Doctorado
  1. Classical mechanics  1.1. Mecánica newtoniana  1.1.1. Leyes del movimiento en la mecánica newtoniana  1.1.2. Dinámica de partículas y sistemas  1.1.3. Leyes de conservación  1.1.4. Movimiento de fuerza central  1.2. Mecánica lagrangiana  1.2.1. Principio de acción mínima  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. Restricciones y coordenadas normalizadas  1.2.4. Teorema de Noether  1.3. Hamiltonian mechanics  1.3.1. Ecuaciones de Hamilton  1.3.2. Conversión canónica  1.3.3. Corchete de Poisson  1.3.4. Variable de acción-ángulo  1.4. Movilidad del cuerpo rígido  1.4.1. Rotación de cuerpos rígidos  1.4.2. Tensor de momento de inercia  1.4.3. Ecuaciones de Euler en la dinámica de cuerpos rígidos  1.4.4. Movimiento giroscópico  1.5. Caos y dinámica no lineal  1.5.1. Espacio de fase y atractivo  1.5.2. Teoría de bifurcación y caos  1.5.3. Caos Hamiltoniano  1.5.4. Exponente de Lyapunov
  2. Electrodinámica  2.1. Las ecuaciones de Maxwell  2.1.1. La ley de Gauss para la electricidad  2.1.2. La ley de Gauss para el magnetismo  2.1.3. La ley de Faraday  2.1.4. La Ley de Ampère  2.1.5. Condiciones de frontera en las ecuaciones de Maxwell  2.2. Ondas electromagnéticas  2.2.1. Ecuación de onda  2.2.2. Polarización  2.2.3. Reflexión y Refracción  2.2.4. Guías de onda y resonadores  2.3. Relatividad especial  2.3.1. Transformaciones de Lorentz  2.3.2. Energía y momento relativista  2.3.3. Electrodinámica relativista  2.3.4. Espaciotiempo de Minkowski  2.4. Radiación y dispersión  2.4.1. Radiación de dipolo  2.4.2. Expansión multipolar  2.4.3. Dispersión de Compton  2.4.4. Dispersión de Thomson y Rayleigh  2.5. Física de Plasma  2.5.1. Pantalla de Debye  2.5.2. Magnetohidrodinámica  2.5.3. Inestabilidad del plasma  2.5.4. Plasma de Fusión
  3. Mecánica cuántica  3.1. Fundamentos de la mecánica cuántica  3.1.1. Principios de la mecánica cuántica  3.1.2. Función de onda e interpretación de la probabilidad  3.1.3. Principio de incertidumbre  3.1.4. Efecto túnel cuántico  3.2. Ecuación de Schrödinger  3.2.1. Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo  3.2.2. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo  3.2.3. Valores propios y funciones propias en la ecuación de Schrödinger  3.2.4. Integrales de caminos en mecánica cuántica  3.3. Operadores cuánticos  3.3.1. Conmutadores y observables  3.3.2. Operador de momento angular  3.3.3. Operador Escalera  3.3.4. Matrices de Pauli  3.4. Entrecruzamiento cuántico y medición  3.4.1. Teorema de Bell  3.4.2. Teletransportación Cuántica  3.4.3. Enredo cuántico y decoherencia cuántica en la medición  3.4.4. Entrelazamiento cuántico y medición en mecánica cuántica  3.5. Mecánica cuántica relativista  3.5.1. Ecuación de Klein–Gordon  3.5.2. Ecuación de Dirac  3.5.3. Teoría cuántica de campos  3.5.4. Integral de camino de Feynman
  4. Mecánica estadística y termodinámica  4.1. Termodinámica clásica  4.1.1. Leyes de la Termodinámica  4.1.2. Ciclo de Carnot  4.1.3. Entropía y energía libre  4.1.4. Eficiencia termodinámica  4.2. Teoría cinética de los gases  4.2.1. Distribución de Maxwell-Boltzmann  4.2.2. Fenómeno de transporte  4.2.3. Camino libre medio  4.2.4. Sistemas no equilibrados en la teoría cinética de gases  4.3. Mecánica estadística  4.3.1. Microestados y Macroestados  4.3.2. Función de partición  4.3.3. Estadísticas de Bose–Einstein y Fermi–Dirac  4.3.4. Fluctuaciones y correlaciones  4.4. Transición de fase  4.4.1. Eventos importantes  4.4.2. Teoría de Landau  4.4.3. Modelo de Ising  4.4.4. Teoría del grupo de renormalización
  5. Teoría cuántica de campos  5.1. Segunda Cuantización  5.1.1. Oscilador armónico cuántico en segunda cuantización  5.1.2. Operadores de creación y aniquilación en segunda cuantización  5.1.3. Integral de Camino en la Segunda Cuantización  5.1.4. Espacio de Fock  5.2. Electrodinámica Cuántica  5.2.1. Feynman diagrams  5.2.2. Renormalización en electrodinámica cuántica  5.2.3. Invariancia de calibre en electrodinámica cuántica  5.2.4. Polarización del vacío  5.3. Cromodinámica Cuántica  5.3.1. Quarks y gluones  5.3.2. Rango de colores  5.3.3. Lattice QCD  5.3.4. Libertad asintótica  5.4. Modelo estándar de la física de partículas  5.4.1. Teoría electrodébil  5.4.2. Mecanismo de Higgs  5.4.4. Teorías de Gran Unificación
  6. Relatividad general y gravedad  6.1. Ecuaciones de campo de Einstein  6.1.1. Tensor de Ricci y curvatura escalar  6.1.2. Solución de Schwarzschild  6.1.3. Métrica de Kerr  6.1.4. Ondas gravitacionales  6.2. Cosmología  6.2.1. Ecuación de Friedmann  6.2.2. Inflación cósmica  6.2.3. Materia oscura y energía oscura  6.2.4. Estructura a gran escala  6.3. Agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.1. Horizonte de sucesos en agujeros negros y agujeros de gusano  6.3.2. Radiación de Hawking  6.3.3. Proceso de Penrose  6.3.4. Paradoja de la información en agujeros negros y agujeros de gusano
  7. Física de la materia condensada  7.1. Estructura cristalina y red  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Teoría de bandas en estructuras y redes cristalinas  7.1.3. Fonones en la estructura cristalina y la red  7.1.4. Teorema de Bloch  7.2. Superconductividad  7.2.1. Principio BCS  7.2.2. Efecto Meissner  7.2.3. Superconductor de Alta Temperatura  7.2.4. Efecto Josephson

