Doutorado
  1. Mecânica clássica  1.1. Mecânica newtoniana  1.1.1. Leis do movimento na mecânica Newtoniana  1.1.2. Dinâmica de partículas e sistemas  1.1.3. Leis de conservação  1.1.4. Movimento de força central  1.2. Mecânica lagrangiana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Restrições e coordenadas normalizadas  1.2.4. Teorema de Noether  1.3. Mecânica Hamiltoniana  1.3.1. Equações de Hamilton  1.3.2. Conversão canônica  1.3.3. Colchete de Poisson  1.3.4. Variável ação-ângulo  1.4. Mobilidade de corpo rígido  1.4.1. Rotação de corpos rígidos  1.4.2. Tensor de momento de inércia  1.4.3. Equações de Euler na dinâmica de corpos rígidos  1.4.4. Movimento giroscópico  1.5. Caos e Dinâmica Não Linear  1.5.1. Espaço de fase e atrativo  1.5.2. Teoria da Bifurcação e do Caos  1.5.3. Caos Hamiltoniano  1.5.4. Expoente de Lyapunov
  2. Eletrodinâmica  2.1. As equações de Maxwell  2.1.1. Lei de Gauss para eletricidade  2.1.2. Lei de Gauss para o magnetismo  2.1.3. Lei de Faraday  2.1.4. Ampere's Law  2.1.5. Condições de contorno nas equações de Maxwell  2.2. Ondas eletromagnéticas  2.2.1. Equação de onda  2.2.2. Polarização  2.2.3. Reflexão e Refração  2.2.4. Guias de onda e ressonadores  2.3. Relatividade especial  2.3.1. Transformações de Lorentz  2.3.2. Energia e momentum relativísticos  2.3.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.4. Espaço-tempo de Minkowski  2.4. Radiação e dispersão  2.4.1. Radiação de dipolo  2.4.2. Expansão Multipolar  2.4.3. Dispersão de Compton  2.4.4. Dispersão de Thomson e Rayleigh  2.5. Física de Plasma  2.5.1. Tela de Debye  2.5.2. Magnetohidrodinâmica  2.5.3. Instabilidade do plasma  2.5.4. Plasma de Fusão
  3. Mecânica quântica  3.1. Fundamentos da mecânica quântica  3.1.1. Princípios da mecânica quântica  3.1.2. Função de onda e interpretação de probabilidade  3.1.3. Princípio da Incerteza  3.1.4. Tunelamento Quântico  3.2. Equação de Schrödinger  3.2.1. Equação de Schrödinger dependente do tempo  3.2.2. Equação de Schrödinger independente do tempo  3.2.3. Autovalores e autofunções na equação de Schrödinger  3.2.4. Integrais de caminho em mecânica quântica  3.3. Operadores quânticos  3.3.1. Comutadores e observáveis  3.3.2. Operador de momento angular  3.3.3. Ladder Operator  3.3.4. Matrizes de Pauli  3.4. Entrelaçamento quântico e medição  3.4.1. Teorema de Bell  3.4.2. Teletransporte Quântico  3.4.3. Emaranhamento quântico e decoerência quântica na medição  3.4.4. Emaranhamento quântico e medição na mecânica quântica  3.5. Mecânica quântica relativística  3.5.1. Equação de Klein-Gordon  3.5.2. Equação de Dirac  3.5.3. Teoria quântica de campos  3.5.4. Integral de caminho de Feynman
  4. Mecânica estatística e termodinâmica  4.1. Termodinâmica clássica  4.1.1. Leis da Termodinâmica  4.1.2. Ciclo de Carnot  4.1.3. Entropia e energia livre  4.1.4. Eficiência Termodinâmica  4.2. Teoria cinética dos gases  4.2.1. Distribuição de Maxwell–Boltzmann  4.2.2. Fenômeno de transporte  4.2.3. Caminho livre médio  4.2.4. Sistemas fora do equilíbrio na teoria cinética dos gases  4.3. Mecânica Estatística  4.3.1. Microestados e Macroestados  4.3.2. Função de partição  4.3.3. Estatísticas de Bose-Einstein e Fermi-Dirac  4.3.4. Flutuações e correlações  4.4. Transição de fase  4.4.1. Eventos importantes  4.4.2. Teoria de Landau  4.4.3. Modelo de Ising  4.4.4. Teoria do grupo de renormalização
  5. Teoria quântica de campos  5.1. Segunda Quantização  5.1.1. Oscilador harmônico quântico na segunda quantização  5.1.2. Operadores de criação e aniquilação na segunda quantização  5.1.3. Integral de Caminho na Segunda Quantização  5.1.4. Espaço de Fock  5.2. Eletrodinâmica Quântica  5.2.1. Diagramas de Feynman  5.2.2. Renormalização na eletrodinâmica quântica  5.2.3. Invariância de calibre em eletrodinâmica quântica  5.2.4. Polarização do vácuo  5.3. QCD - Cromodinâmica Quântica  5.3.1. Quarks e glúons  5.3.2. Faixa de cores  5.3.3. Lattice QCD  5.3.4. Liberdade assintótica  5.4. Modelo padrão da física de partículas  5.4.1. Teoria eletrofraca  5.4.2. Mecanismo de Higgs  5.4.4. Teorias da Grande Unificação
  6. Relatividade geral e gravidade  6.1. Equações de campo de Einstein  6.1.1. Tensores de Ricci e curvatura escalar  6.1.2. Solução de Schwarzschild  6.1.3. Métrica de Kerr  6.1.4. Ondas gravitacionais  6.2. Cosmologia  6.2.1. Equação de Friedmann  6.2.2. Inflação cósmica  6.2.3. Matéria escura e energia escura  6.2.4. Estrutura em grande escala  6.3. Buracos negros e buracos de minhoca  6.3.1. Horizonte de eventos em buracos negros e buracos de minhoca  6.3.2. Radiação de Hawking  6.3.3. Processo de Penrose  6.3.4. Paradoxo da informação em buracos negros e buracos de minhoca
  7. Física da matéria condensada  7.1. Estrutura cristalina e rede  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Teoria de bandas na estrutura cristalina e redes  7.1.3. Fónons na estrutura cristalina e em redes  7.1.4. Teorema de Bloch  7.2. Supercondutividade  7.2.1. Princípio BCS  7.2.2. Efeito Meissner  7.2.3. Supercondutor de Alta Temperatura  7.2.4. Efeito Josephson

