博士号
  1. 古典力学  1.1. ニュートン力学  1.1.1. ニュートン力学における運動の法則  1.1.2. 粒子とシステムの力学  1.1.3. 保存則  1.1.4. Central force motion  1.2. ラグランジュ力学  1.2.1. 最小作用の原理  1.2.2. オイラー・ラグランジュ方程式  1.2.3. 拘束条件と正規化座標  1.2.4. ネーターの定理  1.3. ハミルトン力学  1.3.1. ハミルトンの方程式  1.3.2. 正準変換  1.3.3. ポアソン括弧  1.3.4. 作用-角変数  1.4. 剛体の運動  1.4.1. 剛体の回転  1.4.2. 慣性モーメントテンソル  1.4.3. 剛体力学におけるオイラーの方程式  1.4.4. ジャイロスコープ運動  1.5. カオスと非線形ダイナミクス  1.5.1. ステージスペースと魅力的  1.5.2. 分岐とカオス理論  1.5.3. ハミルトンカオス  1.5.4. リャプノフ指数
  2. 電磁力学  2.1. マクスウェルの方程式  2.1.1. 電気に対するガウスの法則  2.1.2. 磁気に関するガウスの法則  2.1.3. ファラデーの法則  2.1.4. アンペールの法則  2.1.5. マクスウェルの方程式における境界条件  2.2. 電磁波  2.2.1. 波動方程式  2.2.2. 偏光  2.2.3. 反射と屈折  2.2.4. 導波路と共振器  2.3. 特殊相対性理論  2.3.1. ローレンツ変換  2.3.2. 相対論的エネルギーと運動量  2.3.3. 相対論的電気力学  2.3.4. ミンコフスキー時空  2.4. 放射と散乱  2.4.1. 双極子放射  2.4.2. 多極展開  2.4.3. コンプトン散乱  2.4.4. トムソン散乱とレイリー散乱  2.5. プラズマ物理学  2.5.1. デバイ遮蔽  2.5.2. 磁気流体力学  2.5.3. プラズマの不安定性  2.5.4. 融合プラズマ
  3. 量子力学  3.1. 量子力学の基礎  3.1.1. 量子力学の原理  3.1.2. 波動関数と確率解釈  3.1.3. 不確定性原理  3.1.4. 量子トンネル効果  3.2. シュレディンガー方程式  3.2.1. 時間依存シュレーディンガー方程式  3.2.2. 時間に依存しないシュレーディンガー方程式  3.2.3. シュレーディンガー方程式における固有値と固有関数  3.2.4. 量子力学における経路積分  3.3. 量子演算子  3.3.1. 交換子と観測可能量  3.3.2. 角運動量演算子  3.3.3. ラダー演算子  3.3.4. パウリ行列  3.4. 量子もつれと測定  3.4.1. ベルの定理  3.4.2. 量子テレポーテーション  3.4.3. 量子もつれと測定における量子デコヒーレンス  3.4.4. 量子力学における量子もつれと測定  3.5. 相対論的量子力学  3.5.1. Klein–Gordon 方程式  3.5.2. ディラック方程式  3.5.3. 量子場理論  3.5.4. ファインマン経路積分
  4. 統計力学と熱力学  4.1. 古典熱力学  4.1.1. 熱力学の法則  4.1.2. カルノーサイクル  4.1.3. エントロピーと自由エネルギー  4.1.4. 熱力学効率  4.2. 気体の分子運動論  4.2.1. マクスウェル・ボルツマン分布  4.2.2. 輸送現象  4.2.3. 平均自由行程  4.2.4. 気体の運動論における非平衡系  4.3. 統計力学  4.3.1. ミクロな状態とマクロな状態  4.3.2. 分配関数  4.3.3. ボース＝アインシュタイン統計とフェルミ＝ディラック統計  4.3.4. 変動と相関  4.4. 相転移  4.4.1. 重要なイベント  4.4.2. ランドウ理論  4.4.3. イジングモデル  4.4.4. 繰り込み群理論
  5. 量子場理論  5.1. 二次量子化  5.1.1. 第二量子化における量子調和振動子  5.1.2. 第二量子化における生成および消滅演算子  5.1.3. 第2量子化における経路積分  5.1.4. フォック空間  5.2. 量子電磁力学  5.2.1. ファインマン・ダイアグラム  5.2.2. 量子電磁力学におけるくりこみ  5.2.3. 量子電気力学におけるゲージ不変性  5.2.4. 真空分極  5.3. 量子色力学  5.3.1. クォークとグルーオン  5.3.2. カラーレンジ  5.3.3. 格子QCD  5.3.4. 漸近的自由  5.4. 素粒子物理学の標準模型  5.4.1. 電弱理論  5.4.2. ヒッグス機構  5.4.4. 大統一理論
  6. 一般相対性理論と重力  6.1. アインシュタインの場の方程式  6.1.1. リッチテンソルとスカラー曲率  6.1.2. シュヴァルツシルト解  6.1.3. Kerr metric  6.1.4. 重力波  6.2. 宇宙論  6.2.1. フリードマン方程式  6.2.2. 宇宙インフレーション  6.2.3. ダークマターとダークエネルギー  6.2.4. 大規模構造  6.3. ブラックホールとワームホール  6.3.1. ブラックホールとワームホールの事象の地平線  6.3.2. ホーキング放射  6.3.3. ペンローズ・プロセス  6.3.4. ブラックホールとワームホールにおける情報パラドックス
  7. 凝縮系物理学  7.1. 結晶構造と格子  7.1.1. ブラベ格子  7.1.2. 結晶構造と格子におけるバンド理論  7.1.3. Phonons in crystal structure and lattice  7.1.4. ブロッホの定理  7.2. 超伝導  7.2.1. BCS原理  7.2.2. マイスナー効果  7.2.3. 高温超伝導体  7.2.4. ジョセフソン効果

