角運動量演算子

量子力学の分野では、角運動量の概念を理解することが、微視的なシステムの挙動を理解するために不可欠です。角運動量は古典物理学においても重要ですが、量子物理学ではより興味深い次元と複雑さを持ちます。この文書の目的は、博士課程レベルの物理学の学生の期待に応える形で、角運動量演算子の性質を深く掘り下げ、包括的な概要を提供することです。これは、量子力学が古典物理学からの古い概念をどのように再解釈するかという概念的な旅です。

角運動量の概念

古典物理学では、角運動量は物体の質量、大きさ、回転速度を含む回転の量の尺度です。剛体の角運動量Lは次のように表されます：

L = R × P
    

ここで、rは位置ベクトル、pは線形運動量です。このクロス積は、角運動量をベクトルとして表現し、rとpで形成される平面に垂直に向けられます。

量子力学における角運動量

量子力学では、角運動量の概念は、回転運動の記述からスピンといった粒子の内在的な特性を表現することにまで拡張されます。古典物理学とは異なり、量子力学における角運動量は量子化されており、離散的な値だけを取ります。

角運動量の量子化

量子力学では、角運動量は通常、基本定数ħ（縮約プランク定数）の整数または半整数倍に量子化されると主張されています。角運動量|mathbf{L}|の大きさは次のように与えられます：

|mathbf{L}| = √(l(l+1)) ħ
    

ここで、lは非負の整数または半整数であり、角運動量量子数として知られています。それは、角運動量の許容される値を決定し、量子システムのエネルギーレベルにとって重要です。

角運動量演算子

角運動量演算子は、角運動量の量子化を説明する量子力学における数学的な構成です。これらの演算子は、量子システムの動力学や許容される状態を記述する上で重要な役割を果たします。

角運動量の成分

量子力学における位置および運動量演算子

量子力学では、粒子の位置および運動量は演算子によって表されます。位置演算子は通常( hat{r} )、運動量演算子は( hat{p} )で表されます。位置表現では、運動量演算子は微分演算子として表されます：

(hat{p} = -iħ nabla)
    

角運動量演算子の定義

角運動量の成分 — x、y、およびz方向 — は、演算子Lx、Ly、Lzによって表されます。これらは位置および運動量演算子によって次のように定義されます：

lx = (hat{y}hat{p}_z - hat{z}hat{p}_y)
Ly = (hat{z}hat{p}_x - hat{x}hat{p}_z)
LZ = (hat{x}hat{p}_y - hat{y}hat{p}_x)
    

交換子の関係と不確定性原理

角運動量演算子は、量子力学における測定の限界を理解するために重要な特定の交換関係に従います。

交換子

角運動量の成分間の交換子は次のように与えられます：

[Lx, Ly] = iħLz
[Ly, Lz] = iħLx
[Lz, Lx] = iħLy
    

これらの交換子関係は、角運動量の2つの成分を同時に正確に定義することが不可能であることを示しており、不確定性原理の特徴です。

視覚的な例：角運動量ベクトル

この図では、赤い点が原点または回転の中心を表し、青い点が運動量ベクトルの終点を表します。直線は、それらを分けるベクトルrの積としての角運動量の方向を示しています。

表現と固有値

角運動量演算子には、測定結果を予測する上で重要な固有値と固有ベクトルが関連付けられています。固有値は測定可能な量に対応し、固有ベクトルはシステムの状態を表します。

固有値の識別

Lzの固有値問題を解きます。これは次のような解を見つけることです：

lz |ψ⟩ = mħ |ψ⟩
    

ここで、|ψ⟩は固有ベクトルであり、mは磁気量子数で、-lから+lまでの整数および半整数の値を取ります。

応用例：スピン角運動量

スピンは量子粒子が持つ固有の角運動量の形態です。物体の運動から生じる軌道角運動量とは異なり、スピンは電気電荷のような内在的な特性です。

スピン演算子

スピン角運動量は半整数単位で量子化され、軌道角運動量演算子に似た演算子Sx、Sy、Szで記述されます。

電子のようなスピン-1/2粒子の場合、z基底におけるスピン演算子はパウリ行列で表されます：

sx = (ħ/2) | 0 1 |
           | 1 0 |

Sy = (ħ/2) | 0 -i |
           | i 0 |

Sz = (ħ/2) | 1 0 |
           | 0 -1 |
    

Szの固有状態、|+⟩と|-⟩はそれぞれスピンアップ状態とスピンダウン状態を表します。

視覚的な例：スピン角運動量

この図は、スピン1/2粒子の磁気モーメントの簡略化されたビューを示しています。SxおよびSzでマークされた線は、それぞれの軸に沿ったスピン成分を表します。

レッスン例：期待値の計算

量子力学では、期待値は、量子システムの一連の測定に対する平均値の予測です。システムが状態|ψ⟩にあり、関心のある観測量の対応する演算子を持っているとします。期待値は次のように与えられます：

⟨Lz⟩ = ⟨ψ|Lz|ψ⟩
    

この積分は、システムが状態|ψ⟩で準備されたときの角運動量成分Lzの測定値の平均を多数の試行にわたって表します。

結論

量子力学の形での角運動量は、原子、分子、および粒子構造を理解する上で重要です。演算子は、これらの動的特性を分析するための数学的フレームワークを提供し、物理学者が回転対称性を持つシステムの動作を説明および予測するのに役立ちます。交換関係から量子化ルールに至るまで、我々の多次元の宇宙をもたらす基礎的な複雑さへの洞察を提供します。これらの演算子の理解は、量子物理学の分野に深く入るすべての人にとって不可欠です。

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