博士号
  1. 古典力学  1.1. ニュートン力学  1.1.1. ニュートン力学における運動の法則  1.1.2. 粒子とシステムの力学  1.1.3. 保存則  1.1.4. Central force motion  1.2. ラグランジュ力学  1.2.1. 最小作用の原理  1.2.2. オイラー・ラグランジュ方程式  1.2.3. 拘束条件と正規化座標  1.2.4. ネーターの定理  1.3. ハミルトン力学  1.3.1. ハミルトンの方程式  1.3.2. 正準変換  1.3.3. ポアソン括弧  1.3.4. 作用-角変数  1.4. 剛体の運動  1.4.1. 剛体の回転  1.4.2. 慣性モーメントテンソル  1.4.3. 剛体力学におけるオイラーの方程式  1.4.4. ジャイロスコープ運動  1.5. カオスと非線形ダイナミクス  1.5.1. ステージスペースと魅力的  1.5.2. 分岐とカオス理論  1.5.3. ハミルトンカオス  1.5.4. リャプノフ指数
  2. 電磁力学  2.1. マクスウェルの方程式  2.1.1. 電気に対するガウスの法則  2.1.2. 磁気に関するガウスの法則  2.1.3. ファラデーの法則  2.1.4. アンペールの法則  2.1.5. マクスウェルの方程式における境界条件  2.2. 電磁波  2.2.1. 波動方程式  2.2.2. 偏光  2.2.3. 反射と屈折  2.2.4. 導波路と共振器  2.3. 特殊相対性理論  2.3.1. ローレンツ変換  2.3.2. 相対論的エネルギーと運動量  2.3.3. 相対論的電気力学  2.3.4. ミンコフスキー時空  2.4. 放射と散乱  2.4.1. 双極子放射  2.4.2. 多極展開  2.4.3. コンプトン散乱  2.4.4. トムソン散乱とレイリー散乱  2.5. プラズマ物理学  2.5.1. デバイ遮蔽  2.5.2. 磁気流体力学  2.5.3. プラズマの不安定性  2.5.4. 融合プラズマ
  3. 量子力学  3.1. 量子力学の基礎  3.1.1. 量子力学の原理  3.1.2. 波動関数と確率解釈  3.1.3. 不確定性原理  3.1.4. 量子トンネル効果  3.2. シュレディンガー方程式  3.2.1. 時間依存シュレーディンガー方程式  3.2.2. 時間に依存しないシュレーディンガー方程式  3.2.3. シュレーディンガー方程式における固有値と固有関数  3.2.4. 量子力学における経路積分  3.3. 量子演算子  3.3.1. 交換子と観測可能量  3.3.2. 角運動量演算子  3.3.3. ラダー演算子  3.3.4. パウリ行列  3.4. 量子もつれと測定  3.4.1. ベルの定理  3.4.2. 量子テレポーテーション  3.4.3. 量子もつれと測定における量子デコヒーレンス  3.4.4. 量子力学における量子もつれと測定  3.5. 相対論的量子力学  3.5.1. Klein–Gordon 方程式  3.5.2. ディラック方程式  3.5.3. 量子場理論  3.5.4. ファインマン経路積分
  4. 統計力学と熱力学  4.1. 古典熱力学  4.1.1. 熱力学の法則  4.1.2. カルノーサイクル  4.1.3. エントロピーと自由エネルギー  4.1.4. 熱力学効率  4.2. 気体の分子運動論  4.2.1. マクスウェル・ボルツマン分布  4.2.2. 輸送現象  4.2.3. 平均自由行程  4.2.4. 気体の運動論における非平衡系  4.3. 統計力学  4.3.1. ミクロな状態とマクロな状態  4.3.2. 分配関数  4.3.3. ボース＝アインシュタイン統計とフェルミ＝ディラック統計  4.3.4. 変動と相関  4.4. 相転移  4.4.1. 重要なイベント  4.4.2. ランドウ理論  4.4.3. イジングモデル  4.4.4. 繰り込み群理論
  5. 量子場理論  5.1. 二次量子化  5.1.1. 第二量子化における量子調和振動子  5.1.2. 第二量子化における生成および消滅演算子  5.1.3. 第2量子化における経路積分  5.1.4. フォック空間  5.2. 量子電磁力学  5.2.1. ファインマン・ダイアグラム  5.2.2. 量子電磁力学におけるくりこみ  5.2.3. 量子電気力学におけるゲージ不変性  5.2.4. 真空分極  5.3. 量子色力学  5.3.1. クォークとグルーオン  5.3.2. カラーレンジ  5.3.3. 格子QCD  5.3.4. 漸近的自由  5.4. 素粒子物理学の標準模型  5.4.1. 電弱理論  5.4.2. ヒッグス機構  5.4.4. 大統一理論
  6. 一般相対性理論と重力  6.1. アインシュタインの場の方程式  6.1.1. リッチテンソルとスカラー曲率  6.1.2. シュヴァルツシルト解  6.1.3. Kerr metric  6.1.4. 重力波  6.2. 宇宙論  6.2.1. フリードマン方程式  6.2.2. 宇宙インフレーション  6.2.3. ダークマターとダークエネルギー  6.2.4. 大規模構造  6.3. ブラックホールとワームホール  6.3.1. ブラックホールとワームホールの事象の地平線  6.3.2. ホーキング放射  6.3.3. ペンローズ・プロセス  6.3.4. ブラックホールとワームホールにおける情報パラドックス
  7. 凝縮系物理学  7.1. 結晶構造と格子  7.1.1. ブラベ格子  7.1.2. 結晶構造と格子におけるバンド理論  7.1.3. Phonons in crystal structure and lattice  7.1.4. ブロッホの定理  7.2. 超伝導  7.2.1. BCS原理  7.2.2. マイスナー効果  7.2.3. 高温超伝導体  7.2.4. ジョセフソン効果

