Doctorado
  1. Classical mechanics  1.1. Mecánica newtoniana  1.1.1. Leyes del movimiento en la mecánica newtoniana  1.1.2. Dinámica de partículas y sistemas  1.1.3. Leyes de conservación  1.1.4. Movimiento de fuerza central  1.2. Mecánica lagrangiana  1.2.1. Principio de acción mínima  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. Restricciones y coordenadas normalizadas  1.2.4. Teorema de Noether  1.3. Hamiltonian mechanics  1.3.1. Ecuaciones de Hamilton  1.3.2. Conversión canónica  1.3.3. Corchete de Poisson  1.3.4. Variable de acción-ángulo  1.4. Movilidad del cuerpo rígido  1.4.1. Rotación de cuerpos rígidos  1.4.2. Tensor de momento de inercia  1.4.3. Ecuaciones de Euler en la dinámica de cuerpos rígidos  1.4.4. Movimiento giroscópico  1.5. Caos y dinámica no lineal  1.5.1. Espacio de fase y atractivo  1.5.2. Teoría de bifurcación y caos  1.5.3. Caos Hamiltoniano  1.5.4. Exponente de Lyapunov
  2. Electrodinámica  2.1. Las ecuaciones de Maxwell  2.1.1. La ley de Gauss para la electricidad  2.1.2. La ley de Gauss para el magnetismo  2.1.3. La ley de Faraday  2.1.4. La Ley de Ampère  2.1.5. Condiciones de frontera en las ecuaciones de Maxwell  2.2. Ondas electromagnéticas  2.2.1. Ecuación de onda  2.2.2. Polarización  2.2.3. Reflexión y Refracción  2.2.4. Guías de onda y resonadores  2.3. Relatividad especial  2.3.1. Transformaciones de Lorentz  2.3.2. Energía y momento relativista  2.3.3. Electrodinámica relativista  2.3.4. Espaciotiempo de Minkowski  2.4. Radiación y dispersión  2.4.1. Radiación de dipolo  2.4.2. Expansión multipolar  2.4.3. Dispersión de Compton  2.4.4. Dispersión de Thomson y Rayleigh  2.5. Física de Plasma  2.5.1. Pantalla de Debye  2.5.2. Magnetohidrodinámica  2.5.3. Inestabilidad del plasma  2.5.4. Plasma de Fusión
  3. Mecánica cuántica  3.1. Fundamentos de la mecánica cuántica  3.1.1. Principios de la mecánica cuántica  3.1.2. Función de onda e interpretación de la probabilidad  3.1.3. Principio de incertidumbre  3.1.4. Efecto túnel cuántico  3.2. Ecuación de Schrödinger  3.2.1. Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo  3.2.2. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo  3.2.3. Valores propios y funciones propias en la ecuación de Schrödinger  3.2.4. Integrales de caminos en mecánica cuántica  3.3. Operadores cuánticos  3.3.1. Conmutadores y observables  3.3.2. Operador de momento angular  3.3.3. Operador Escalera  3.3.4. Matrices de Pauli  3.4. Entrecruzamiento cuántico y medición  3.4.1. Teorema de Bell  3.4.2. Teletransportación Cuántica  3.4.3. Enredo cuántico y decoherencia cuántica en la medición  3.4.4. Entrelazamiento cuántico y medición en mecánica cuántica  3.5. Mecánica cuántica relativista  3.5.1. Ecuación de Klein–Gordon  3.5.2. Ecuación de Dirac  3.5.3. Teoría cuántica de campos  3.5.4. Integral de camino de Feynman
  4. Mecánica estadística y termodinámica  4.1. Termodinámica clásica  4.1.1. Leyes de la Termodinámica  4.1.2. Ciclo de Carnot  4.1.3. Entropía y energía libre  4.1.4. Eficiencia termodinámica  4.2. Teoría cinética de los gases  4.2.1. Distribución de Maxwell-Boltzmann  4.2.2. Fenómeno de transporte  4.2.3. Camino libre medio  4.2.4. Sistemas no equilibrados en la teoría cinética de gases  4.3. Mecánica estadística  4.3.1. Microestados y Macroestados  4.3.2. Función de partición  4.3.3. Estadísticas de Bose–Einstein y Fermi–Dirac  4.3.4. Fluctuaciones y correlaciones  4.4. Transición de fase  4.4.1. Eventos importantes  4.4.2. Teoría de Landau  4.4.3. Modelo de Ising  4.4.4. Teoría del grupo de renormalización
  5. Teoría cuántica de campos  5.1. Segunda Cuantización  5.1.1. Oscilador armónico cuántico en segunda cuantización  5.1.2. Operadores de creación y aniquilación en segunda cuantización  5.1.3. Integral de Camino en la Segunda Cuantización  5.1.4. Espacio de Fock  5.2. Electrodinámica Cuántica  5.2.1. Feynman diagrams  5.2.2. Renormalización en electrodinámica cuántica  5.2.3. Invariancia de calibre en electrodinámica cuántica  5.2.4. Polarización del vacío  5.3. Cromodinámica Cuántica  5.3.1. Quarks y gluones  5.3.2. Rango de colores  5.3.3. Lattice QCD  5.3.4. Libertad asintótica  5.4. Modelo estándar de la física de partículas  5.4.1. Teoría electrodébil  5.4.2. Mecanismo de Higgs  5.4.4. Teorías de Gran Unificación
  6. Relatividad general y gravedad  6.1. Ecuaciones de campo de Einstein  6.1.1. Tensor de Ricci y curvatura escalar  6.1.2. Solución de Schwarzschild  6.1.3. Métrica de Kerr  6.1.4. Ondas gravitacionales  6.2. Cosmología  6.2.1. Ecuación de Friedmann  6.2.2. Inflación cósmica  6.2.3. Materia oscura y energía oscura  6.2.4. Estructura a gran escala  6.3. Agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.1. Horizonte de sucesos en agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.2. Radiación de Hawking  6.3.3. Proceso de Penrose  6.3.4. Paradoja de la información en agujeros negros y agujeros de gusano
  7. Física de la materia condensada  7.1. Estructura cristalina y red  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Teoría de bandas en estructuras y redes cristalinas  7.1.3. Fonones en la estructura cristalina y la red  7.1.4. Teorema de Bloch  7.2. Superconductividad  7.2.1. Principio BCS  7.2.2. Efecto Meissner  7.2.3. Superconductor de Alta Temperatura  7.2.4. Efecto Josephson

