Квантовый гармонический осциллятор во втором квантовании

Квантовый гармонический осциллятор — это фундаментальная концепция квантовой механики, играющая ключевую роль в различных областях физики. В контексте квантовой теории поля гармонический осциллятор понимается с помощью языка второго квантования, который предоставляет богатую основу для работы с квантовыми полями. Здесь мы исследуем эту концепцию, углубляясь в ее формулировку, последствия и иллюстрацию.

Введение в гармонический осциллятор

Квантовый гармонический осциллятор — это система, в которой частица испытывает восстанавливающую силу, пропорциональную ее отклонению от равновесия. Это похоже на массу на пружине в классической механике. Потенциальная энергия гармонического осциллятора выражается как:

V(x) = 0.5 * m * ω^2 * x^2

где m — масса осциллятора, ω — угловая частота, а x — его положение.

Квантовая версия этой системы требует решения уравнения Шрёдингера, получая набор дискретных энергетических уровней:

E_n = (n + 0.5) * ħ * ω

где n — неотрицательное целое число, а ħ — приведенная постоянная Планка.

Второе квантование

Второе квантование — это мощная теоретическая основа, расширяющая квантовую механику на системы с переменным числом частиц. Вместо того чтобы сосредотачиваться на отдельных частицах, второе квантование описывает поля и их возбуждения.

В контексте гармонического осциллятора второе квантование вводит концепцию операторов рождения и уничтожения, обозначаемых a† (рождение) и a (уничтожение). Эти операторы позволяют лаконично выразить квантовое состояние осциллятора.

Формализм операторов

Операторы рождения и уничтожения удовлетворяют бозонным соотношениям обмена:

[a, a†] = a * a† - a† * a = 1

Эти операторы выполняют разные роли:

• Оператор рождения a† : увеличивает квантовое число n состояния на единицу и добавляет к полю возбуждение или "квант".
• Оператор уничтожения уменьшает a : n, вызывая уменьшение возбуждения на единицу.

Действие этих операторов показано следующим образом:

a†|n⟩ = √(n + 1) |n + 1⟩ a|n⟩ = √n |n - 1⟩

где |n⟩ обозначает состояние с n квантами.

Гамильтониан во втором квантовании

Гамильтониан гармонического осциллятора можно выразить с использованием этих операторов:

H = ħω(a†a + 0.5)

Это представление охватывает весь спектр энергетических состояний без необходимости явного решения уравнения Шрёдингера каждый раз. Первый член, a†a, указывает на оператор числа N, который считает количество квантов в данном состоянии.

Визуализация квантового гармонического осциллятора

Визуальные примеры важны для понимания квантовых концепций. Рассмотрим следующую иллюстрацию энергетических уровней и переходов, вызванных операторами:

Вышеуказанный график показывает переходы между квантовыми состояниями, которые облегчаются операторами рождения и уничтожения. Стрелки представляют действие этих операторов.

Концептуальная иллюстрация

Рассмотрим упрощенный сценарий, использующий только первые несколько квантовых состояний:

• Основное состояние |0⟩ представляет осциллятор без возбуждения.
• Первое возбужденное состояние |1⟩ представляет сумму одного кванта.
• Применение a† к |0⟩ дает |1⟩.
• Наоборот, применение a к |1⟩ дает |0⟩.

Эта последовательность операций иллюстрирует дискретный характер системы, где происходят скачкообразные переходы между состояниями благодаря действиям операторов.

Квантованное представление полей

Переход ко второму квантованию позволяет моделировать системы, в которых частицы могут создаваться или уничтожаться, такие как квантовые поля. Квантовый гармонический осциллятор служит основой для свободных полей, которые демонстрируют непрерывность гармонического осциллятора в каждой точке пространства.

Поле ψ(x) выражается как сумма волновых функций:

ψ(x) = Σ (a_k e^ikx + a†_k e^-ikx)

Это выражение заменяет классические волновые уравнения, предоставляя возможность описания, включающего любое временное количество полевых квантов или "частиц".

Применение в квантовой теории поля

Простота и универсальность модели квантового гармонического осциллятора делают ее неотъемлемой частью квантовой теории поля:

• Анализ сложных систем, таких как молекулы и твердые тела, где частицы проявляют периодическое движение.
• Понимание термодинамики, таких как квантованные колебания решетки в кристаллах (фононы).
• Описание электромагнитных полей с использованием структуры квантов (фотоны).
• Исследование элементарных частиц и возбуждений в рамках различных квантовых теорий поля.

Заключение

Квантовый гармонический осциллятор во втором квантовании служит элементарной, но глубокой моделью в разных физических сценариях. Переходя от подхода, ориентированного на частицы, к подходу, основанному на полях и операторах, структура квантовой механики находит более широкое применение и понимание. Понимание этой концепции предоставляет ученым ценные перспективы как в фундаментальных теориях, так и в прикладной физике.

Комментарии