Doctorado
  1. Classical mechanics  1.1. Mecánica newtoniana  1.1.1. Leyes del movimiento en la mecánica newtoniana  1.1.2. Dinámica de partículas y sistemas  1.1.3. Leyes de conservación  1.1.4. Movimiento de fuerza central  1.2. Mecánica lagrangiana  1.2.1. Principio de acción mínima  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. Restricciones y coordenadas normalizadas  1.2.4. Teorema de Noether  1.3. Hamiltonian mechanics  1.3.1. Ecuaciones de Hamilton  1.3.2. Conversión canónica  1.3.3. Corchete de Poisson  1.3.4. Variable de acción-ángulo  1.4. Movilidad del cuerpo rígido  1.4.1. Rotación de cuerpos rígidos  1.4.2. Tensor de momento de inercia  1.4.3. Ecuaciones de Euler en la dinámica de cuerpos rígidos  1.4.4. Movimiento giroscópico  1.5. Caos y dinámica no lineal  1.5.1. Espacio de fase y atractivo  1.5.2. Teoría de bifurcación y caos  1.5.3. Caos Hamiltoniano  1.5.4. Exponente de Lyapunov
  2. Electrodinámica  2.1. Las ecuaciones de Maxwell  2.1.1. La ley de Gauss para la electricidad  2.1.2. La ley de Gauss para el magnetismo  2.1.3. La ley de Faraday  2.1.4. La Ley de Ampère  2.1.5. Condiciones de frontera en las ecuaciones de Maxwell  2.2. Ondas electromagnéticas  2.2.1. Ecuación de onda  2.2.2. Polarización  2.2.3. Reflexión y Refracción  2.2.4. Guías de onda y resonadores  2.3. Relatividad especial  2.3.1. Transformaciones de Lorentz  2.3.2. Energía y momento relativista  2.3.3. Electrodinámica relativista  2.3.4. Espaciotiempo de Minkowski  2.4. Radiación y dispersión  2.4.1. Radiación de dipolo  2.4.2. Expansión multipolar  2.4.3. Dispersión de Compton  2.4.4. Dispersión de Thomson y Rayleigh  2.5. Física de Plasma  2.5.1. Pantalla de Debye  2.5.2. Magnetohidrodinámica  2.5.3. Inestabilidad del plasma  2.5.4. Plasma de Fusión
  3. Mecánica cuántica  3.1. Fundamentos de la mecánica cuántica  3.1.1. Principios de la mecánica cuántica  3.1.2. Función de onda e interpretación de la probabilidad  3.1.3. Principio de incertidumbre  3.1.4. Efecto túnel cuántico  3.2. Ecuación de Schrödinger  3.2.1. Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo  3.2.2. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo  3.2.3. Valores propios y funciones propias en la ecuación de Schrödinger  3.2.4. Integrales de caminos en mecánica cuántica  3.3. Operadores cuánticos  3.3.1. Conmutadores y observables  3.3.2. Operador de momento angular  3.3.3. Operador Escalera  3.3.4. Matrices de Pauli  3.4. Entrecruzamiento cuántico y medición  3.4.1. Teorema de Bell  3.4.2. Teletransportación Cuántica  3.4.3. Enredo cuántico y decoherencia cuántica en la medición  3.4.4. Entrelazamiento cuántico y medición en mecánica cuántica  3.5. Mecánica cuántica relativista  3.5.1. Ecuación de Klein–Gordon  3.5.2. Ecuación de Dirac  3.5.3. Teoría cuántica de campos  3.5.4. Integral de camino de Feynman
  4. Mecánica estadística y termodinámica  4.1. Termodinámica clásica  4.1.1. Leyes de la Termodinámica  4.1.2. Ciclo de Carnot  4.1.3. Entropía y energía libre  4.1.4. Eficiencia termodinámica  4.2. Teoría cinética de los gases  4.2.1. Distribución de Maxwell-Boltzmann  4.2.2. Fenómeno de transporte  4.2.3. Camino libre medio  4.2.4. Sistemas no equilibrados en la teoría cinética de gases  4.3. Mecánica estadística  4.3.1. Microestados y Macroestados  4.3.2. Función de partición  4.3.3. Estadísticas de Bose–Einstein y Fermi–Dirac  4.3.4. Fluctuaciones y correlaciones  4.4. Transición de fase  4.4.1. Eventos importantes  4.4.2. Teoría de Landau  4.4.3. Modelo de Ising  4.4.4. Teoría del grupo de renormalización
  5. Teoría cuántica de campos  5.1. Segunda Cuantización  5.1.1. Oscilador armónico cuántico en segunda cuantización  5.1.2. Operadores de creación y aniquilación en segunda cuantización  5.1.3. Integral de Camino en la Segunda Cuantización  5.1.4. Espacio de Fock  5.2. Electrodinámica Cuántica  5.2.1. Feynman diagrams  5.2.2. Renormalización en electrodinámica cuántica  5.2.3. Invariancia de calibre en electrodinámica cuántica  5.2.4. Polarización del vacío  5.3. Cromodinámica Cuántica  5.3.1. Quarks y gluones  5.3.2. Rango de colores  5.3.3. Lattice QCD  5.3.4. Libertad asintótica  5.4. Modelo estándar de la física de partículas  5.4.1. Teoría electrodébil  5.4.2. Mecanismo de Higgs  5.4.4. Teorías de Gran Unificación
  6. Relatividad general y gravedad  6.1. Ecuaciones de campo de Einstein  6.1.1. Tensor de Ricci y curvatura escalar  6.1.2. Solución de Schwarzschild  6.1.3. Métrica de Kerr  6.1.4. Ondas gravitacionales  6.2. Cosmología  6.2.1. Ecuación de Friedmann  6.2.2. Inflación cósmica  6.2.3. Materia oscura y energía oscura  6.2.4. Estructura a gran escala  6.3. Agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.1. Horizonte de sucesos en agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.2. Radiación de Hawking  6.3.3. Proceso de Penrose  6.3.4. Paradoja de la información en agujeros negros y agujeros de gusano
  7. Física de la materia condensada  7.1. Estructura cristalina y red  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Teoría de bandas en estructuras y redes cristalinas  7.1.3. Fonones en la estructura cristalina y la red  7.1.4. Teorema de Bloch  7.2. Superconductividad  7.2.1. Principio BCS  7.2.2. Efecto Meissner  7.2.3. Superconductor de Alta Temperatura  7.2.4. Efecto Josephson