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Tensor de Ricci y curvatura escalar


El tensor de Ricci y la curvatura escalar son componentes centrales de las ecuaciones de campo de Einstein, que forman la base de nuestra comprensión de cómo la materia y la energía afectan la geometría del espacio-tiempo. En el campo de la relatividad general, concebido por Albert Einstein, la presencia de materia y energía altera la curvatura del espacio-tiempo, lo que a su vez determina el movimiento de los objetos. Esta idea revolucionaria se alejó de la comprensión clásica de la gravedad como una mera fuerza y proporcionó una interpretación geométrica.

Comprendiendo la geometría del espacio-tiempo

En la relatividad general, el espacio-tiempo se modela como un continuo de cuatro dimensiones, con tres dimensiones espaciales mezcladas con el tiempo. Para describir cómo este espacio-tiempo está curvado o "deformado" por la materia y la energía, los matemáticos utilizan objetos llamados tensores. Los tensores son entidades matemáticas que generalizan los escalares, los vectores y pueden entenderse como matrices multidimensionales de números que se transforman de formas específicas bajo transformaciones de coordenadas.

Comparación con la gravedad newtoniana

Antes de profundizar en los tensores, es importante entender cómo la relatividad general difiere de la gravedad newtoniana. En la física newtoniana, la gravedad se describe como una fuerza que actúa a una distancia entre masas. Esta fuerza es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas, como se simplifica en la fórmula:

F = G * (m1 * m2) / r²

Aquí, F denota la fuerza gravitacional, G es la constante gravitacional, m1 y m2 son las dos masas, y r es la distancia entre los centros de las dos masas.

El concepto de Einstein difiere en que lo que entendemos como gravedad es en realidad el efecto de cuerpos masivos curvando el espacio-tiempo. Esta curvatura luego afecta las trayectorias de los objetos, lo que hace que su movimiento parezca caída libre en un paisaje de espacio-tiempo curvado.

Rol del tensor de Ricci

El tensor de Ricci es importante para describir la curvatura intrínseca de una porción del espacio-tiempo como resultado de una distribución específica de materia y energía. Surge del tensor de curvatura de Riemann, que describe cómo la presencia de materia causa que el espacio-tiempo se curve.

Definición del tensor de Ricci

El tensor de Ricci, denotado como R μν, es esencialmente una contracción del tensor de curvatura de Riemann, R ρ σμν. La contracción se realiza al sumar un índice superior y uno inferior, lo que esencialmente reduce el tensor de Riemann de cuatro índices al tensor de Ricci de dos índices:

R μν = R ρ μρν

Este procedimiento introduce información contenida en el tensor de curvatura de Riemann en la comprensión de cómo el volumen cambia bajo transporte paralelo, lo cual es una percepción crucial para el análisis de las interacciones gravitacionales.

