Doctorado
  1. Classical mechanics  1.1. Mecánica newtoniana  1.1.1. Leyes del movimiento en la mecánica newtoniana  1.1.2. Dinámica de partículas y sistemas  1.1.3. Leyes de conservación  1.1.4. Movimiento de fuerza central  1.2. Mecánica lagrangiana  1.2.1. Principio de acción mínima  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. Restricciones y coordenadas normalizadas  1.2.4. Teorema de Noether  1.3. Hamiltonian mechanics  1.3.1. Ecuaciones de Hamilton  1.3.2. Conversión canónica  1.3.3. Corchete de Poisson  1.3.4. Variable de acción-ángulo  1.4. Movilidad del cuerpo rígido  1.4.1. Rotación de cuerpos rígidos  1.4.2. Tensor de momento de inercia  1.4.3. Ecuaciones de Euler en la dinámica de cuerpos rígidos  1.4.4. Movimiento giroscópico  1.5. Caos y dinámica no lineal  1.5.1. Espacio de fase y atractivo  1.5.2. Teoría de bifurcación y caos  1.5.3. Caos Hamiltoniano  1.5.4. Exponente de Lyapunov
  2. Electrodinámica  2.1. Las ecuaciones de Maxwell  2.1.1. La ley de Gauss para la electricidad  2.1.2. La ley de Gauss para el magnetismo  2.1.3. La ley de Faraday  2.1.4. La Ley de Ampère  2.1.5. Condiciones de frontera en las ecuaciones de Maxwell  2.2. Ondas electromagnéticas  2.2.1. Ecuación de onda  2.2.2. Polarización  2.2.3. Reflexión y Refracción  2.2.4. Guías de onda y resonadores  2.3. Relatividad especial  2.3.1. Transformaciones de Lorentz  2.3.2. Energía y momento relativista  2.3.3. Electrodinámica relativista  2.3.4. Espaciotiempo de Minkowski  2.4. Radiación y dispersión  2.4.1. Radiación de dipolo  2.4.2. Expansión multipolar  2.4.3. Dispersión de Compton  2.4.4. Dispersión de Thomson y Rayleigh  2.5. Física de Plasma  2.5.1. Pantalla de Debye  2.5.2. Magnetohidrodinámica  2.5.3. Inestabilidad del plasma  2.5.4. Plasma de Fusión
  3. Mecánica cuántica  3.1. Fundamentos de la mecánica cuántica  3.1.1. Principios de la mecánica cuántica  3.1.2. Función de onda e interpretación de la probabilidad  3.1.3. Principio de incertidumbre  3.1.4. Efecto túnel cuántico  3.2. Ecuación de Schrödinger  3.2.1. Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo  3.2.2. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo  3.2.3. Valores propios y funciones propias en la ecuación de Schrödinger  3.2.4. Integrales de caminos en mecánica cuántica  3.3. Operadores cuánticos  3.3.1. Conmutadores y observables  3.3.2. Operador de momento angular  3.3.3. Operador Escalera  3.3.4. Matrices de Pauli  3.4. Entrecruzamiento cuántico y medición  3.4.1. Teorema de Bell  3.4.2. Teletransportación Cuántica  3.4.3. Enredo cuántico y decoherencia cuántica en la medición  3.4.4. Entrelazamiento cuántico y medición en mecánica cuántica  3.5. Mecánica cuántica relativista  3.5.1. Ecuación de Klein–Gordon  3.5.2. Ecuación de Dirac  3.5.3. Teoría cuántica de campos  3.5.4. Integral de camino de Feynman
  4. Mecánica estadística y termodinámica  4.1. Termodinámica clásica  4.1.1. Leyes de la Termodinámica  4.1.2. Ciclo de Carnot  4.1.3. Entropía y energía libre  4.1.4. Eficiencia termodinámica  4.2. Teoría cinética de los gases  4.2.1. Distribución de Maxwell-Boltzmann  4.2.2. Fenómeno de transporte  4.2.3. Camino libre medio  4.2.4. Sistemas no equilibrados en la teoría cinética de gases  4.3. Mecánica estadística  4.3.1. Microestados y Macroestados  4.3.2. Función de partición  4.3.3. Estadísticas de Bose–Einstein y Fermi–Dirac  4.3.4. Fluctuaciones y correlaciones  4.4. Transición de fase  4.4.1. Eventos importantes  4.4.2. Teoría de Landau  4.4.3. Modelo de Ising  4.4.4. Teoría del grupo de renormalización
  5. Teoría cuántica de campos  5.1. Segunda Cuantización  5.1.1. Oscilador armónico cuántico en segunda cuantización  5.1.2. Operadores de creación y aniquilación en segunda cuantización  5.1.3. Integral de Camino en la Segunda Cuantización  5.1.4. Espacio de Fock  5.2. Electrodinámica Cuántica  5.2.1. Feynman diagrams  5.2.2. Renormalización en electrodinámica cuántica  5.2.3. Invariancia de calibre en electrodinámica cuántica  5.2.4. Polarización del vacío  5.3. Cromodinámica Cuántica  5.3.1. Quarks y gluones  5.3.2. Rango de colores  5.3.3. Lattice QCD  5.3.4. Libertad asintótica  5.4. Modelo estándar de la física de partículas  5.4.1. Teoría electrodébil  5.4.2. Mecanismo de Higgs  5.4.4. Teorías de Gran Unificación
  6. Relatividad general y gravedad  6.1. Ecuaciones de campo de Einstein  6.1.1. Tensor de Ricci y curvatura escalar  6.1.2. Solución de Schwarzschild  6.1.3. Métrica de Kerr  6.1.4. Ondas gravitacionales  6.2. Cosmología  6.2.1. Ecuación de Friedmann  6.2.2. Inflación cósmica  6.2.3. Materia oscura y energía oscura  6.2.4. Estructura a gran escala  6.3. Agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.1. Horizonte de sucesos en agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.2. Radiación de Hawking  6.3.3. Proceso de Penrose  6.3.4. Paradoja de la información en agujeros negros y agujeros de gusano
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Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo


