Doctorado
  1. Classical mechanics  1.1. Mecánica newtoniana  1.1.1. Leyes del movimiento en la mecánica newtoniana  1.1.2. Dinámica de partículas y sistemas  1.1.3. Leyes de conservación  1.1.4. Movimiento de fuerza central  1.2. Mecánica lagrangiana  1.2.1. Principio de acción mínima  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. Restricciones y coordenadas normalizadas  1.2.4. Teorema de Noether  1.3. Hamiltonian mechanics  1.3.1. Ecuaciones de Hamilton  1.3.2. Conversión canónica  1.3.3. Corchete de Poisson  1.3.4. Variable de acción-ángulo  1.4. Movilidad del cuerpo rígido  1.4.1. Rotación de cuerpos rígidos  1.4.2. Tensor de momento de inercia  1.4.3. Ecuaciones de Euler en la dinámica de cuerpos rígidos  1.4.4. Movimiento giroscópico  1.5. Caos y dinámica no lineal  1.5.1. Espacio de fase y atractivo  1.5.2. Teoría de bifurcación y caos  1.5.3. Caos Hamiltoniano  1.5.4. Exponente de Lyapunov
  2. Electrodinámica  2.1. Las ecuaciones de Maxwell  2.1.1. La ley de Gauss para la electricidad  2.1.2. La ley de Gauss para el magnetismo  2.1.3. La ley de Faraday  2.1.4. La Ley de Ampère  2.1.5. Condiciones de frontera en las ecuaciones de Maxwell  2.2. Ondas electromagnéticas  2.2.1. Ecuación de onda  2.2.2. Polarización  2.2.3. Reflexión y Refracción  2.2.4. Guías de onda y resonadores  2.3. Relatividad especial  2.3.1. Transformaciones de Lorentz  2.3.2. Energía y momento relativista  2.3.3. Electrodinámica relativista  2.3.4. Espaciotiempo de Minkowski  2.4. Radiación y dispersión  2.4.1. Radiación de dipolo  2.4.2. Expansión multipolar  2.4.3. Dispersión de Compton  2.4.4. Dispersión de Thomson y Rayleigh  2.5. Física de Plasma  2.5.1. Pantalla de Debye  2.5.2. Magnetohidrodinámica  2.5.3. Inestabilidad del plasma  2.5.4. Plasma de Fusión
  3. Mecánica cuántica  3.1. Fundamentos de la mecánica cuántica  3.1.1. Principios de la mecánica cuántica  3.1.2. Función de onda e interpretación de la probabilidad  3.1.3. Principio de incertidumbre  3.1.4. Efecto túnel cuántico  3.2. Ecuación de Schrödinger  3.2.1. Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo  3.2.2. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo  3.2.3. Valores propios y funciones propias en la ecuación de Schrödinger  3.2.4. Integrales de caminos en mecánica cuántica  3.3. Operadores cuánticos  3.3.1. Conmutadores y observables  3.3.2. Operador de momento angular  3.3.3. Operador Escalera  3.3.4. Matrices de Pauli  3.4. Entrecruzamiento cuántico y medición  3.4.1. Teorema de Bell  3.4.2. Teletransportación Cuántica  3.4.3. Enredo cuántico y decoherencia cuántica en la medición  3.4.4. Entrelazamiento cuántico y medición en mecánica cuántica  3.5. Mecánica cuántica relativista  3.5.1. Ecuación de Klein–Gordon  3.5.2. Ecuación de Dirac  3.5.3. Teoría cuántica de campos  3.5.4. Integral de camino de Feynman
  4. Mecánica estadística y termodinámica  4.1. Termodinámica clásica  4.1.1. Leyes de la Termodinámica  4.1.2. Ciclo de Carnot  4.1.3. Entropía y energía libre  4.1.4. Eficiencia termodinámica  4.2. Teoría cinética de los gases  4.2.1. Distribución de Maxwell-Boltzmann  4.2.2. Fenómeno de transporte  4.2.3. Camino libre medio  4.2.4. Sistemas no equilibrados en la teoría cinética de gases  4.3. Mecánica estadística  4.3.1. Microestados y Macroestados  4.3.2. Función de partición  4.3.3. Estadísticas de Bose–Einstein y Fermi–Dirac  4.3.4. Fluctuaciones y correlaciones  4.4. Transición de fase  4.4.1. Eventos importantes  4.4.2. Teoría de Landau  4.4.3. Modelo de Ising  4.4.4. Teoría del grupo de renormalización
  5. Teoría cuántica de campos  5.1. Segunda Cuantización  5.1.1. Oscilador armónico cuántico en segunda cuantización  5.1.2. Operadores de creación y aniquilación en segunda cuantización  5.1.3. Integral de Camino en la Segunda Cuantización  5.1.4. Espacio de Fock  5.2. Electrodinámica Cuántica  5.2.1. Feynman diagrams  5.2.2. Renormalización en electrodinámica cuántica  5.2.3. Invariancia de calibre en electrodinámica cuántica  5.2.4. Polarización del vacío  5.3. Cromodinámica Cuántica  5.3.1. Quarks y gluones  5.3.2. Rango de colores  5.3.3. Lattice QCD  5.3.4. Libertad asintótica  5.4. Modelo estándar de la física de partículas  5.4.1. Teoría electrodébil  5.4.2. Mecanismo de Higgs  5.4.4. Teorías de Gran Unificación
  6. Relatividad general y gravedad  6.1. Ecuaciones de campo de Einstein  6.1.1. Tensor de Ricci y curvatura escalar  6.1.2. Solución de Schwarzschild  6.1.3. Métrica de Kerr  6.1.4. Ondas gravitacionales  6.2. Cosmología  6.2.1. Ecuación de Friedmann  6.2.2. Inflación cósmica  6.2.3. Materia oscura y energía oscura  6.2.4. Estructura a gran escala  6.3. Agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.1. Horizonte de sucesos en agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.2. Radiación de Hawking  6.3.3. Proceso de Penrose  6.3.4. Paradoja de la información en agujeros negros y agujeros de gusano
  7. Física de la materia condensada  7.1. Estructura cristalina y red  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Teoría de bandas en estructuras y redes cristalinas  7.1.3. Fonones en la estructura cristalina y la red  7.1.4. Teorema de Bloch  7.2. Superconductividad  7.2.1. Principio BCS  7.2.2. Efecto Meissner  7.2.3. Superconductor de Alta Temperatura  7.2.4. Efecto Josephson

