फॉक स्पेस

फॉक स्पेस क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में एक आवश्यक गणितीय संरचना है, जो अक्सर अन्य क्वांटीकरण रूपरेखाओं में उपयोग की जाती है। यह हमें विभिन्न कण संख्याओं वाली प्रणालियों का वर्णन करने की अनुमति देता है। यह कार्य क्षमता फॉक स्पेस को क्वांटम क्षेत्रों में कणों पर चर्चा करने के लिए विशेष रूप से मूल्यवान बनाती है, जहां प्रणाली का सार कणों का निर्माण और विनाश होता है।

द्वितीय क्वांटीकरण का परिचय

द्वितीय क्वांटीकरण क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में उपयोग की जाने वाली एक शक्तिशाली औपचारिकता है जो क्षेत्रों का मौलिक वस्तुओं के रूप में व्यवहार करती है न कि व्यक्तिगत कणों के रूप में। प्रथम क्वांटीकरण के विपरीत, जहां कणों का व्यक्तिगत संस्थाओं के रूप में व्यवहार किया जाता है, द्वितीय क्वांटीकरण कण निर्माण और विनाश को शामिल करता है, जिससे यह उन प्रणालियों के साथ निपटने के लिए उपयुक्त होता है जहां कणों की संख्या नहीं बचाई जाती है।

फॉक स्पेस का अवधारणात्मक आधार

क्वांटम यांत्रिकी में, जब हम कणों की एक निर्धारित संख्या के साथ काम करते हैं, तो हम आमतौर पर एक हिल्बर्ट स्पेस के भीतर काम करते हैं। प्रत्येक कण इस स्पेस में एक तरंग कार्य के रूप में वर्णित होता है। हालांकि, उन प्रणालियों में जैसे कि क्वांटम फील्ड्स जहां कणों की संख्या बदल सकती है, एक अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। फॉक स्पेस इस परिवर्तनशीलता को समायोजित करने के लिए रूपरेखा प्रदान करता है।

औपचारिक रूप से, फॉक स्पेस को अंतर्निहित एकल-कण हिल्बर्ट स्पेस से निर्मित किया जाता है। यदि हम एकल-कण हिल्बर्ट स्पेस को H से व्यक्त करते हैं, तो फॉक स्पेस F को n-कण हिल्बर्ट स्पेसों के प्रत्यक्ष योग के रूप में परिभाषित किया जाता है:

F = C ⊕ H ⊕ (H ⊗ H) ⊕ (H ⊗ H ⊗ H) ⊕ ...
    

यह अनंत प्रत्यक्ष योग सभी संभव कण संख्याओं को शामिल करता है: 0 कण (रिक्त), 1 कण, 2 कण, और इसी तरह। योग में प्रत्येक शब्द एक विशेष कण संख्या के लिए हिल्बर्ट स्पेस से मेल खाता है।

फॉक स्पेस के घटक

फॉक स्पेस को कई स्तरों के रूप में कल्पित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक अलग कण संख्या का प्रतिनिधित्व करता है:

• रिक्त अवस्था: यह "खाली" अवस्था है जिसमें कोई कण नहीं होता है, जो |0⟩ द्वारा प्रदर्शित होती है।
• एक-कण अवस्था: यह स्तर उन अवस्थाओं का वर्णन करता है जिनमें बिल्कुल एक कण होता है। यदि φ एकल-कण स्थान में एक अवस्था है, तो इसे फॉक स्पेस में |φ⟩ के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।
• दो-कण अवस्था: यह उन अवस्थाओं से बना होता है जिनमें दो कण होते हैं, जिन्हें |φ₁, φ₂⟩ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां φ₁ और φ₂ एकल-कण स्थान से संबंधित होते हैं।
• अधिक सामान्य रूप से, n कणों के लिए, एक विशिष्ट अवस्था को |φ₁, φ₂, ..., φₙ⟩ के रूप में लिखा जाएगा।

निर्माण और विनाश संचालक

द्वितीय क्वांटीकरण के केंद्र में निर्माण और विनाश संचालक होते हैं। ये संचालक फॉक स्पेस में अवस्थाओं से कणों को जोड़ने या हटाने के लिए जिम्मेदार होते हैं। ये उस कण के समरूपता को प्रतिबिंबित करने वाले विशिष्ट बीजीय नियमों का पालन करते हैं - चाहे वे बोसोनिक हों या फर्मोनिक।

