleza sinusoidal, representando propiedades ondulatorias.
  • Comprender las ecuaciones de onda ayuda a predecir y explicar el comportamiento de las ondas electromagnéticas, como la reflexión, la refracción y la polarización.

Comentarios finales

Las ecuaciones de onda son fundamentales en el campo de la electrodinámica, proporcionando información sobre el comportamiento de las ondas electromagnéticas en diversas condiciones. Desde la reflexión y transmisión de ondas hasta su propagación en diferentes medios, las ecuaciones de onda son importantes para hacer predicciones precisas. Al estudiar las ecuaciones de onda, obtenemos una comprensión más profunda de las propiedades fundamentales de la luz y el electromagnetismo.


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