Doutorado
  1. Mecânica clássica  1.1. Mecânica newtoniana  1.1.1. Leis do movimento na mecânica Newtoniana  1.1.2. Dinâmica de partículas e sistemas  1.1.3. Leis de conservação  1.1.4. Movimento de força central  1.2. Mecânica lagrangiana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Restrições e coordenadas normalizadas  1.2.4. Teorema de Noether  1.3. Mecânica Hamiltoniana  1.3.1. Equações de Hamilton  1.3.2. Conversão canônica  1.3.3. Colchete de Poisson  1.3.4. Variável ação-ângulo  1.4. Mobilidade de corpo rígido  1.4.1. Rotação de corpos rígidos  1.4.2. Tensor de momento de inércia  1.4.3. Equações de Euler na dinâmica de corpos rígidos  1.4.4. Movimento giroscópico  1.5. Caos e Dinâmica Não Linear  1.5.1. Espaço de fase e atrativo  1.5.2. Teoria da Bifurcação e do Caos  1.5.3. Caos Hamiltoniano  1.5.4. Expoente de Lyapunov
  2. Eletrodinâmica  2.1. As equações de Maxwell  2.1.1. Lei de Gauss para eletricidade  2.1.2. Lei de Gauss para o magnetismo  2.1.3. Lei de Faraday  2.1.4. Ampere's Law  2.1.5. Condições de contorno nas equações de Maxwell  2.2. Ondas eletromagnéticas  2.2.1. Equação de onda  2.2.2. Polarização  2.2.3. Reflexão e Refração  2.2.4. Guias de onda e ressonadores  2.3. Relatividade especial  2.3.1. Transformações de Lorentz  2.3.2. Energia e momentum relativísticos  2.3.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.4. Espaço-tempo de Minkowski  2.4. Radiação e dispersão  2.4.1. Radiação de dipolo  2.4.2. Expansão Multipolar  2.4.3. Dispersão de Compton  2.4.4. Dispersão de Thomson e Rayleigh  2.5. Física de Plasma  2.5.1. Tela de Debye  2.5.2. Magnetohidrodinâmica  2.5.3. Instabilidade do plasma  2.5.4. Plasma de Fusão
  3. Mecânica quântica  3.1. Fundamentos da mecânica quântica  3.1.1. Princípios da mecânica quântica  3.1.2. Função de onda e interpretação de probabilidade  3.1.3. Princípio da Incerteza  3.1.4. Tunelamento Quântico  3.2. Equação de Schrödinger  3.2.1. Equação de Schrödinger dependente do tempo  3.2.2. Equação de Schrödinger independente do tempo  3.2.3. Autovalores e autofunções na equação de Schrödinger  3.2.4. Integrais de caminho em mecânica quântica  3.3. Operadores quânticos  3.3.1. Comutadores e observáveis  3.3.2. Operador de momento angular  3.3.3. Ladder Operator  3.3.4. Matrizes de Pauli  3.4. Entrelaçamento quântico e medição  3.4.1. Teorema de Bell  3.4.2. Teletransporte Quântico  3.4.3. Emaranhamento quântico e decoerência quântica na medição  3.4.4. Emaranhamento quântico e medição na mecânica quântica  3.5. Mecânica quântica relativística  3.5.1. Equação de Klein-Gordon  3.5.2. Equação de Dirac  3.5.3. Teoria quântica de campos  3.5.4. Integral de caminho de Feynman
  4. Mecânica estatística e termodinâmica  4.1. Termodinâmica clássica  4.1.1. Leis da Termodinâmica  4.1.2. Ciclo de Carnot  4.1.3. Entropia e energia livre  4.1.4. Eficiência Termodinâmica  4.2. Teoria cinética dos gases  4.2.1. Distribuição de Maxwell–Boltzmann  4.2.2. Fenômeno de transporte  4.2.3. Caminho livre médio  4.2.4. Sistemas fora do equilíbrio na teoria cinética dos gases  4.3. Mecânica Estatística  4.3.1. Microestados e Macroestados  4.3.2. Função de partição  4.3.3. Estatísticas de Bose-Einstein e Fermi-Dirac  4.3.4. Flutuações e correlações  4.4. Transição de fase  4.4.1. Eventos importantes  4.4.2. Teoria de Landau  4.4.3. Modelo de Ising  4.4.4. Teoria do grupo de renormalização
  5. Teoria quântica de campos  5.1. Segunda Quantização  5.1.1. Oscilador harmônico quântico na segunda quantização  5.1.2. Operadores de criação e aniquilação na segunda quantização  5.1.3. Integral de Caminho na Segunda Quantização  5.1.4. Espaço de Fock  5.2. Eletrodinâmica Quântica  5.2.1. Diagramas de Feynman  5.2.2. Renormalização na eletrodinâmica quântica  5.2.3. Invariância de calibre em eletrodinâmica quântica  5.2.4. Polarização do vácuo  5.3. QCD - Cromodinâmica Quântica  5.3.1. Quarks e glúons  5.3.2. Faixa de cores  5.3.3. Lattice QCD  5.3.4. Liberdade assintótica  5.4. Modelo padrão da física de partículas  5.4.1. Teoria eletrofraca  5.4.2. Mecanismo de Higgs  5.4.4. Teorias da Grande Unificação
  6. Relatividade geral e gravidade  6.1. Equações de campo de Einstein  6.1.1. Tensores de Ricci e curvatura escalar  6.1.2. Solução de Schwarzschild  6.1.3. Métrica de Kerr  6.1.4. Ondas gravitacionais  6.2. Cosmologia  6.2.1. Equação de Friedmann  6.2.2. Inflação cósmica  6.2.3. Matéria escura e energia escura  6.2.4. Estrutura em grande escala  6.3. Buracos negros e buracos de minhoca  6.3.1. Horizonte de eventos em buracos negros e buracos de minhoca  6.3.2. Radiação de Hawking  6.3.3. Processo de Penrose  6.3.4. Paradoxo da informação em buracos negros e buracos de minhoca
  7. Física da matéria condensada  7.1. Estrutura cristalina e rede  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Teoria de bandas na estrutura cristalina e redes  7.1.3. Fónons na estrutura cristalina e em redes  7.1.4. Teorema de Bloch  7.2. Supercondutividade  7.2.1. Princípio BCS  7.2.2. Efeito Meissner  7.2.3. Supercondutor de Alta Temperatura  7.2.4. Efeito Josephson

