Doctorado
  1. Classical mechanics  1.1. Mecánica newtoniana  1.1.1. Leyes del movimiento en la mecánica newtoniana  1.1.2. Dinámica de partículas y sistemas  1.1.3. Leyes de conservación  1.1.4. Movimiento de fuerza central  1.2. Mecánica lagrangiana  1.2.1. Principio de acción mínima  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. Restricciones y coordenadas normalizadas  1.2.4. Teorema de Noether  1.3. Hamiltonian mechanics  1.3.1. Ecuaciones de Hamilton  1.3.2. Conversión canónica  1.3.3. Corchete de Poisson  1.3.4. Variable de acción-ángulo  1.4. Movilidad del cuerpo rígido  1.4.1. Rotación de cuerpos rígidos  1.4.2. Tensor de momento de inercia  1.4.3. Ecuaciones de Euler en la dinámica de cuerpos rígidos  1.4.4. Movimiento giroscópico  1.5. Caos y dinámica no lineal  1.5.1. Espacio de fase y atractivo  1.5.2. Teoría de bifurcación y caos  1.5.3. Caos Hamiltoniano  1.5.4. Exponente de Lyapunov
  2. Electrodinámica  2.1. Las ecuaciones de Maxwell  2.1.1. La ley de Gauss para la electricidad  2.1.2. La ley de Gauss para el magnetismo  2.1.3. La ley de Faraday  2.1.4. La Ley de Ampère  2.1.5. Condiciones de frontera en las ecuaciones de Maxwell  2.2. Ondas electromagnéticas  2.2.1. Ecuación de onda  2.2.2. Polarización  2.2.3. Reflexión y Refracción  2.2.4. Guías de onda y resonadores  2.3. Relatividad especial  2.3.1. Transformaciones de Lorentz  2.3.2. Energía y momento relativista  2.3.3. Electrodinámica relativista  2.3.4. Espaciotiempo de Minkowski  2.4. Radiación y dispersión  2.4.1. Radiación de dipolo  2.4.2. Expansión multipolar  2.4.3. Dispersión de Compton  2.4.4. Dispersión de Thomson y Rayleigh  2.5. Física de Plasma  2.5.1. Pantalla de Debye  2.5.2. Magnetohidrodinámica  2.5.3. Inestabilidad del plasma  2.5.4. Plasma de Fusión
  3. Mecánica cuántica  3.1. Fundamentos de la mecánica cuántica  3.1.1. Principios de la mecánica cuántica  3.1.2. Función de onda e interpretación de la probabilidad  3.1.3. Principio de incertidumbre  3.1.4. Efecto túnel cuántico  3.2. Ecuación de Schrödinger  3.2.1. Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo  3.2.2. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo  3.2.3. Valores propios y funciones propias en la ecuación de Schrödinger  3.2.4. Integrales de caminos en mecánica cuántica  3.3. Operadores cuánticos  3.3.1. Conmutadores y observables  3.3.2. Operador de momento angular  3.3.3. Operador Escalera  3.3.4. Matrices de Pauli  3.4. Entrecruzamiento cuántico y medición  3.4.1. Teorema de Bell  3.4.2. Teletransportación Cuántica  3.4.3. Enredo cuántico y decoherencia cuántica en la medición  3.4.4. Entrelazamiento cuántico y medición en mecánica cuántica  3.5. Mecánica cuántica relativista  3.5.1. Ecuación de Klein–Gordon  3.5.2. Ecuación de Dirac  3.5.3. Teoría cuántica de campos  3.5.4. Integral de camino de Feynman
  4. Mecánica estadística y termodinámica  4.1. Termodinámica clásica  4.1.1. Leyes de la Termodinámica  4.1.2. Ciclo de Carnot  4.1.3. Entropía y energía libre  4.1.4. Eficiencia termodinámica  4.2. Teoría cinética de los gases  4.2.1. Distribución de Maxwell-Boltzmann  4.2.2. Fenómeno de transporte  4.2.3. Camino libre medio  4.2.4. Sistemas no equilibrados en la teoría cinética de gases  4.3. Mecánica estadística  4.3.1. Microestados y Macroestados  4.3.2. Función de partición  4.3.3. Estadísticas de Bose–Einstein y Fermi–Dirac  4.3.4. Fluctuaciones y correlaciones  4.4. Transición de fase  4.4.1. Eventos importantes  4.4.2. Teoría de Landau  4.4.3. Modelo de Ising  4.4.4. Teoría del grupo de renormalización
  5. Teoría cuántica de campos  5.1. Segunda Cuantización  5.1.1. Oscilador armónico cuántico en segunda cuantización  5.1.2. Operadores de creación y aniquilación en segunda cuantización  5.1.3. Integral de Camino en la Segunda Cuantización  5.1.4. Espacio de Fock  5.2. Electrodinámica Cuántica  5.2.1. Feynman diagrams  5.2.2. Renormalización en electrodinámica cuántica  5.2.3. Invariancia de calibre en electrodinámica cuántica  5.2.4. Polarización del vacío  5.3. Cromodinámica Cuántica  5.3.1. Quarks y gluones  5.3.2. Rango de colores  5.3.3. Lattice QCD  5.3.4. Libertad asintótica  5.4. Modelo estándar de la física de partículas  5.4.1. Teoría electrodébil  5.4.2. Mecanismo de Higgs  5.4.4. Teorías de Gran Unificación
  6. Relatividad general y gravedad  6.1. Ecuaciones de campo de Einstein  6.1.1. Tensor de Ricci y curvatura escalar  6.1.2. Solución de Schwarzschild  6.1.3. Métrica de Kerr  6.1.4. Ondas gravitacionales  6.2. Cosmología  6.2.1. Ecuación de Friedmann  6.2.2. Inflación cósmica  6.2.3. Materia oscura y energía oscura  6.2.4. Estructura a gran escala  6.3. Agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.1. Horizonte de sucesos en agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.2. Radiación de Hawking  6.3.3. Proceso de Penrose  6.3.4. Paradoja de la información en agujeros negros y agujeros de gusano
  7. Física de la materia condensada  7.1. Estructura cristalina y red  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Teoría de bandas en estructuras y redes cristalinas  7.1.3. Fonones en la estructura cristalina y la red  7.1.4. Teorema de Bloch  7.2. Superconductividad  7.2.1. Principio BCS  7.2.2. Efecto Meissner  7.2.3. Superconductor de Alta Temperatura  7.2.4. Efecto Josephson