Doutorado → Mecânica quântica → Operadores quânticos ↓


Operador de momento angular


No campo da mecânica quântica, compreender o conceito de momento angular é essencial para entender o comportamento dos sistemas microscópicos. O momento angular não é apenas importante na física clássica, mas adquire dimensões e complexidades fascinantes na física quântica. O objetivo deste documento é aprofundar a natureza dos operadores de momento angular, proporcionando uma visão geral abrangente, conforme as expectativas de um estudante de física de nível de doutorado. É uma jornada conceitual de como a mecânica quântica reinterpretou um conceito antigo da física clássica.

Conceito de momento angular

Na física clássica, o momento angular é uma medida da quantidade de rotação de um objeto, que inclui sua massa, tamanho e velocidade de rotação. O momento angular L de um corpo rígido pode ser expresso como:

L = R × P

Aqui, r é o vetor de posição, e p é o momento linear. Este produto vetorial apresenta o momento angular como um vetor, orientado perpendicularmente ao plano formado por r e p.

Momento angular na mecânica quântica

Na mecânica quântica, o conceito de momento angular se estende da descrição do movimento rotacional para representar uma propriedade intrínseca das partículas, como o spin. Ao contrário da física clássica, o momento angular na mecânica quântica é quantizado, o que significa que ele só pode assumir valores discretos.

Quantização do momento angular

A mecânica quântica afirma que o momento angular é quantizado, geralmente em múltiplos integrais ou semi-integrais de uma constante fundamental, ħ (a constante de Planck reduzida). A magnitude do momento angular |mathbf{L}| é dada por:

|mathbf{L}| = √(l(l+1)) ħ

onde l é um número inteiro não negativo ou meio-inteiro conhecido como o número quântico do momento angular. Ele determina os valores permitidos para o momento angular, que são importantes para os níveis de energia dos sistemas quânticos.

Operador de momento angular

Os operadores de momento angular são construções matemáticas na mecânica quântica que explicam a quantização do momento angular. Esses operadores desempenham um papel importante na descrição das dinâmicas e dos estados permitidos dos sistemas quânticos.