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Mecánica cuántica relativista


La mecánica cuántica relativista es una teoría fundamental que combina los principios de la mecánica cuántica con la teoría de la relatividad de Einstein. Intenta describir el comportamiento de partículas que se mueven a velocidades cercanas a la velocidad de la luz e incorpora tanto la naturaleza probabilística de la mecánica cuántica como la naturaleza determinística de la relatividad.

Para entender la mecánica cuántica relativista, revisemos la mecánica cuántica y la relatividad especial de manera independiente. En la mecánica cuántica, una de las principales ecuaciones es la ecuación de Schrödinger, que describe cómo cambia el estado cuántico de un sistema físico con el tiempo. Para una sola partícula en un campo potencial, se expresa como:

iħ ∂ψ/∂t = Ĥψ

Donde:

  • i es la unidad imaginaria.
  • ħ es la constante de Planck reducida.
  • ∂ψ/∂t es la derivada parcial de la función de onda ψ respecto al tiempo.
  • Ĥ es el operador Hamiltoniano, que corresponde a la energía total del sistema.

Sin embargo, la ecuación de Schrödinger no incorpora efectos relativistas, los cuales se vuelven importantes a velocidades cercanas a la velocidad de la luz. Para abordar esto, se deben considerar las teorías de la relatividad especial de Einstein, que sugieren que las leyes de la física son las mismas para todos los observadores no acelerados y que la velocidad de la luz en el vacío es constante.

La piedra angular de la teoría especial de la relatividad es la famosa relación energía-momento, dada por:

E² = p²c² + m₀²c⁴

Donde:

  • E es la energía de la partícula.
  • p es el momento.
  • c es la velocidad de la luz.
  • m₀ es la masa en reposo de la partícula.

