Equação de Schrödinger dependente do tempo

A mecânica quântica é uma teoria fundamental na física que descreve as propriedades físicas da natureza na escala de átomos e partículas subatômicas. Uma das principais fórmulas da mecânica quântica é a equação de Schrödinger, desenvolvida por Erwin Schrödinger na década de 1920. Esta equação é uma descrição matemática do estado quântico de um sistema e estabelece a base para a compreensão dos fenômenos quânticos.

Introdução à equação de Schrödinger

A equação de Schrödinger pode ser vista como um meio de calcular o comportamento das partículas na mecânica quântica ao longo do tempo. Existem duas formas principais da equação de Schrödinger: equações dependentes do tempo e independentes do tempo. Aqui, focamos na equação de Schrödinger dependente do tempo, que lida com a evolução dos estados quânticos ao longo do tempo.

A matemática por trás da equação

A equação de Schrödinger dependente do tempo é expressa como:

iħ ∂ψ/∂t = Hψ
iħ ∂ψ/∂t = Hψ
    

Nesta equação:

• i é a unidade imaginária, que satisfaz ( i^2 = -1 ).
• ħ (h-bar) é a constante de Planck reduzida, que relaciona a energia do fóton com sua frequência.
• ψ (psi) é a função de onda, que contém todas as informações sobre o sistema.
• H é o operador Hamiltoniano, que representa a energia total (cinética + potencial) do sistema.
• ∂ψ/∂t denota a derivada parcial de ψ em relação ao tempo.

A função de onda ψ é central na mecânica quântica porque descreve o estado de um sistema. O quadrado de seu valor absoluto, ( |ψ(x, t)|^2 ), fornece a densidade de probabilidade de encontrar uma partícula na posição ( x ) e no tempo ( t ).

Compreendendo os componentes

Operador Hamiltoniano

O Hamiltoniano H é um operador que inclui a energia cinética e potencial da partícula. Para uma única partícula, o Hamiltoniano é frequentemente escrito como:

H = - (ħ² / 2m) ∇² + V(x)
H = - (ħ² / 2m) ∇² + V(x)
    

Onde:

• m é a massa da partícula.
• ∇² é o operador laplaciano, que atua nas coordenadas espaciais da função de onda.
• V(x) é a função de energia potencial.

Função de onda

Conceitualmente, a função de onda pode ser vista como uma onda oscilante que carrega informações sobre a posição, momento e energia de uma partícula. Ela não fornece um caminho definido como na mecânica clássica, mas sim uma probabilidade de onde a partícula pode estar em qualquer momento.

Acima está uma representação simples da função de onda ψ(x, t) ao longo de um eixo unidimensional. A aparência em forma de onda é característica dos fenômenos quânticos.

Resolvendo a equação de Schrödinger dependente do tempo

Resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo envolve determinar como a função de onda ψ evolui ao longo do tempo, dadas as condições iniciais e o panorama da energia potencial. Para a maioria dos propósitos práticos, especialmente em altas dimensões ou sistemas complexos, métodos numéricos como os métodos de elementos finitos são usados para resolver essas equações.

Solução analítica em espaço livre

Em casos onde não há energia potencial (isto é, partículas livres), o potencial V(x) = 0, e a equação simplifica consideravelmente. Torna-se:

iħ ∂ψ/∂t = - (ħ² / 2m) ∇² ψ
iħ ∂ψ/∂t = - (ħ² / 2m) ∇² ψ
    

Isso pode ser resolvido usando separação de variáveis, onde a função de onda ψ(x, t) é expressa como o produto de um componente espacial e um componente temporal:

ψ(x, t) = φ(x)T(t)
ψ(x, t) = φ(x)T(t)
    

A substituição na equação de Schrödinger e a separação de variáveis dão a solução para a partícula livre em termos de ondas planas:

ψ(x, t) = A e^(i(kx - ωt))
ψ(x, t) = A e^(i(kx - ωt))
    

Onde:

• A é a amplitude da onda.
• k é o número de onda, que está relacionado ao momento.
• ω é a frequência angular, que está relacionada à energia da partícula.

Exemplos e aplicações

Uma partícula em uma caixa

Considere uma partícula confinada em uma caixa unidimensional (ou poço) de comprimento L e cujas paredes de potencial são infinitamente altas. Em tal sistema, a partícula é livre para se mover dentro da caixa, mas não pode existir fora dela.

Há situações marginalizadas

• ψ(0, T) = 0
• ψ(l, t) = 0

Os níveis de energia da partícula são quantizados, e as funções de onda são ondas estacionárias:

ψ_n(x, t) = √(2/L) sin(nπx/L) e^(-iE_n t/ħ)
ψ_n(x, t) = √(2/L) sin(nπx/L) e^(-iE_n t/ħ)
    

onde ( E_n = n²π²ħ²/(2mL²) ) são os níveis de energia quantizados, e n é um número inteiro.

Oscilador Harmônico Quântico

O oscilador harmônico quântico é outro problema clássico onde a energia potencial é ( V(x) = 1/2 mω²x² ). A solução dependente do tempo para este sistema envolve polinômios de Hermite e pode ser expressa como:

ψ_n(x, t) = N_n e^((-mωx²)/(2ħ)) H_n(√(mω/ħ) x) e^(-iE_n t/ħ)
ψ_n(x, t) = N_n e^((-mωx²)/(2ħ)) H_n(√(mω/ħ) x) e^(-iE_n t/ħ)
    

Onde:

• N_n é um fator de normalização.
• H_n é o polinômio de Hermite.
• E_n são níveis de energia quantizados.

Compreender tais sistemas é importante porque eles servem como modelos para uma ampla gama de fenômenos físicos, incluindo vibrações moleculares e teoria quântica de campos.

Mudança conceitual na mecânica quântica

As implicações da equação de Schrödinger dependente do tempo são muito profundas e representam uma mudança significativa em relação à visão determinista da mecânica clássica do movimento de partículas. Na física quântica, trajetórias determinísticas são substituídas por resultados probabilísticos.

O fenômeno da superposição, onde um sistema quântico pode existir em múltiplos estados simultaneamente, emerge dessas fundações. Por exemplo, uma partícula descrita por uma combinação de funções de onda pode estar em múltiplos estados de energia simultaneamente, um fenômeno rotineiramente demonstrado por experimentos como o experimento da dupla fenda.

Conclusão

A equação de Schrödinger dependente do tempo é integral para nossa compreensão dos sistemas quânticos e descreve como as funções de onda evoluem ao longo do tempo. Ela preenche a lacuna entre a física teórica e os resultados experimentais ao fornecer uma estrutura abrangente para estudar uma variedade de fenômenos quânticos.

Esta equação exemplifica a bela inter-relação entre a matemática e a natureza, que permanece fundamental para a exploração da física moderna, desde a química quântica até a pesquisa de ponta em computação quântica.

Comentários