Уравнение Шрёдингера, зависящее от времени

Квантовая механика — это фундаментальная теория в физике, описывающая физические свойства природы на уровне атомов и субатомных частиц. Одной из основных формул квантовой механики является уравнение Шрёдингера, разработанное Эрвином Шрёдингером в 1920-х годах. Это уравнение является математическим описанием квантового состояния системы, и оно заложило основу для понимания квантовых явлений.

Введение в уравнение Шрёдингера

Уравнение Шрёдингера можно рассматривать как способ расчета поведения частиц в квантовой механике с течением времени. Существует две основные формы уравнения Шрёдингера: уравнения, зависимые и независимые от времени. Здесь мы сосредоточимся на уравнении Шрёдингера, зависящем от времени, которое рассматривает эволюцию квантовых состояний с течением времени.

Математика, лежащая в основе уравнения

Уравнение Шрёдингера, зависящее от времени, выражается как:

iħ ∂ψ/∂t = Hψ
iħ ∂ψ/∂t = Hψ
    

В этом уравнении:

• i — это мнимая единица, для которой выполняется ( i^2 = -1 ).
• ħ (h-бар) является редуцированной постоянной Планка, которая связывает энергию фотона с его частотой.
• ψ (пси) — это волновая функция, содержащая всю информацию о системе.
• H — это гамильтониан, представляющий полную энергию (кинетическую + потенциальную) системы.
• ∂ψ/∂t обозначает частную производную ψ по времени.

Волновая функция ψ является центральным элементом квантовой механики, так как она описывает состояние системы. Квадрат её абсолютного значения, ( |ψ(x, t)|^2 ), даёт плотность вероятности нахождения частицы в положении ( x ) в момент времени ( t ).

Понимание компонентов

Гамильтониан

Гамильтониан H — это оператор, включающий кинетическую и потенциальную энергию частицы. Для одной частицы гамильтониан часто записывается как:

H = - (ħ² / 2m) ∇² + V(x)
H = - (ħ² / 2m) ∇² + V(x)
    

Где:

• m — это масса частицы.
• ∇² — это оператор Лапласа, который действует на пространственные координаты волновой функции.
• V(x) — это функция потенциальной энергии.

Волновая функция

Концептуально, волновую функцию можно рассматривать как колеблющуюся волну, несущую информацию о положении, импульсе и энергии частицы. Она не даёт определённого пути, как в классической механике, а скорее предоставляет вероятность нахождения частицы в любом месте в любой момент времени.

Выше представлено простое изображение волновой функции ψ(x, t) вдоль одномерной оси. Волнообразный вид характерен для квантовых явлений.

Решение уравнения Шрёдингера, зависящего от времени

Решение уравнения Шрёдингера, зависящего от времени, включает определение того, как волновая функция ψ эволюционирует со временем, учитывая начальные условия и ландшафт потенциальной энергии. В большинстве практических задач, особенно в высоких измерениях или сложных системах, для решения этих уравнений используются численные методы, такие как метод конечных элементов.

Аналитическое решение в свободном пространстве

В случаях, когда потенциальная энергия отсутствует (например, свободные частицы), потенциал V(x) = 0, и уравнение значительно упрощается. Оно становится таким:

iħ ∂ψ/∂t = - (ħ² / 2m) ∇² ψ
iħ ∂ψ/∂t = - (ħ² / 2m) ∇² ψ
    

Это можно решить, используя метод разделения переменных, когда волновая функция ψ(x, t) выражается как произведение пространственной и временной компонентов:

ψ(x, t) = φ(x)T(t)
ψ(x, t) = φ(x)T(t)
    

Подстановка в уравнение Шрёдингера и разделение переменных даёт решение для свободной частицы в терминах плоских волн:

ψ(x, t) = A e^(i(kx - ωt))
ψ(x, t) = A e^(i(kx - ωt))
    

Где:

• A — это амплитуда волны.
• k — это волновое число, связанное с импульсом.
• ω — это угловая частота, связанная с энергией частицы.

Примеры и применения

Частица в ящике

Рассмотрим частицу, находящуюся в одномерном ящике (или колодце) длиной L с бесконечно высокими потенциальными стенками. В такой системе частица может свободно перемещаться внутри ящика, но не может существовать за его пределами.

Существуют крайние условия

• ψ(0, T) = 0
• ψ(l, t) = 0

Уровни энергии частицы квантованы, а волновые функции являются стационарными волнами:

ψ_n(x, t) = √(2/L) sin(nπx/L) e^(-iE_n t/ħ)
ψ_n(x, t) = √(2/L) sin(nπx/L) e^(-iE_n t/ħ)
    

где ( E_n = n²π²ħ²/(2mL²) ) — это квантованные уровни энергии, а n — целое число.

Квантовый гармонический осциллятор

Квантовый гармонический осциллятор — ещё одна классическая задача, когда потенциальная энергия ( V(x) = 1/2 mω²x² ). Временное решение для этой системы включает полиномы Эрмита и может быть выражено как:

ψ_n(x, t) = N_n e^((-mωx²)/(2ħ)) H_n(√(mω/ħ) x) e^(-iE_n t/ħ)
ψ_n(x, t) = N_n e^((-mωx²)/(2ħ)) H_n(√(mω/ħ) x) e^(-iE_n t/ħ)
    

Где:

• N_n — это фактор нормализации.
• H_n — это полином Эрмита.
• E_n — это квантованные уровни энергии.

Понимание таких систем важно, потому что они служат моделями для широкого спектра физических явлений, включая молекулярные вибрации и квантовую теорию поля.

Концептуальный сдвиг в квантовой механике

Влияние уравнения Шрёдингера, зависящего от времени, очень глубоко и представляет собой значительное отклонение от детерминированного взгляда классической механики на движение частиц. В квантовой физике детерминированные траектории заменяются вероятностными исходами.

Явление суперпозиции, когда квантовая система может существовать в нескольких состояниях одновременно, вытекает из этих основ. Например, частица, описываемая комбинацией волновых функций, может находиться в нескольких энергетических состояниях одновременно, что рутинно демонстрируют эксперименты, такие как эксперимент с двойной щелью.

Заключение

Уравнение Шрёдингера, зависящее от времени, является неотъемлемой частью нашего понимания квантовых систем и описывает, как волновые функции эволюционируют со временем. Оно соединяет теоретическую физику и экспериментальные результаты, предоставляя всеобъемлющую структуру для изучения разнообразных квантовых явлений.

Это уравнение иллюстрирует красивую взаимосвязь между математикой и природой, которая остаётся фундаментальной для исследования современной физики, от квантовой химии до передовых исследований в области квантовых вычислений.

Комментарии