Doctorado
  1. Classical mechanics  1.1. Mecánica newtoniana  1.1.1. Leyes del movimiento en la mecánica newtoniana  1.1.2. Dinámica de partículas y sistemas  1.1.3. Leyes de conservación  1.1.4. Movimiento de fuerza central  1.2. Mecánica lagrangiana  1.2.1. Principio de acción mínima  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. Restricciones y coordenadas normalizadas  1.2.4. Teorema de Noether  1.3. Hamiltonian mechanics  1.3.1. Ecuaciones de Hamilton  1.3.2. Conversión canónica  1.3.3. Corchete de Poisson  1.3.4. Variable de acción-ángulo  1.4. Movilidad del cuerpo rígido  1.4.1. Rotación de cuerpos rígidos  1.4.2. Tensor de momento de inercia  1.4.3. Ecuaciones de Euler en la dinámica de cuerpos rígidos  1.4.4. Movimiento giroscópico  1.5. Caos y dinámica no lineal  1.5.1. Espacio de fase y atractivo  1.5.2. Teoría de bifurcación y caos  1.5.3. Caos Hamiltoniano  1.5.4. Exponente de Lyapunov
  2. Electrodinámica  2.1. Las ecuaciones de Maxwell  2.1.1. La ley de Gauss para la electricidad  2.1.2. La ley de Gauss para el magnetismo  2.1.3. La ley de Faraday  2.1.4. La Ley de Ampère  2.1.5. Condiciones de frontera en las ecuaciones de Maxwell  2.2. Ondas electromagnéticas  2.2.1. Ecuación de onda  2.2.2. Polarización  2.2.3. Reflexión y Refracción  2.2.4. Guías de onda y resonadores  2.3. Relatividad especial  2.3.1. Transformaciones de Lorentz  2.3.2. Energía y momento relativista  2.3.3. Electrodinámica relativista  2.3.4. Espaciotiempo de Minkowski  2.4. Radiación y dispersión  2.4.1. Radiación de dipolo  2.4.2. Expansión multipolar  2.4.3. Dispersión de Compton  2.4.4. Dispersión de Thomson y Rayleigh  2.5. Física de Plasma  2.5.1. Pantalla de Debye  2.5.2. Magnetohidrodinámica  2.5.3. Inestabilidad del plasma  2.5.4. Plasma de Fusión
  3. Mecánica cuántica  3.1. Fundamentos de la mecánica cuántica  3.1.1. Principios de la mecánica cuántica  3.1.2. Función de onda e interpretación de la probabilidad  3.1.3. Principio de incertidumbre  3.1.4. Efecto túnel cuántico  3.2. Ecuación de Schrödinger  3.2.1. Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo  3.2.2. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo  3.2.3. Valores propios y funciones propias en la ecuación de Schrödinger  3.2.4. Integrales de caminos en mecánica cuántica  3.3. Operadores cuánticos  3.3.1. Conmutadores y observables  3.3.2. Operador de momento angular  3.3.3. Operador Escalera  3.3.4. Matrices de Pauli  3.4. Entrecruzamiento cuántico y medición  3.4.1. Teorema de Bell  3.4.2. Teletransportación Cuántica  3.4.3. Enredo cuántico y decoherencia cuántica en la medición  3.4.4. Entrelazamiento cuántico y medición en mecánica cuántica  3.5. Mecánica cuántica relativista  3.5.1. Ecuación de Klein–Gordon  3.5.2. Ecuación de Dirac  3.5.3. Teoría cuántica de campos  3.5.4. Integral de camino de Feynman
  4. Mecánica estadística y termodinámica  4.1. Termodinámica clásica  4.1.1. Leyes de la Termodinámica  4.1.2. Ciclo de Carnot  4.1.3. Entropía y energía libre  4.1.4. Eficiencia termodinámica  4.2. Teoría cinética de los gases  4.2.1. Distribución de Maxwell-Boltzmann  4.2.2. Fenómeno de transporte  4.2.3. Camino libre medio  4.2.4. Sistemas no equilibrados en la teoría cinética de gases  4.3. Mecánica estadística  4.3.1. Microestados y Macroestados  4.3.2. Función de partición  4.3.3. Estadísticas de Bose–Einstein y Fermi–Dirac  4.3.4. Fluctuaciones y correlaciones  4.4. Transición de fase  4.4.1. Eventos importantes  4.4.2. Teoría de Landau  4.4.3. Modelo de Ising  4.4.4. Teoría del grupo de renormalización
  5. Teoría cuántica de campos  5.1. Segunda Cuantización  5.1.1. Oscilador armónico cuántico en segunda cuantización  5.1.2. Operadores de creación y aniquilación en segunda cuantización  5.1.3. Integral de Camino en la Segunda Cuantización  5.1.4. Espacio de Fock  5.2. Electrodinámica Cuántica  5.2.1. Feynman diagrams  5.2.2. Renormalización en electrodinámica cuántica  5.2.3. Invariancia de calibre en electrodinámica cuántica  5.2.4. Polarización del vacío  5.3. Cromodinámica Cuántica  5.3.1. Quarks y gluones  5.3.2. Rango de colores  5.3.3. Lattice QCD  5.3.4. Libertad asintótica  5.4. Modelo estándar de la física de partículas  5.4.1. Teoría electrodébil  5.4.2. Mecanismo de Higgs  5.4.4. Teorías de Gran Unificación
  6. Relatividad general y gravedad  6.1. Ecuaciones de campo de Einstein  6.1.1. Tensor de Ricci y curvatura escalar  6.1.2. Solución de Schwarzschild  6.1.3. Métrica de Kerr  6.1.4. Ondas gravitacionales  6.2. Cosmología  6.2.1. Ecuación de Friedmann  6.2.2. Inflación cósmica  6.2.3. Materia oscura y energía oscura  6.2.4. Estructura a gran escala  6.3. Agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.1. Horizonte de sucesos en agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.2. Radiación de Hawking  6.3.3. Proceso de Penrose  6.3.4. Paradoja de la información en agujeros negros y agujeros de gusano
  7. Física de la materia condensada  7.1. Estructura cristalina y red  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Teoría de bandas en estructuras y redes cristalinas  7.1.3. Fonones en la estructura cristalina y la red  7.1.4. Teorema de Bloch  7.2. Superconductividad  7.2.1. Principio BCS  7.2.2. Efecto Meissner  7.2.3. Superconductor de Alta Temperatura  7.2.4. Efecto Josephson

