Mecânica quântica relativística

A mecânica quântica relativística é uma teoria fundamental que combina os princípios da mecânica quântica com a teoria da relatividade de Einstein. Ela tenta descrever o comportamento de partículas que se movem em velocidades próximas à velocidade da luz e incorpora tanto a natureza probabilística da mecânica quântica quanto a natureza determinista da relatividade.

Para entender a mecânica quântica relativística, vamos revisar a mecânica quântica e a relatividade especial de forma independente. Na mecânica quântica, uma das principais equações é a equação de Schrödinger, que descreve como o estado quântico de um sistema físico muda ao longo do tempo. Para uma única partícula em um campo potencial, ela é expressa como:

iħ ∂ψ/∂t = Ĥψ

Onde:

• i é a unidade imaginária.
• ħ é a constante de Planck reduzida.
• ∂ψ/∂t é a derivada parcial da função de onda ψ em relação ao tempo.
• Ĥ é o operador Hamiltoniano, correspondente à energia total do sistema.

No entanto, a equação de Schrödinger não incorpora efeitos relativísticos, que se tornam importantes em velocidades próximas à da luz. Para lidar com isso, é preciso considerar as teorias da relatividade especial de Einstein, que sugerem que as leis da física são as mesmas para todos os observadores não acelerados e que a velocidade da luz no vácuo é constante.

A pedra angular da teoria especial da relatividade é a famosa relação energia-momento, dada por:

E² = p²c² + m₀²c⁴

Onde:

• E é a energia da partícula.
• p é o momento.
• c é a velocidade da luz.
• m₀ é a massa de repouso da partícula.

Para integrar a mecânica quântica com a relatividade especial, recorremos aos conceitos da mecânica quântica relativística, principalmente usando a equação de Dirac, que foi desenvolvida por Paul Dirac em 1928. A equação de Dirac explica o comportamento dos elétrons e prevê fenômenos como antimatéria e spin.

Equação de Dirac

A equação de Dirac é uma equação de onda relativística para férmions, que captura a essência de partículas como o elétron. Ela fornece uma descrição que reflete os requisitos de ambos a relatividade e a mecânica quântica:

(iγⁿ∂ₙ - m)ψ = 0

Nesta equação:

• γⁿ são matrizes gama, que codificam a estrutura de spinor das partículas.
• ∂ₙ é o quatro-gradiente, representando derivadas espaço-tempo.
• m é a massa de repouso da partícula.
• ψ é a função de onda representada como um spinor.

A equação de Dirac emerge com sucesso do conceito de espaço-tempo quadridimensional de Hermann Minkowski e fornece soluções adicionais correspondentes a antipartículas.

Antipartícula

Uma das previsões mais paradigmáticas da equação de Dirac é a existência de antipartículas. Estas são partículas que têm a mesma massa de suas partículas correspondentes comuns, mas têm carga elétrica oposta e outros números quânticos.

Por exemplo, a antipartícula do elétron é o pósitron, que tem carga positiva. A previsão e a subsequente descoberta do pósitron foram conquistas marcantes que verificaram a veracidade da equação de Dirac.

Spin e o princípio da exclusão de Pauli

A equação de Dirac também explica o conceito de spin, uma propriedade fundamental das partículas quânticas. O spin é uma forma intrínseca de momento angular, distinta do momento angular orbital, e é descrito pelo número quântico do momento angular.

Os valores de spin para elétrons são ±½, e isso leva ao princípio da exclusão de Pauli, que afirma que dois férmions não podem ocupar o mesmo estado quântico simultaneamente. Este princípio é essencial para explicar a estrutura dos átomos e as propriedades da matéria.

Abaixo é dada a representação simbólica do spin do elétron:

|↑> |↓>

Correção da força de Coulomb - Deslocamento de Lamb

Nos átomos de hidrogênio, a interação entre o elétron e o núcleo não é totalmente contabilizada pelos níveis de energia. A equação de Dirac fornece uma descrição mais precisa com o deslocamento de Lamb, que corrige anomalias decorrentes de interações de eletrodinâmica quântica.

Este efeito é causado pelo elétron interagindo com o seu próprio campo eletromagnético e resulta em diferenças sutis nos níveis de energia que de outra forma seriam previstos como iguais.

Diagramas de Feynman

Os diagramas de Feynman são frequentemente usados para representar processos na mecânica quântica relativística. Eles descrevem o comportamento de partículas subatômicas através de linhas e vértices no espaço-tempo, fornecendo um atalho pictórico para equações complexas.

e- → e- + γ

Este exemplo simples deve ser entendido dentro das regras que guiam as interações: elétron (e-) e fóton (γ).

Fraquezas e extensões

Apesar de cobrir muitos aspectos essenciais, a mecânica quântica relativística não consegue incorporar o princípio da invariância de calibre com a mesma força que é estabelecido na teoria quântica de campos (QFT). A QFT estende essas ideias considerando partículas como estados excitados dos campos subjacentes, integrando assim totalmente os conceitos de relatividade e mecânica quântica.

Conclusão

Em suma, a mecânica quântica relativística fornece insights essenciais para entender o comportamento das partículas em altas energias e conectá-las a fenômenos observáveis, adicionando assim profundidade à física teórica e aplicada. Embora represente uma fusão fundamental da mecânica quântica com a relatividade, esforços contínuos na teoria quântica de campos e além indicam uma jornada contínua em direção a uma compreensão mais unificada do universo.

A vastidão e a sutileza da mecânica quântica relativística são refletidas através de equações, exemplos e diagramas, expandindo assim nosso entendimento e gerando novas direções de investigação no campo da ciência e da realidade.

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