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Espacio de Fock


El espacio de Fock es una estructura matemática esencial en la teoría cuántica de campos, a menudo utilizada en otros marcos de cuantización. Nos permite describir sistemas con diferentes números de partículas de manera consistente. Esta función hace que el espacio de Fock sea particularmente valioso para discutir partículas en campos cuánticos, donde la esencia del sistema es la creación y aniquilación de partículas.

Introducción a la segunda cuantización

La segunda cuantización es un formalismo poderoso utilizado en la teoría cuántica de campos que trata los campos como objetos fundamentales en lugar de partículas individuales. A diferencia de la primera cuantización, donde las partículas se tratan como entidades individuales, la segunda cuantización incorpora la creación y aniquilación de partículas, haciéndola adecuada para tratar con sistemas donde el número de partículas no se conserva.

Base conceptual del espacio de Fock

En mecánica cuántica, cuando tratamos con un número fijo de partículas, generalmente trabajamos dentro de un espacio de Hilbert. Cada partícula se describe mediante una función de onda en este espacio. Sin embargo, en sistemas como los campos cuánticos donde el número de partículas puede fluctuar, se necesita un enfoque diferente. El espacio de Fock proporciona el marco para acomodar esta variabilidad.

Formalmente, el espacio de Fock se construye a partir del espacio de Hilbert subyacente de una sola partícula. Si denotamos el espacio de Hilbert de una sola partícula por H, entonces el espacio de Fock F se define como la suma directa de espacios de Hilbert de n partículas:

F = C ⊕ H ⊕ (H ⊗ H) ⊕ (H ⊗ H ⊗ H) ⊕ ...

Esta suma directa infinita incluye todos los posibles números de partículas: 0 partículas (vacío), 1 partícula, 2 partículas, y así sucesivamente. Cada término en la suma corresponde a un espacio de Hilbert para un número específico de partículas.

