Собственные значения и собственные функции в уравнении Шрёдингера

Понятие собственного значения и собственной функции важно в области квантовой механики, особенно в контексте уравнения Шрёдингера. Квантовая механика, являясь основополагающим столпом современной физики, описывает физические свойства природы на малейших масштабах уровней энергии атомов и субатомных частиц. Уравнение Шрёдингера, предложенное Эрвином Шрёдингером в 1925 году, является одним из ключевых результатов квантовой механики и представляет собой уравнение в частных производных, описывающее, как квантовое состояние физической системы изменяется со временем.

Уравнение Шрёдингера является фундаментальным для понимания поведения квантовых систем и того, как частицы, такие как электроны, ведут себя в атомных или молекулярных структурах. В рамках этого уравнения понятия собственного значения и собственной функции возникают естественным образом, обеспечивая представление о стационарных состояниях систем и помогая понять квантизацию физических свойств, таких как энергия.

Понимание уравнения Шрёдингера

Чтобы понять концепцию собственных значений и собственных функций, сначала необходимо разобраться в основах уравнения Шрёдингера. Существует две формы этого уравнения: уравнение Шрёдингера, зависящее от времени, и независимое от времени. Независимое от времени уравнение особенно полезно, когда речь идет о системах в равновесном состоянии.

        iħ ∂/∂t Ψ(x, t) = Ĥ Ψ(x, t)
    

Вышеуказанное уравнение — это уравнение Шрёдингера, зависящее от времени, где i — мнимая единица, ħ — приведенная постоянная Планка, Ψ(x, t) представляет собой волновую функцию квантовой системы, а Ĥ — оператор Гамильтона, соответствующий полной энергии системы. Уравнение описывает, как волновая функция квантовой системы развивается со временем.

Для стационарных состояний, которые не изменяются со временем, более актуально независимое от времени уравнение Шрёдингера:

        ĤΨ(x) = ∆Ψ(x)
    

Независимое от времени уравнение Шрёдингера является собственным уравнением, где Ĥ — оператор, Ψ(x) — собственная функция, а E — собственное значение. Это уравнение важно для нахождения стационарных состояний квантовой системы и соответствующих им уровней энергии.

Объяснение собственных значений и собственных функций

В математике задача на собственные значения включает в себя оператор, действующий на функцию, в результате чего получается скалярное произведение этой функции. В контексте уравнения Шрёдингера Ĥ — это оператор, представляющий энергию системы, и когда он действует на волновую функцию Ψ, результат состоит в том, что Ψ умножается на скаляр E. Именно здесь появляются термины "собственная функция" и "собственное значение".

Собственные функции

Рассмотрим оператор Ĥ, применяемый к волновой функции Ψ:

        ĤΨ(x) = ∆Ψ(x)
    

Здесь Ψ(x) называется собственной функцией оператора Ĥ. Собственная функция — это ненулевая функция, которая возвращает ту же функцию (до скалярного умножения), когда оператор применяется. Собственные функции представляют возможные состояния квантовой механической системы.

Для лучшего понимания представьте себе функцию, которая действует как зеркало. Здесь функция — это изображение, отраженное зеркалом, которое остается неизменным, за исключением переворота или масштабирования. В квантовой механике фактическая "форма" волновой функции Ψ(x) может варьироваться, но она остается по сути "той же" по отношению к оператору Ĥ, за исключением масштабирования E.

Собственное значение

Термин E в уравнении известен как собственное значение. Собственное значение — это скаляр, связанный с собственными функциями и специфичный для определенной собственной функции оператора. В квантовой механике эти собственные значения представляют наблюдаемые величины, такие как энергия.

Когда собственное значение связано с оператором энергии (Гамильтониан), оно представляет энергетический уровень соответствующего стационарного состояния ψ(x). Например, в атоме собственные значения Гамильтониана соответствуют квантованным уровням энергии, которые может занимать электрон.

Визуальный пример: гармонический осциллятор

Рассмотрим квантовый гармонический осциллятор, распространенную задачу, иллюстрирующую понятия собственных значений и собственных функций. Функция потенциальной энергии для гармонического осциллятора равна:

        v(x) = 1/2 m ω² x²
    

где m — масса частицы, а ω — угловая частота. Гамильтониан для квантового гармонического осциллятора можно записать как:

        Ĥ = -ħ²/2m d²/dx² + 1/2 m ω² x²
    

Собственные функции (ψ_n(x)) и собственные значения (E_n) для квантового гармонического осциллятора задаются:

        ψ_n(x) = (1/√(2^nn!)) (mω/πħ)^(1/4) e^(-mωx²/2ħ) H_n(√(mω/ħ)x)
    

        E_n = ħω(n + 1/2)
    

где n — неотрицательное целое число, а H_n — полиномы Эрмита. Каждая собственная функция ψ_n(x) соответствует квантованному уровню энергии E_n. Квантовый гармонический осциллятор демонстрирует, как собственные функции и собственные значения необходимы для описания квантовых состояний и уровней энергии системы.

Пример: атом водорода

Другой классический пример — это атом водорода, самый простой атом, в котором один электрон вращается вокруг протона. Решение уравнения Шрёдингера для атома водорода может дать собственные функции, описывающие возможные орбиты электрона, и собственные значения, представляющие энергетические уровни этих орбит:

        Ĥψ = eψ
    

где потенциальная энергия V обусловлена кулоновским притяжением между отрицательно заряженным электроном и положительно заряженным протоном:

        v(r) = -e²/4πε₀r
    

Решение уравнения Шрёдингера с этой потенциальной энергией дает квантованные энергетические уровни и соответствующие волновые функции (ψ). Эти собственные функции описывают форму и ориентацию орбитальных путей электрона, в то время как собственные значения представляют собой соответствующие уровни энергии.

Визуализация поведения собственных функций

Для визуализации представьте себе натянутую струну, фиксированную на обоих концах. Стационарные шаблоны, образующиеся на этой струне, соответствуют собственным функциям. Эти естественные узоры отражают множество способов, которыми может формироваться стационарная волна, подобно различным состояниям электрона в квантовой системе. Длины волн (связанные с волновым числом k) связаны с фиксированной длиной струны, отражая квантованную природу уровней энергии в квантовой механике.

На этом рисунке каждая кривая представляет собой возможную волну на натянутой струне. Такие стоячие волны соответствуют собственным функциям, каждая из которых имеет свою фиксированную длину волны (или частоту). В квантовой механике каждая стоячая волновая функция соотносится с определенным уровнем энергии, или собственным значением, которое очерчивает квантованные состояния в электронной конфигурации.

Заключение

Собственные значения и собственные функции незаменимы для понимания математической основы квантовой механики, особенно в связи с уравнением Шрёдингера. Они помогают физикам понять природу квантовых состояний, квантованные энергии, связанные с определенными частицами, и решить конкретные волновые функции. Концептуализируя эти абстрактные идеи с помощью визуальных и зримых аналогий, таких как гармонические осцилляторы или атомы водорода, основные принципы становятся более доступными, предоставляя представление о сложном танце частиц на квантовом уровне.

Комментарии