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Distribuição de Maxwell–Boltzmann


A distribuição de Maxwell–Boltzmann é um conceito fundamental na mecânica estatística e na termodinâmica, particularmente dentro da teoria cinética dos gases. Ela fornece um meio estatístico para descrever o comportamento das moléculas em um gás. Para entender esse conceito, devemos nos aprofundar no mundo microscópico das moléculas de gás e entender como sua energia e velocidade são distribuídas sob uma determinada temperatura e condições.

Entendendo os conceitos básicos

Imagine um recipiente cheio de gás. Este gás contém muitas moléculas que estão constantemente se movendo em direções aleatórias. A distribuição de Maxwell-Boltzmann nos ajuda a prever o comportamento dessas moléculas, especificamente quão rápido elas estão se movendo e como suas velocidades estão distribuídas entre as diferentes partículas.

Temperatura e velocidade das partículas

A temperatura é uma medida da energia cinética média das partículas em uma substância. Em um gás, essa energia é principalmente translacional, o que significa que está relacionada ao movimento das moléculas no espaço. A energia cinética, E, de uma única molécula de massa m movendo-se à velocidade v é:

E = frac{1}{2}mv^2

Em qualquer temperatura, nem todas as moléculas têm a mesma velocidade. Algumas se movem lentamente, enquanto outras se movem muito rapidamente. A distribuição de Maxwell-Boltzmann oferece uma maneira estatística de descrever essa faixa de velocidade.

Fórmula da distribuição de Maxwell–Boltzmann

A distribuição das velocidades das partículas em um gás ideal é descrita pela seguinte função:

f(v) = left(frac{m}{2pi kT}right)^{3/2} 4pi v^2 expleft(-frac{mv^2}{2kT}right)

Onde:

  • f(v) é a função de densidade de probabilidade para a velocidade v.
  • m é a massa da partícula.
  • k é a constante de Boltzmann.
  • T é a temperatura absoluta do gás.
  • exp é a função exponencial.

Visualização da distribuição de Maxwell–Boltzmann

A distribuição de Maxwell-Boltzmann pode ser vista como um gráfico da velocidade versus a probabilidade de encontrar uma molécula com essa velocidade. Para uma melhor explicação, vamos olhá-la com um exemplo visual representado como uma curva.