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Segunda Cuantización


La segunda cuantización es un concepto fundamental en la teoría cuántica de campos (QFT) que extiende los principios de la mecánica cuántica a campos en lugar de solo partículas. El término "segunda cuantización" puede parecer un poco intimidante si estás acostumbrado al concepto de primera cuantización: el tratamiento cuántico de partículas clásicas como electrones y fotones. Mientras que la 'primera cuantización' cuantiza partículas, la 'segunda cuantización' cuantiza campos y considera a las partículas como excitaciones de estos campos. Es la base sobre la que se construye nuestra comprensión de la física de partículas y las teorías cuánticas modernas.

Fundamentos de la cuantización

En la segunda cuantización, hacemos la transición de la perspectiva de partículas a la perspectiva de campos. El campo tiene estados cuantizados, y las partículas se ven como perturbaciones cuantizadas del campo.

Para hacer este concepto más claro, piensa en una cuerda de violín. Cuando la cuerda vibra, puede tomar diferentes armónicos. En el lenguaje de la física, estos armónicos son estados cuantizados. De manera similar, en la segunda cuantización los campos pasan por estados discretizados (cuantos) y cada estado cuantizado corresponde a una partícula.

Vamos a entender el formalismo de la segunda cuantización en pasos simples.

Operadores de campo y su importancia

En la segunda cuantización, usamos operadores de campo, generalmente denotados como ψ(x) y ψ†(x), donde x representa la coordenada del espacio-tiempo.

ψ(x) -> operador de aniquilación: elimina la partícula del estado x
ψ†(x) -> operador de creación: añade una partícula al estado x

Un ejemplo muy útil de cómo representar la acción de estos operadores es considerar una escalera. Imagina el siguiente diagrama simple de escalera representando la acción de estos operadores:

Estado | Acción | Resultado
  0 | ψ†(x) | 1
  1 | ψ†(x) | 2
  2 | ψ(x) | 1
  1 | ψ(x) | 0

En la formulación anterior, aplicar el operador de creación ψ† incrementa el número de partículas (como subir una escalera), mientras que aplicar el operador de aniquilación ψ lo disminuye (como descender una escalera).

Relaciones de intercambio y conmutación

Al estudiar la estadística cuántica, emergen dos clases principales de partículas: bosones y fermiones. Los bosones (por ejemplo, fotones) obedecen a la estadística de Bose-Einstein, mientras que los fermiones (por ejemplo, electrones) obedecen a la estadística de Fermi-Dirac. Es importante destacar que estas partículas obedecen diferentes reglas en términos de la conmutatividad de los operadores de campo.

Para los bosones, los operadores satisfacen las siguientes relaciones de conmutación:

[ψ(x), ψ†(y)] = δ(xy)
[ψ(x), ψ(y)] = [ψ†(x), ψ†(y)] = 0

Y para los fermiones, la geometría del espacio de estados define las relaciones como anticomutativas:

{ψ(x), ψ†(y)} = δ(xy)
{ψ(x), ψ(y)} = {ψ†(x), ψ†(y)} = 0

Estas relaciones aseguran que no dos fermiones pueden estar en el mismo estado cuántico al mismo tiempo, una propiedad que da lugar a fenómenos como el principio de exclusión de Pauli en sistemas fermiónicos.

El hamiltoniano, denotado como H, juega un papel clave en la determinación de la evolución de un sistema cuántico. Dentro del marco de la segunda cuantización, el hamiltoniano se expresa en términos de operadores de creación y aniquilación, los cuales dependen del modelo específico considerado.