निर्माण संचालक

निर्माण संचालक, आमतौर पर a† के रूप में दर्शाया जाता है, एक राज्य में एक कण जोड़ता है। उदाहरण के लिए, रिक्त अवस्था |0⟩ से शुरू करके, निर्माण संचालक लागू करने से एक-कण अवस्था उत्पन्न होती है:

⟨a†|0⟩ = |1⟩
    

विनाश संचालक

इसके विपरीत, विनाश संचालक, a के रूप में दर्शाया जाता है, एक राज्य से एक कण को हटाता है। यदि अवस्था में पहले से कोई कण नहीं है, तो विनाश संचालक लागू करने से शून्य उत्पन्न होता है:

a|0⟩ = 0
    

अधिक कणों से संबंधित कार्यों के लिए, निर्माण और विनाश संचालक समीकृति या विरोधी-समीकृति संबंधों के अधीन होते हैं। बोसोन के लिए, जो बोज-आइंस्टीन सांख्यिकी का पालन करते हैं, ये संबंध समीकृति संबंधों के रूप में व्यक्त होते हैं:

[A, A†] = Aa† – A†a = 1
    

फर्मोन के लिए, जो फर्मी-दिराक सांख्यिकी का पालन करते हैं, वे विरोधी-विनिमय संबंध का पालन करते हैं:

{a, a†} = aa† + a†a = 1
    

फॉक स्पेस का दृश्यचित्रण

हम आरेखों का उपयोग करके फॉक स्पेस की संरचना देख सकते हैं। निम्नलिखित प्रदर्शनी पर विचार करें:

इस आरेख में, प्रत्येक रेखा विभिन्न कण गणनाओं के अनुसार विभिन्न फॉक स्पेस स्तरों को दर्शाती है। आधार अवस्था या शून्य अवस्था को नीचे चित्रित किया गया है, जबकि उच्च कण अवस्थाओं को ऊपर दिखाया गया है।

फॉक स्पेस और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत

फॉक स्पेस क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (QFT) में अनिवार्य है क्योंकि यह विभिन्न कण संख्याओं के साथ क्षेत्रों का सटीक वर्णन सक्षम बनाता है, जो कणों की बातचीत के लिए महत्वपूर्ण है। QFT में, कणों को अंतर्निहित क्षेत्रों के उत्तेजनाओं के रूप में देखा जाता है। यह रूपरेखा कणों की बातचीत और विकास का समय के साथ सटीक वर्णन करने में मदद करती है।

उदाहरण के लिए, क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स (QED) के क्षेत्र में फोटोन, जो QFT का हिस्सा है, पर विचार करें। जब हम इन प्रणालियों को संबोधित करते हैं, तो हम उन परिस्थितियों के लिए फॉक स्पेस का उपयोग करते हैं जहां कणों का निर्माण या विनाश होता है:

|n⟩ = (a†)ⁿ/√n! |0⟩
    

यहां, |n⟩ n-कण अवस्था को दर्शाता है जो शून्य अवस्था |0⟩ से बना होता है, जिसे QED में फोटोन को वर्णित करने के लिए आमतौर पर उपयोग किया जाता है।

QFT में फॉक अवस्था का उदाहरण

F = F_electron ⊗ F_photon
        

|n_e, n_p⟩
        

निष्कर्ष

फॉक स्पेस क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और द्वितीय क्वांटीकरण के भीतर एक प्रमुख निर्माण है। यह भौतिकविदों को अनिश्चित कणों की संख्या वाली प्रणालियों का वर्णन करने की अनुमति देता है, कण निर्माण और विनाश की मौलिक क्वांटम क्षेत्र अवधारणा को समायोजित करता है। फॉक स्पेस का उपयोग करके, हम एक गतिशील ब्रह्मांड का वर्णन करने के लिए आवश्यक लचीलापन प्राप्त करते हैं, जो अप्रत्याशित कण इंटरैक्शन से भरा होता है, इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी के सबसे गहरे पहलुओं की हमारी समझ को गहरा करते हैं।

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