La mecánica cuántica es una teoría fundamental en física que describe las propiedades físicas de la naturaleza en la escala de átomos y partículas subatómicas. Una de las principales fórmulas de la mecánica cuántica es la ecuación de Schrödinger, desarrollada por Erwin Schrödinger en la década de 1920. Esta ecuación es una descripción matemática del estado cuántico de un sistema, y establece la base para entender los fenómenos cuánticos.

Introducción a la ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger puede considerarse como una forma de calcular el comportamiento de las partículas en la mecánica cuántica a lo largo del tiempo. Hay dos formas principales de la ecuación de Schrödinger: la ecuación dependiente del tiempo y la independiente del tiempo. Aquí, nos centramos en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, que trata sobre la evolución de los estados cuánticos a lo largo del tiempo.

Las matemáticas detrás de la ecuación

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se expresa como:

iħ ∂ψ/∂t = Hψ
iħ ∂ψ/∂t = Hψ

En esta ecuación:

  • i es la unidad imaginaria, que satisface ( i^2 = -1 ).
  • ħ (h-barra) es la constante reducida de Planck, que relaciona la energía del fotón con su frecuencia.
  • ψ (psi) es la función de onda, que contiene toda la información sobre el sistema.
  • H es el operador Hamiltoniano, que representa la energía total (cinética + potencial) del sistema.
  • ∂ψ/∂t denota la derivada parcial de ψ con respecto al tiempo.

La función de onda ψ es central en la mecánica cuántica porque describe el estado de un sistema. El cuadrado de su valor absoluto, ( |ψ(x, t)|^2 ), da la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en la posición ( x ) y el tiempo ( t ).

Entendiendo los componentes

Operador Hamiltoniano

El Hamiltoniano H es un operador que incluye la energía cinética y potencial de la partícula. Para una sola partícula, el Hamiltoniano se escribe a menudo como:

H = - (ħ² / 2m) ∇² + V(x)
H = - (ħ² / 2m) ∇² + V(x)

Donde:

  • m es la masa de la partícula.
  • ∇² es el operador de Laplace, que actúa sobre las coordenadas espaciales de la función de onda.
  • V(x) es la función de energía potencial.

Función de onda

Conceptualmente, la función de onda puede verse como una onda oscilante que lleva información sobre la posición, el momento y la energía de una partícula. No proporciona una trayectoria definida como en la mecánica clásica, sino que ofrece una probabilidad de dónde podría estar la partícula en un momento dado.