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Integral de Camino en la Segunda Cuantización


Las integrales de camino en la segunda cuantización ofrecen un poderoso marco para entender las teorías cuánticas de campos. Estas integrales ayudan a los físicos a modelar la dinámica de los campos cuánticos usando un enfoque matemático que difiere de las funciones de onda tradicionales. En lugar de centrarse en estados de partículas, las integrales de camino enfatizan los campos: entidades continuas que llenan el espacio, que pueden oscilar e interactuar.

Introducción a las integrales de camino

A un nivel alto, la integración de camino es una forma de manejar sistemas dinámicos cuánticos que integra sobre todos los caminos posibles que un sistema puede tomar entre dos estados. Este método considera todas las historias posibles de un sistema. Richard Feynman introdujo este formalismo, que conecta hermosamente la mecánica cuántica con la mecánica clásica.

¿Qué es la integral de camino?

En su forma más simple, considere una partícula viajando de un punto a otro. La integral de camino es la suma de todas las trayectorias posibles que la partícula puede seguir desde su punto de partida hasta su punto de llegada. Cada trayectoria está ponderada por un factor exponencial asociado con la acción clásica determinada por ese camino:

      ∫ D[x(t)] E (i⁄ℏ)S[x(t)]

donde D[x(t)] denota la suma sobre todos los caminos x(t), y S[x(t)] es la acción clásica.

Un ejemplo en una dimensión

Imaginemos una partícula moviéndose de un lado a otro en una línea unidimensional entre dos puntos, a y b. El camino clásico es una línea recta entre estos puntos. Las integrales de camino nos piden considerar no solo este camino en línea recta, sino también cualquier camino zigzagueante o irregular. Matemáticamente, esto se expresa como:

      ∫ D[x(t)] E (i⁄ℏ)S[x(t)]

donde cada camino contribuye al total, dándonos la amplitud de probabilidad para que la partícula viaje de a a b.