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統計力学と熱力学


統計力学と熱力学は、粒子の大量の集合を含むシステムの挙動を扱う物理学の分野です。熱力学は古くからある理論で、巨視的なシステムを扱い、統計力学は熱力学を微視的に説明します。

導入

これらの二つの物理学の基本的な考えを理解しましょう。熱力学は温度、圧力、体積といった巨視的な量を扱います。エネルギーの移動、自然過程の方向、およびエントロピーの概念を記述する法則を提供します。これに対して、統計力学はこれらの巨視的現象を原子・分子レベルの概念で詳しく説明します。

熱力学の基本概念

熱力学第一法則

熱力学第一法則は、エネルギーは創造も破壊もされず、形を変えるだけであると述べています。これはエネルギー保存の法則としてよく示されます。閉じたシステムでは、内部エネルギーの変化はシステムに加えられた熱からシステムが行った仕事を引いたものです:

ΔU = Q - W

ここで、ΔUは内部エネルギーの変化、Qは加えられた熱、Wはシステムが行った仕事です。

熱力学第二法則

第二法則は、無秩序やランダム性の測定であるエントロピーの概念を導入します。孤立したシステムの総エントロピーは時間とともに決して減少しないと述べています。この法則は、なぜプロセスが特定の方向を持つのか、たとえばなぜ熱が高温から低温に流れるのかを説明します:

ΔS ≥ 0

ここで、ΔSはエントロピーの変化です。

熱力学第三法則

第三法則は、システムの温度が絶対零度に近づくにつれて、エントロピーも最小値に近づくと述べています。これにより、有限のステップで絶対零度に到達することは不可能であることを意味します:

lim (T → 0) S = S_0

ここで、S_0は絶対零度でのエントロピーです。

視覚的例：理想気体の法則

P V = nRT

理想気体の法則は、仮想的な理想気体の状態方程式です。気体の圧力 (P)、体積 (V) および温度 (T) の関係を確立し、次のように表現されます:

PV = nRT

ここで、nはモル数、Rは理想気体定数です。

統計力学の導入

統計力学は、確率を用いて粒子の集合的挙動を記述することで、微視的アプローチと巨視的アプローチの橋渡しをします。これは、巨視的なシステム内のすべての粒子を追跡することは実際には不可能であるため、重要です。

微視的状態と巨視的状態

微視的状態と巨視的状態を定義しましょう。微視的状態とは、システム内のすべての粒子の特定の構成を指します。これに対し、巨視的状態は各粒子の状態を指定するのではなく、全エネルギーや体積などの巨視的変数でシステムを特徴付けます。

例：理想気体と微視的状態

気体分子を含む容器を考えます。微視的状態は、ある時刻の各分子の位置と速度を定義します。しかし、巨視的状態は、気体の全圧力、体積、温度だけを教えてくれます。

確率と統計分布

確率分布は、統計力学において重要な役割を果たします。システムが特定の巨視的状態にある確率を、その微視的状態に基づいて計算することができます。

通常の分布には以下が含まれます:

  • ボルツマン分布：エネルギー状態の分布を決定します。
  • フェルミ・ディラック分布およびボース・アインシュタイン分布：量子粒子に適用されます。

ボルツマン分布

ボルツマン分布は、特定のエネルギー状態にある確率を示します。ここで、E_iは状態のエネルギー、kはボルツマン定数です:

P(E_i) = (1/Z) * e^(-E_i/kT)

ここで、Zは分配関数です。

視覚的例：エネルギー準位

E_1 E_2 ボルツマン分布

上の図は、ボルツマン分布によって定義されるさまざまなエネルギー状態が存在するシステム内の異なるエネルギーレベルを示しています。

エントロピーと統計力学

統計力学において、エントロピーは微視的レベルでの無秩序の定量的な測度です。それは、利用可能な微視的状態（W）の数に関連しています:

S = k * ln(W)

ここで、Sはエントロピーであり、kはボルツマン定数です。

例：エントロピーの計算

4つの微視的状態を持つ単純なシステムの場合、エントロピーは次のように計算されます:

S = k * ln(4)

これは、システムの微視的レベルでの混沌や予測不可能性の定量的な測定結果です。

熱力学と統計力学の関係

統計力学は、熱力学を説明するだけでなく、相転移や臨界現象のような現象を非常に高い精度で予測します。それは、微視的相互作用を巨視的な特性に結び付けることで、物質の特性を理解する基礎を提供します。

例：巨視的特性の取得

気体の圧力を考えましょう。統計力学では、圧力は、気体分子が容器の壁に衝突して運動量を伝達することの尺度として得られます。これらの微視的な相互作用から、圧力として知られる巨視的な特性が生じます。

応用と意義

この原理は、物理学、化学、材料科学などのさまざまな分野で基本的なものです。また、以下のような複雑なシステムを説明するのに役立ちます:

  • 融解や沸騰のような相転移。
  • 熱サイクルおよびエンジン。
  • 量子系の挙動。

結論

統計力学と熱力学は、複雑ですが魅力的な物理学の分野です。微視的および巨視的な視点を採用することで、これらの分野は自然界について深い洞察を提供し、エネルギー、物質、運動の間の美しい調和を強調します。


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