ψ(x, t)

Arriba hay una representación simple de la función de onda ψ(x, t) a lo largo de un eje unidimensional. La apariencia ondulatoria es característica de los fenómenos cuánticos.

Resolviendo la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

Resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo implica determinar cómo evoluciona la función de onda ψ con el tiempo dadas las condiciones iniciales y el paisaje de energía potencial. Para la mayoría de los propósitos prácticos, especialmente en altas dimensiones o sistemas complejos, se utilizan métodos numéricos como los métodos de elementos finitos para resolver estas ecuaciones.

Solución analítica en espacio libre

En casos donde no hay energía potencial (es decir, partículas libres), el potencial V(x) = 0, y la ecuación se simplifica considerablemente. Se convierte en:

iħ ∂ψ/∂t = - (ħ² / 2m) ∇² ψ
iħ ∂ψ/∂t = - (ħ² / 2m) ∇² ψ

Esto se puede resolver usando separación de variables, donde la función de onda ψ(x, t) se expresa como el producto de un componente espacial y un componente temporal:

ψ(x, t) = φ(x)T(t)
ψ(x, t) = φ(x)T(t)

La sustitución en la ecuación de Schrödinger y la separación de variables da la solución para la partícula libre en términos de ondas planas:

ψ(x, t) = A e^(i(kx - ωt))
ψ(x, t) = A e^(i(kx - ωt))

Donde:

  • A es la amplitud de la onda.
  • k es el número de onda, que está relacionado con el momento.
  • ω es la frecuencia angular, que está relacionada con la energía de la partícula.

Ejemplos y aplicaciones

Una partícula en una caja

Considere una partícula confinada en una caja unidimensional (o pozo) de longitud L y cuyas paredes de potencial son infinitamente altas. En tal sistema, la partícula es libre de moverse dentro de la caja pero no puede existir fuera de ella.

Hay situaciones marginales

  • ψ(0, T) = 0
  • ψ(l, t) = 0

Los niveles de energía de la partícula están cuantizados, y las funciones de onda son ondas estacionarias:

ψ_n(x, t) = √(2/L) sin(nπx/L) e^(-iE_n t/ħ)
ψ_n(x, t) = √(2/L) sin(nπx/L) e^(-iE_n t/ħ)

donde ( E_n = n²π²ħ²/(2mL²) ) son los niveles de energía cuantizados, y n es un número entero.

Oscilador Armónico Cuántico

El oscilador armónico cuántico es otro problema clásico donde la energía potencial es ( V(x) = 1/2 mω²x² ). La solución dependiente del tiempo para este sistema involucra polinomios de Hermite y se puede expresar como:

ψ_n(x, t) = N_n e^((-mωx²)/(2ħ)) H_n(√(mω/ħ) x) e^(-iE_n t/ħ)
ψ_n(x, t) = N_n e^((-mωx²)/(2ħ)) H_n(√(mω/ħ) x) e^(-iE_n t/ħ)

Donde:

  • N_n es un factor de normalización.
  • H_n es el polinomio de Hermite.
  • E_n son los niveles de energía cuantizados.

Entender tales sistemas es importante porque sirven como modelos para una amplia gama de fenómenos físicos, incluidas las vibraciones moleculares y la teoría cuántica de campos.

Cambio conceptual en la mecánica cuántica

Las implicaciones de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo son muy profundas y representan un cambio significativo desde la visión determinista de la mecánica clásica del movimiento de partículas. En la física cuántica, las trayectorias deterministas se reemplazan por resultados probabilísticos.

El fenómeno de la superposición, donde un sistema cuántico puede existir en múltiples estados simultáneamente, emerge de estas bases. Por ejemplo, una partícula descrita por una combinación de funciones de onda puede estar en múltiples estados de energía simultáneamente, un fenómeno demostrado rutinariamente por experimentos como el experimento de la doble rendija.

Conclusión

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es integral para nuestro entendimiento de los sistemas cuánticos y describe cómo evoluciona la función de onda a lo largo del tiempo. Puentea la brecha entre la física teórica y los resultados experimentales al proporcionar un marco comprensivo para estudiar una variedad de fenómenos cuánticos.

Esta ecuación ejemplifica la hermosa interrelación entre matemáticas y naturaleza, que sigue siendo fundamental para la exploración de la física moderna, desde la química cuántica hasta la investigación de vanguardia en computación cuántica.


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