Marco de la segunda cuantización

La segunda cuantización es una extensión de la mecánica cuántica diseñada para manejar sistemas de muchos cuerpos, como electrones en un átomo o moléculas en un sistema de materia condensada. La idea es cuantizar campos en lugar de partículas. Este enfoque cambia el enfoque de las partículas, que son entidades discretas, a los campos que actúan continuamente en el espacio y el tiempo.

¿Por qué usar la segunda cuantización?

La segunda cuantización es especialmente útil en escenarios que involucran partículas indistinguibles, como bosones o fermiones. Este formalismo maneja operadores de creación y aniquilación, que representan la adición o eliminación de partículas de ciertos estados.

Territorios como bienes fundamentales

En la segunda cuantización, los campos se convierten en las unidades fundamentales. Los campos cuánticos pueden crear o aniquilar partículas a través de operadores. Por ejemplo, el operador de creación agrega una partícula a un estado, mientras que el operador de aniquilación elimina una partícula.

Ejemplo: oscilador armónico simple

La teoría cuántica de campos del oscilador armónico en la segunda cuantización involucra operadores que actúan sobre campos donde los estados se describen mediante niveles de energía cuantizados.

      |n⟩ = (a † ) n / √(n!) |0⟩

El operador de creación a † mueve el sistema a un nivel de energía más alto, mientras que a, el operador de aniquilación, baja el nivel de energía.

Puentear la integración de camino y la segunda cuantización

Las integrales de camino en la segunda cuantización permiten una descripción elegante de los campos cuánticos. En términos simples, considere un campo escalar ϕ(x):

      S[ϕ] = ∫ d d x dt L(ϕ, ∂ μ ϕ)

donde L es la densidad lagrangiana. La integral de camino es ahora sobre ϕ(x) en lugar de sobre el camino simple x(t):

      ∫ D[ϕ(x)] e (i⁄ℏ)S[ϕ(x)]

Integral de camino de campo

La integral de camino de campo suma sobre todas las configuraciones del campo en el espacio-tiempo. En lugar de integrar sobre los caminos de una partícula, integramos sobre todas las configuraciones de campo posibles en cada punto.

X

Aplicaciones en la teoría cuántica de campos

Las integrales de camino en la segunda cuantización proporcionan importantes perspectivas sobre sistemas complejos en la teoría cuántica de campos.

Área interactiva

Las integrales de camino pueden modelar interacciones entre campos, lo cual es importante en la física de partículas. Considere dos campos escalares interactuantes, ϕ y χ:

      L(ϕ,χ) = 0.5(∂ μ ϕ)^2 + 0.5m 2 ϕ 2 + 0.5(∂ μ χ)^2 + 0.5M 2 χ 2 + gϕ 2 χ

El término de acoplamiento gϕ 2 χ representa cómo interactúan los campos ϕ y χ, lo cual se calcula mediante una integral de camino sobre los dos campos.

Renormalización

En la teoría cuántica de campos, a menudo encontramos infinitos que las integrales de camino ayudan a manejar a través de la renormalización. Las integrales de camino nos permiten sumar sistemáticamente sobre fluctuaciones en el campo, proporcionando un marco para manejar estos infinitos.

Ejemplo: electrodinámica cuántica (QED)

En QED, el formalismo de la integral de camino nos permite calcular interacciones que involucran electrones y fotones. El proceso de renormalización ayuda a abordar los infinitos que surgen de diagramas de bucle que representan partículas virtuales en diagramas de Feynman.

Conclusión

Las integrales de camino en la segunda cuantización amplían nuestra capacidad para modelar sistemas cuánticos complejos. Al integrar sobre todas las configuraciones de campo posibles, proporcionan una profunda comprensión del comportamiento de los campos cuánticos y las interacciones. Este formalismo es la piedra angular de la teoría cuántica de campos moderna, que subyace gran parte de nuestra comprensión en áreas como la física de partículas y los sistemas de materia condensada.


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