Para integrar la mecánica cuántica con la relatividad especial, recurrimos a los conceptos de la mecánica cuántica relativista, utilizando principalmente la ecuación de Dirac, que fue desarrollada por Paul Dirac en 1928. La ecuación de Dirac tiene en cuenta el comportamiento de electrones y predice fenómenos como la antimateria y el espín.

Ecuación de Dirac

La ecuación de Dirac es una ecuación de onda relativista para fermiones, que captura la esencia de partículas como el electrón. Proporciona una descripción que refleja los requisitos de la relatividad y la mecánica cuántica:

(iγⁿ∂ₙ - m)ψ = 0

En esta ecuación:

  • γⁿ son matrices gamma, que codifican la estructura espinorial de las partículas.
  • ∂ₙ es el cuatrigradiente, que representa derivadas en el espacio-tiempo.
  • m es la masa en reposo de la partícula.
  • ψ es la función de onda representada como un espinor.

La ecuación de Dirac surge exitosamente del concepto de espacio-tiempo de cuatro dimensiones de Hermann Minkowski y proporciona soluciones adicionales correspondientes a las antipartículas.

Antipartícula

Una de las predicciones más revolucionarias de la ecuación de Dirac es la existencia de antipartículas. Estas son partículas que tienen la misma masa que sus partículas ordinarias correspondientes, pero tienen carga eléctrica opuesta y otros números cuánticos.

Por ejemplo, la antipartícula del electrón es el positrón, que tiene carga positiva. La predicción y posterior descubrimiento del positrón fueron logros históricos que verificaron la verdad de la ecuación de Dirac.

Espín y el principio de exclusión de Pauli

La ecuación de Dirac también explica el concepto de espín, una propiedad fundamental de las partículas cuánticas. El espín es una forma intrínseca de momento angular, distinta del momento angular orbital, y se describe mediante el número cuántico de momento angular.

Los valores de espín para los electrones son ±½, y esto lleva al principio de exclusión de Pauli, que establece que no dos fermiones pueden ocupar el mismo estado cuántico simultáneamente. Este principio es esencial para explicar la estructura de los átomos y las propiedades de la materia.

A continuación se da la representación simbólica del espín del electrón:

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Corrección de la fuerza de Coulomb - Shift de Lamb

En átomos de hidrógeno, la interacción entre el electrón y el núcleo no se tiene en cuenta por completo a través de los niveles de energía. La ecuación de Dirac proporciona una descripción más precisa con el Shift de Lamb, que corrige las anomalías que surgen de las interacciones de la electrodinámica cuántica.

Este efecto es causado por el electrón interactuando con su propio campo electromagnético y resulta en diferencias sutiles en los niveles de energía que de otra manera se predecirían como iguales.

Diagramas de Feynman

Los diagramas de Feynman se utilizan a menudo para representar procesos en la mecánica cuántica relativista. Representan el comportamiento de partículas subatómicas a través de líneas y vértices en el espacio-tiempo, proporcionando una notación visual abreviada para ecuaciones complejas.

e- → e- + γ

Este simple ejemplo debe entenderse dentro de las reglas que guían las interacciones: electrón (e-) y fotón (γ).

Debilidades y extensiones

A pesar de cubrir muchos aspectos esenciales, la mecánica cuántica relativista no puede incorporar el principio de invariancia de calibre con la misma profundidad que está establecida en la teoría cuántica de campos (QFT). La QFT extiende estas ideas considerando las partículas como estados excitados de los campos subyacentes, integrando así completamente los conceptos de relatividad y mecánica cuántica.

Conclusiones

En resumen, la mecánica cuántica relativista proporciona conocimientos esenciales para entender el comportamiento de partículas a altas energías y conecta estos fenómenos observables, añadiendo así profundidad a la física teórica y aplicada. Aunque representa una fusión fundamental de la mecánica cuántica con la relatividad, los esfuerzos continuos en la teoría cuántica de campos y más allá indican un viaje en curso hacia una comprensión más unificada del universo.

La vastedad y sutileza de la mecánica cuántica relativista se reflejan a través de ecuaciones, ejemplos y diagramas, expandiendo así nuestra comprensión y generando nuevas direcciones de investigación en el campo de la ciencia y la realidad.


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