Velocidade Densidade de probabilidade Baixa T Alta T

Este gráfico mostra a distribuição das velocidades moleculares em diferentes temperaturas e mostra a mudança em direção a velocidades mais altas conforme a temperatura aumenta.

Características principais da distribuição de Maxwell–Boltzmann

  • Assimetria: A curva da distribuição não é simétrica. Ela tem uma cauda longa em altas velocidades, indicando que, embora menos provável, as moléculas podem atingir velocidades muito altas.
  • Dependência da temperatura: Quanto maior a temperatura, mais achatada e ampla é a distribuição. Isso significa que a velocidade de mais moléculas será maior a temperaturas mais altas.

Exemplos e aplicações de gases na vida real

Exemplo 1: Molécula de ar

Considere moléculas de ar à temperatura ambiente (298 K). Usando a distribuição de Maxwell–Boltzmann, podemos calcular a velocidade mais provável (a velocidade na qual a curva de distribuição atinge seu pico), a velocidade média e a velocidade quadrática média.

A velocidade mais provável, v_p, é determinada por:

v_p = sqrt{frac{2kT}{m}}

Exemplo 2: Gás hélio

Para o gás hélio, devido à sua menor massa em comparação com as moléculas de nitrogênio ou oxigênio, a distribuição é mais ampla, indicando velocidades mais altas na mesma temperatura. Considere dois gases, hélio e oxigênio, na mesma temperatura. Você verá que as moléculas de hélio, por serem mais leves, se movem em uma velocidade mais rápida.

Derivação matemática da distribuição de Maxwell–Boltzmann

A derivação começa considerando a distribuição estatística de energia em um sistema. A ideia principal é adicionar o número de maneiras pelas quais a energia pode ser distribuída entre os diferentes níveis de energia das moléculas de gás. A probabilidade P de uma partícula ter energia E é proporcional a:

P(E) propto e^{-E/kT}

Assumindo-se que as moléculas têm três graus de liberdade translacionais, obtemos o resultado da distribuição de velocidade integrando-se sobre todas as velocidades possíveis.

Graus de liberdade

As moléculas podem se mover em três dimensões, portanto, elas têm três graus de liberdade. Cada grau de liberdade contribui igualmente para a energia cinética total, que é compartilhada simetricamente entre os estados de energia disponíveis de acordo com o teorema da equipartição.

Expressões integrais e cálculos

O cálculo de várias medidas estatísticas, como velocidade média, energia, etc., envolve a integração da função de densidade de probabilidade sobre todas as velocidades possíveis. Por exemplo, a velocidade média overline{v} é dada por:

overline{v} = int_0^{infty} vf(v) dv

Velocidade quadrática média

A velocidade quadrática média, v_{text{rms}}, que é uma medida da magnitude da velocidade das partículas de gás, é dada por:

v_{text{rms}} = sqrt{frac{3kT}{m}}

Efeito da distribuição de Maxwell–Boltzmann

Compreender a distribuição de Maxwell–Boltzmann fornece insights sobre processos importantes, como difusão, condução térmica e a explicação da pressão e volume dos gases. Suas implicações se estendem à elucidação dos fenômenos que determinam o comportamento dos gases sob várias condições representadas pela lei dos gases ideais, que é declarada como:

PV = nRT

Onde:

  • P é a pressão do gás.
  • V é o volume.
  • n é o número de mols.
  • R é a constante dos gases ideais.
  • T é a temperatura em Kelvin.

Relação com outras distribuições estatísticas

As estatísticas de Maxwell–Boltzmann fazem parte de uma classe mais ampla de distribuições na mecânica estatística, que inclui outras distribuições, como Fermi–Dirac e Bose–Einstein. Embora a distribuição de Maxwell–Boltzmann se aplique efetivamente a gases ideais clássicos, outras descrevem partículas quânticas que obedecem a princípios de exclusão específicos.

Conclusão

A distribuição de Maxwell-Boltzmann se apresenta como um pilar fundamental em nossa compreensão da dinâmica e das propriedades dos gases. Sua capacidade de fornecer insights detalhados sobre o movimento e a energia molecular serve como uma ferramenta vital nos campos da física acadêmica e aplicada. Ao caracterizar efetivamente o comportamento cinético das partículas de gás, ela estabelece uma forte conexão entre o movimento microscópico das partículas e as propriedades macroscópicas observáveis, impulsionando nossa extensa exploração dos princípios termodinâmicos e da mecânica estatística.


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