Componentes del espacio de Fock

El espacio de Fock puede imaginarse como teniendo varios niveles, cada uno representando un diferente número de partículas:

  • Estado de vacío: Este es el estado "vacío" que no contiene partículas, representado por |0⟩.
  • Estado de una partícula: Este nivel describe estados que contienen exactamente una partícula. Si φ es un estado en el espacio de una sola partícula, puede representarse en el espacio de Fock como |φ⟩.
  • Estado de dos partículas: Consiste en estados con dos partículas, que pueden expresarse como |φ₁, φ₂⟩, donde φ₁ y φ₂ pertenecen al espacio de una sola partícula.
  • Más generalmente, para n partículas, un estado específico se escribirá como |φ₁, φ₂, ..., φₙ⟩.

Operadores de creación y aniquilación

En el núcleo de la segunda cuantización están los operadores de creación y aniquilación. Estos operadores son responsables de añadir o quitar partículas de los estados en el espacio de Fock. Obedecen reglas algebraicas específicas que reflejan la simetría de las partículas en cuestión, ya sean bosónicas o fermiónicas.

Operador de creación

El operador de creación, usualmente denotado como a†, añade una partícula a un estado. Por ejemplo, partiendo del estado de vacío |0⟩, al aplicar el operador de creación se obtiene un estado de una sola partícula:

⟨a†|0⟩ = |1⟩

Operador de aniquilación

En contraste, el operador de aniquilación, denotado como a, elimina una partícula de un estado. Si no hay partículas ya en el estado, al aplicar el operador de aniquilación se obtiene cero:

a|0⟩ = 0

Para las operaciones que involucran más partículas, los operadores de creación y aniquilación están sujetos a relaciones de conmutación o anticonmutación. Para los bosones, que obedecen la estadística de Bose-Einstein, estas relaciones se expresan como relaciones de conmutación:

[A, A†] = Aa† – A†a = 1

Para los fermiones, que obedecen la estadística de Fermi-Dirac, obedecen la relación de anti-conmutación:

{a, a†} = aa† + a†a = 1

Visualización del espacio de Fock

Podemos observar la estructura del espacio de Fock utilizando diagramas. Considera la siguiente representación:

energía |0⟩ – vacío |1⟩ – 1 partícula |2⟩ – 2 partículas |3⟩ – 3 partículas

En este diagrama, cada línea representa un nivel diferente del espacio de Fock correspondiente a diferentes conteos de partículas. El estado base o estado de vacío se representa abajo, mientras que los estados de partículas más altos se muestran arriba, respectivamente.

Espacio de Fock y teoría cuántica de campos

El espacio de Fock es indispensable en la teoría cuántica de campos (QFT) porque permite una descripción precisa de los campos con números variables de partículas, lo cual es crucial para la interacción de partículas. En QFT, las partículas se consideran como excitaciones de campos subyacentes. Este marco ayuda a representar con precisión la interacción y evolución de partículas a lo largo del tiempo.

Por ejemplo, considera el campo de fotones en la electrodinámica cuántica (QED), que es parte de la QFT. Cuando abordamos estos sistemas, utilizamos el espacio de Fock para escenarios donde las partículas se crean o destruyen:

|n⟩ = (a†)ⁿ/√n! |0⟩

Aquí, |n⟩ denota el estado de n partículas construido a partir del estado de vacío |0⟩, que se utiliza comúnmente para describir fotones en QED.

Ejemplo de un estado de Fock en QFT

Supongamos que tenemos un sistema que consta de dos tipos diferentes de partículas, como electrones y fotones. El espacio de Fock para tal sistema es una mezcla de diferentes espacios de Fock para cada tipo de partícula:

F = F_electron ⊗ F_photon

Aquí, F_electron y F_photon denotan el espacio de Fock para electrones y fotones, respectivamente. Un estado típico en este sistema puede representarse como:

|n_e, n_p⟩

El vector |n_e, n_p⟩ representa un estado que consta de n_e electrones y n_p fotones.

Conclusión

El espacio de Fock es una construcción clave dentro de la teoría cuántica de campos y la segunda cuantización. Permite a los físicos describir sistemas con un número indeterminado de partículas, acomodando el concepto fundamental de campos cuánticos de creación y aniquilación de partículas. Al usar el espacio de Fock, obtenemos la flexibilidad necesaria para describir un universo dinámico lleno de interacciones impredecibles de partículas, profundizando así nuestra comprensión de los aspectos más profundos de la mecánica cuántica.


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