Componentes do momento angular

Operadores de posição e momento na mecânica quântica

Na mecânica quântica, a posição e o momento das partículas são representados por operadores. O operador de posição é geralmente denotado por (hat{r}) e o operador de momento por (hat{p}). Na representação posicional, o operador de momento é expresso como um operador diferencial:

(hat{p} = -iħ nabla)

Definindo operadores de momento angular

Os componentes do momento angular — direções x, y e z — são representados pelos operadores: Lx, Ly e Lz. Estes são definidos em termos dos operadores de posição e momento da seguinte maneira:

Lx = (hat{y}hat{p}_z - hat{z}hat{p}_y)
Ly = (hat{z}hat{p}_x - hat{x}hat{p}_z)
Lz = (hat{x}hat{p}_y - hat{y}hat{p}_x)

Relações de comutador e o princípio da incerteza

Os operadores de momento angular obedecem a relações de troca específicas, que são importantes para entender as limitações de medição na mecânica quântica.

Comutadores

Os comutadores entre os componentes do momento angular são dados da seguinte forma:

[Lx, Ly] = iħLz
[Ly, Lz] = iħLx
[Lz, Lx] = iħLy

Essas relações de comutador mostram que é impossível definir precisamente dois componentes do momento angular simultaneamente, o que é uma característica essencial do princípio da incerteza.

Exemplo visual: vetor de momento angular

R P

Neste diagrama, o ponto vermelho é a origem ou centro de rotação, e o ponto azul representa o ponto final do vetor de momento. A linha reta representa a direção do momento angular como o produto do vetor r que os separa.

Representação e autovalores

Os operadores de momento angular possuem autovalores e autovetores associados, que são importantes na previsão dos resultados de medições. Os autovalores correspondem a quantidades mensuráveis, enquanto os autovetores representam o estado do sistema.

Identificando autovalores

Vamos resolver o problema de autovalor para Lz, que consiste em encontrar uma solução para o seguinte:

Lz |ψ⟩ = mħ |ψ⟩

onde |ψ⟩ é o autovetor e m é o número quântico magnético, que assume valores inteiros e meio-inteiros de -l a +l.

Aplicações: momento angular de spin

O spin é uma forma inerente de momento angular carregada por partículas quânticas. Ao contrário do momento angular orbital, que surge do movimento de um objeto, o spin é uma propriedade inata, semelhante à carga elétrica.

Operadores de spin

O momento angular de spin é quantizado em termos meio-inteiros e descrito pelos operadores Sx, Sy e Sz, semelhante aos operadores de momento angular orbital.

Para uma partícula de spin-1 1/2, como o elétron, os operadores de spin na base z são representados pelas matrizes de Pauli:

Sx = (ħ/2) | 0 1 |
          | 1 0 |

Sy = (ħ/2) | 0 -i |
          | i 0 |

Sz = (ħ/2) | 1 0 |
          | 0 -1 |

Os estados próprios de Sz, |+⟩ e |-⟩ representam os estados de spin para cima e para baixo, respectivamente.

Exemplo visual: momento angular de spin

sz sx

Este diagrama fornece uma visão simplificada do momento magnético de uma partícula de spin 1/2. As linhas marcadas Sx e Sz representam os componentes de spin ao longo dos respectivos eixos.

Exemplo de aula: cálculo de valores esperados

Na mecânica quântica, os valores esperados são previsões de valores médios para uma série de medições em um sistema quântico. Suponha que nosso sistema esteja em um estado |ψ⟩, com um operador correspondente para o observável de interesse. O valor esperado é dado por:

⟨Lz⟩ = ⟨ψ|Lz|ψ⟩

Esta integral representa a média dos valores medidos do componente de momento angular Lz ao longo de um número de ensaios quando o sistema é preparado no estado |ψ⟩.

Conclusão

O momento angular, em sua forma mecânica quântica, é crucial para moldar nossa compreensão das estruturas atômicas, moleculares e de partículas. Os operadores fornecem a estrutura matemática para analisar essas propriedades dinâmicas, ajudando os físicos a explicarem e preverem o comportamento de sistemas com simetria rotacional. Desde relações de troca até regras de quantização, eles oferecem insights sobre as complexidades subjacentes que dão origem ao nosso universo multidimensional. Compreender esses operadores é crucial para qualquer pessoa que se aprofunde no campo da física quântica.


Doutorado → 3.3.2


U
username
0%
concluído em Doutorado

← Anterior (3.3.1)
Comutadores e observáveis
Próximo (3.3.3) →
Ladder Operator

Comentários 



Operador de momento angular

https://www.physicsflow.com/phd/3.3.2?pfal=pt