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相対論的量子力学


相対論的量子力学は、量子力学の原理とアインシュタインの相対性理論を組み合わせた基本的な理論です。光の速度に近い速さで運動する粒子の挙動を説明しようとし、量子力学の確率的性質と相対性理論の決定論的性質の両方を取り入れています。

相対論的量子力学を理解するために、まずは独立して量子力学と特殊相対性理論を振り返ってみましょう。量子力学では、主な方程式の1つとしてシュレーディンガー方程式があり、物理系の量子状態が時間経過とともにどのように変化するかを説明します。1つの粒子がポテンシャル場内にある場合、次のように表されます:

iħ ∂ψ/∂t = Ĥψ

ここで:

  • iは虚数単位です。
  • ħは減少するプランク定数です。
  • ∂ψ/∂tは、波動関数ψの時間に関する偏微分です。
  • Ĥはハミルトニアン演算子で、系の全エネルギーに対応します。

しかし、シュレーディンガー方程式には相対論的な効果が組み込まれておらず、光の速度に近い速度で重要になってきます。これに対処するためには、アインシュタインの特殊相対性理論を考慮する必要があります。これは、非加速系のすべての観測者にとって物理法則が同じであること、真空中の光の速度が一定であることを示唆しています。

特殊相対性理論の基本となるのは、次のように与えられる有名なエネルギー–運動量関係です:

E² = p²c² + m₀²c⁴

ここで:

  • Eは粒子のエネルギーです。
  • pは運動量です。
  • cは光速です。
  • m₀は粒子の静止質量です。

量子力学を特殊相対性理論に統合するためには、主に1928年にポール・ディラックによって開発されたディラック方程式を使用して、相対論的量子力学の概念に向かう必要があります。ディラック方程式は、電子の挙動を説明し、反物質とスピンのような現象を予測しています。

ディラック方程式

ディラック方程式は、フェルミオンのための相対論的波動方程式であり、電子のような粒子の本質を捉えています。それは相対性と量子力学の要件を反映した記述を提供します:

(iγⁿ∂ₙ - m)ψ = 0

この方程式では:

  • γⁿはガンマ行列で、粒子のスピノル構造をエンコードします。
  • ∂ₙは4次元の勾配であり、時空の微分を表しています。
  • mは粒子の静止質量です。
  • ψはスピノルとして表現される波動関数です。

ディラック方程式は、ヘルマン・ミンコフスキーの4次元時空の概念から成功裏に現れ、反粒子に対応する追加の解を提供します。

反粒子

ディラック方程式の最も革命的な予測の1つは、反粒子の存在です。これらは、対応する通常の粒子と同じ質量を持ちますが、電荷や他の量子数が反対です。

例えば、電子の反粒子は陽電子で、正の電荷を持ちます。陽電子の予測とその後の発見は、ディラック方程式の真実性を検証する画期的な成果でした。

スピンとパウリの排他原理

ディラック方程式はまた、量子粒子の基本的性質であるスピンの概念も説明します。スピンは、本質的な角運動量の一形態であり、軌道角運動量とは異なり、角運動量量子数によって記述されます。

電子のスピン値は±½であり、これはパウリ排他原理につながります。この原理は、2つのフェルミオンが同時に同じ量子状態を占めることはできないと述べています。この原理は、原子の構造と物質の特性を説明する上で重要です。

以下は電子スピンの象徴的な表現です:

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クーロン力補正 - ラムシフト

水素原子では、電子と核の間の相互作用は、エネルギーレベルによって完全には説明されていません。ディラック方程式は、量子電磁力学的相互作用に起因する異常の補正としてラムシフトを提供し、より正確な記述を与えます。

この効果は、電子が自分自身の電磁場と相互作用することによって引き起こされ、通常は等しいと予測されるエネルギーレベルに微妙な違いをもたらします。

ファインマン・ダイアグラム

ファインマン・ダイアグラムは、相対論的量子力学におけるプロセスを表現するためによく使用されます。これらは、時空内の線と頂点を通じて亜原子粒子の挙動を描写し、複雑な方程式を記述するのに役立つ図式です。

e- → e- + γ

この単純な例は、相互作用を導くルールの下で理解される必要があります: 電子(e-)と光子(γ)です。

弱点と拡張

多くの重要な側面をカバーしているにもかかわらず、相対論的量子力学は、ゲージ不変性の原理を量子場理論(QFT)と同等の強度で組み込むことができません。QFTは、粒子を基礎となる場の励起状態として考慮することで、これらのアイデアを拡張し、相対性と量子力学の概念を完全に統合しています。

結論

要するに、相対論的量子力学は、高エネルギーでの粒子の挙動を理解するための重要な洞察を提供し、観察可能な現象とつなげ、理論物理学と応用物理学に深みを加えます。量子力学と相対性の基本的な融合を表していますが、量子場理論やその先を目指す継続的な努力は、宇宙のより統一された理解へ向かう進行中の旅を示しています。

相対論的量子力学の広大さと微妙さは、方程式、例、図を通じて反映され、科学と現実の分野における新たな調査の方向性を広げ、理解を深めています。


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相対論的量子力学

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