Consideremos un sistema de partículas no interactuantes. Su hamiltoniano puede escribirse como:

H = ∫ d^3x ψ†(x) H' ψ(x)

Aquí, H' denota el hamiltoniano de una sola partícula. La integral suma sobre todos los puntos en el espacio, teniendo en cuenta la naturaleza del campo de las partículas.

Para un campo interactuante, el hamiltoniano incluye términos adicionales de interacción:

H = ∫ d^3x [ψ†(x) H' ψ(x) + V(ψ†(x), ψ(x)]

donde V representa el potencial de interacción, que crea y aniquila partículas a medida que el campo evoluciona dentro de él.

El papel de los números de ocupación

En el ámbito cuántico, el número de partículas presentes en un estado dado está determinado por los números de ocupación, un concepto importante en la segunda cuantización.

Consideremos un estado de una sola partícula representado por |n⟩, donde n es el número de ocupación. Los operadores ψ y ψ† actúan sobre estos estados de la siguiente manera:

⟨ψ|n⟩ = √n|n-1⟩
⟨ψ†|n⟩ = √(n+1) |n+1⟩

Estas ecuaciones implican:

  • La acción del operador de aniquilación disminuye el número de ocupación en uno, multiplicado por la raíz cuadrada del número de ocupación inicial.
  • La acción del operador de creación incrementa el número de ocupación en uno, que se multiplica por la raíz cuadrada de uno más el número de ocupación inicial.

Visualización del espacio de Fock

En la segunda cuantización, el estado total de un sistema multiparte es representado dentro de una estructura conocida como espacio de Fock. El espacio de Fock es importante para describir estados con números variables de partículas.

Imagina un espacio de dimensión infinita donde cada dimensión corresponde al número de partículas en un estado dado. Un ejemplo simple es un sistema bimodal donde las partículas pueden ocupar dos estados diferentes:

Estado | Número de partículas en el estado 1 | Número de partículas en el estado 2
  |0,0⟩| 0 | 0
  |1,0⟩| 1 | 0
  |0,1⟩| 0 | 1
  |1,1⟩| 1 | 1

En esta visualización del espacio de Fock, moverse a lo largo de cualquier eje cambia solo el número de ocupación de un cierto estado, lo cual es similar a moverse en un espacio de mayor dimensión cambiando coordenadas. El espacio de Fock proporciona la estructura para manejar estados cuánticos con diferentes números de partículas, cada uno de los cuales está definido por sus números de ocupación.

Partículas y antipartículas

La segunda cuantización conduce naturalmente al concepto de partículas y antipartículas. Considera un campo con operadores de creación y aniquilación:

a†(p) -> crea una partícula con momento p
a(p) -> aniquila la partícula con momento p
b†(p) -> crea una antipartícula con momento p
b(p) -> aniquila la antipartícula con momento p

En este marco, las partículas y antipartículas emergen como soluciones de las ecuaciones de campo, como la ecuación de Dirac para fermiones, lo que es implícito en la segunda cuantización.

Campos cuánticos y teorías gauge

La segunda cuantización es integral para teorías modernas como la electrodinámica cuántica (QED) y la cromodinámica cuántica (QCD), que cubren las interacciones electrodébiles y fuertes, respectivamente. Estos se incorporan en teorías gauge que describen las fuerzas como interacciones entre campos.

La acción de las transformaciones gauge sobre los operadores de campo muestra la robustez de la segunda cuantización al acomodar simetrías y otros principios fundamentales. Por ejemplo, en QED, los campos de Maxwell se representan usando operadores de campo vectoriales, y la invariancia gauge surge del comportamiento de transformación de estos campos operadores.

Física de la materia condensada

Aunque originalmente formulada para física de altas energías, la segunda cuantización ha sido muy exitosa en explicar fenómenos en sistemas de materia condensada, como la superconductividad y el efecto Hall cuántico.

En tales sistemas, la segunda cuantización proporciona un marco consistente para analizar complejas interacciones de muchos cuerpos al simplificar cálculos usando operadores de creación y aniquilación. Conceptos como los pares de Cooper en la superconductividad surgen naturalmente de la aplicación de los principios de la segunda cuantización.

La segunda cuantización redefine la forma en que visualizamos y calculamos en sistemas cuánticos. Supera las limitaciones de la mecánica cuántica de una sola partícula al facilitar una comprensión basada en campos. Esta transformación trae implicaciones profundas, vinculando conceptos teóricos, técnicas computacionales y aplicaciones prácticas en la física que van desde partículas fundamentales hasta sistemas complejos en la materia condensada.

Reflexiones finales

Comprender la segunda cuantización ayuda a construir una comprensión más profunda del marco cuántico del universo, proporcionando una lente para revisar conceptos clásicos. Con la continua exploración en áreas complejas como superfluidos en laboratorios y en grandes colisionadores de partículas, la segunda cuantización sigue siendo una herramienta poderosa para desentrañar los misterios del mundo cuántico.


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