En términos visuales, imagina una esfera arrastrada a través de una superficie curva. A medida que la mueves a lo largo de la superficie, las geodésicas sobre las que se encuentra pueden divergente o convergente. El tensor de Ricci mide tal convergencia o divergencia, indicando cómo se comportan de manera diferente las geodésicas a medida que atraviesan la geometría curva del espacio-tiempo.

Curvatura escalar

La curvatura escalar, también conocida como el escalar de Ricci y denotada por R, proporciona una simplificación adicional, condensando la información en cada punto del espacio-tiempo en un solo número. Esto se logra al tomar la traza del tensor de Ricci:

R = g μν R μν

Aquí, g μν denota el inverso del tensor métrico, un tensor que describe la geometría del propio espacio-tiempo.

La curvatura escalar involucra la curvatura promedio del espacio-tiempo, que muestra si una porción de espacio-tiempo es positiva, negativa o nula en cuanto a curvatura en general. Esto se puede visualizar pensando en superficies complejas con curvas y pendientes. La curvatura escalar nos da una instantánea de la 'curva neta' en un punto particular.

En términos prácticos, comprender la curvatura escalar revela los efectos promedio de fuerza de marea, lo que nos ayuda a entender cómo la materia dentro de una región puede estirar o contraer el espacio.

Ecuaciones de campo de Einstein

La unificación de estos tensores en la descripción de la mecánica fundamental de la gravedad se produce en las ecuaciones de campo de Einstein. La forma más famosa de estas ecuaciones conecta el tensor de Ricci y la curvatura escalar con el tensor energía-momento T μν, que es una medida de la densidad de energía y el flujo de momento en el espacio-tiempo:

G μν = R μν - (1/2)g μν R = (8πG/c⁴) T μν

En esta ecuación, G μν denota el tensor de Einstein y representa cómo la materia y la energía afectan la curvatura del espacio-tiempo. c es la velocidad de la luz, y G es nuevamente la constante gravitacional.

Estas ecuaciones, debido a la naturaleza simétrica de los tensores involucrados, consisten en diez ecuaciones diferenciales interrelacionadas que, cuando se resuelven, proporcionan una métrica, que describe el campo gravitacional y la geometría del espacio-tiempo alrededor de la materia.

Ejemplo: solución de Schwarzschild

Un ejemplo esclarecedor de la resolución de las ecuaciones de campo de Einstein utilizando el tensor de Ricci y la curvatura escalar es la solución de Schwarzschild, que describe el espacio-tiempo alrededor de un cuerpo masivo simétrico y no rotante (como un agujero negro estacionario).

ds² = -(1 - 2GM/rc²)dt² + (1 - 2GM/rc²)⁻¹dr² + r²(dθ² + sin²θdφ²)

Esta métrica proporciona información sobre el campo gravitacional generado por un objeto masivo, ayudando a detectar fenómenos como los agujeros negros de Schwarzschild.

Visualización del tensor de Ricci y la curvatura escalar

Comprender bien estos componentes tensoriales nos ayuda a entender cómo las distribuciones extensas de materia determinan el marco del espacio-tiempo. Para hacer esto, considera puntos y líneas en curvatura en lugar de representaciones euclidianas planas:

Considera un círculo en una superficie bidimensional, que representa una sección espacial curva del espacio-tiempo. A medida que aumentan la masa y la energía, la superficie se vuelve más notablemente distorsionada, lo que es indicativo de los valores cambiantes del tensor de Ricci.

Un ejemplo geométrico ilustrativo útil para demostrar la curvatura es dibujar líneas geodésicas en una esfera. Estas líneas geodésicas, similares a las líneas de longitud en la Tierra, muestran cómo los caminos más cortos en una superficie curva difieren de aquellos en un plano plano.

superficie curva Geodésica 1 Geodésica 2

Perspectivas e implicaciones

Comprender el tensor de Ricci y la curvatura escalar no solo explica el funcionamiento fundamental de la relatividad general, sino que también extiende sus implicaciones a la cosmología y la astrofísica, y explica fenómenos tan extraños como los agujeros negros, las ondas gravitacionales y la expansión observable del universo.

Comprender el tensor de Ricci y la curvatura escalar refleja una historia más amplia de la física geométrica, que busca simplificar y descifrar la relación esencial entre la materia y el espacio-tiempo. Albert Einstein abrió esta historia, cambiando para siempre nuestra comprensión de la gravedad a través de la belleza de las matemáticas al describir la gran tapicería del mundo.

Este cambio de perspectiva sin precedentes marca una era en la que la geometría misma se convierte en protagonista, moldeando de manera activa lo que percibimos como realidad. La promesa práctica y las aplicaciones presentadas a través de la relatividad general siguen siendo relevantes, revelando la estructura interna de la naturaleza y guiando futuras investigaciones científicas hacia profundos ámbitos de posibilidades asombrosamente complejas.


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