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Ecuación de Friedmann


Las ecuaciones de Friedmann son fundamentales en cosmología para describir la expansión del universo. Derivadas por el físico ruso Alexander Friedmann en 1922 y 1924, estas ecuaciones provienen de las ecuaciones de campo de gravedad de Einstein en el contexto de un universo homogéneo e isótropo. Sirven como herramientas importantes para entender la dinámica del universo, prediciendo el comportamiento del universo bajo diferentes condiciones como dominancia de materia, dominancia de radiación o la influencia de la energía oscura.

Entendiendo el principio cosmológico

El principio cosmológico asume que el universo es homogéneo e isótropo a gran escala. "Homogéneo" significa que el universo se ve igual en cada punto (es decir, cada ubicación en el universo es estadísticamente la misma). "Isótropo" significa que el universo se ve igual en todas las direcciones. Basados en estas suposiciones, podemos modelar el universo usando la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW).

Matemáticamente, estos conceptos se representan en la métrica FLRW, que describe un universo de espacio-tiempo de 4 dimensiones que se expande o contrae uniformemente:

ds² = -c²dt² + a(t)² [ dr² / (1 - kr²) + r²(dθ² + sin²θ dφ²) ]

Componentes de la métrica

  • ds² es el intervalo de espacio-tiempo.
  • a(t) es el factor de escala, una función del tiempo que describe la expansión del universo.
  • k es el parámetro de curvatura, que puede ser -1 (universo abierto), 0 (universo plano) o +1 (universo cerrado).
  • c es la velocidad de la luz.
  • r, θ, y φ son coordenadas esféricas.

La métrica FLRW nos lleva a obtener las ecuaciones de Friedmann al estimar las ecuaciones de campo de Einstein bajo estas suposiciones de un universo uniforme.

Ecuaciones de campo de Einstein

En el corazón de la relatividad general y la cosmología están las ecuaciones de campo de Einstein, que relacionan la geometría del espacio-tiempo con la distribución de materia y energía. En términos simples, describen cómo la materia y la energía afectan la curvatura del espacio-tiempo. Las ecuaciones se dan como:

Gμν + Λgμν = (8πG / c⁴) Tμν

Componentes de la ecuación de campo de Einstein

  • Gμν es el tensor de Einstein, que representa la curvatura del espacio-tiempo debido a la materia.
  • Λ es la constante cosmológica propuesta por Einstein, que caracteriza la densidad de energía del espacio vacío.
  • gμν es el tensor métrico de la métrica FLRW.
  • G es la constante gravitacional.
  • c es la velocidad de la luz.
  • Tμν es el tensor de energía-momento, que representa el contenido de materia y energía.

Usando la métrica FLRW, podemos simplificar las ecuaciones de campo de Einstein en una forma más manejable, las ecuaciones de Friedmann, que describen principalmente la dinámica del factor de escala a(t).

Ecuación de Friedmann

Las ecuaciones de Friedmann relacionan la expansión del universo, determinada por el factor de escala a(t), con el contenido de materia-energía del universo. Estas ecuaciones nos permiten modelar diferentes etapas de la evolución del universo.

Primera ecuación de Friedmann

La primera ecuación de Friedmann relaciona la tasa de expansión con la densidad de energía del universo:

(H(t))² = (8πG / 3) ρ - (kc² / a(t)²) + (Λ / 3)
  • H(t) es el parámetro de Hubble, definido como H(t) = ȧ/a, donde ȧ es la derivada de a(t) con respecto al tiempo.
  • ρ es la densidad de energía promedio del universo.
  • k es el parámetro de curvatura.
  • Λ es la constante cosmológica.

La primera ecuación de Friedmann muestra cómo la tasa de expansión se ve afectada por la densidad de materia, la curvatura del espacio y el efecto de la energía oscura representada por la constante cosmológica.

Segunda ecuación de Friedmann

La segunda ecuación de Friedmann describe cómo la aceleración de la expansión del universo está determinada por la presión y la densidad de energía:

ȧ̈ + (4πG / 3)(ρ + 3p / c²) a + (Λc² / 3) a = 0
  • ȧ̈ es la segunda derivada de a(t) con respecto al tiempo, que representa la aceleración de la expansión del universo.
  • p es la presión del material del universo.
  • Los otros términos son los mismos que los definidos en la primera ecuación.

Esta ecuación muestra que el aumento de la presión puede ralentizar la expansión, mientras que una constante cosmológica lo suficientemente grande puede llevar a una expansión acelerada.

Aplicaciones ejemplo de las ecuaciones de Friedmann

Universos cerrados, abiertos y planos

Las ecuaciones de Friedmann clasifican los universos en tres tipos dependiendo del parámetro de curvatura k:

  • Un universo cerrado (k=1) es uno con curvatura positiva, como una esfera 3D, donde el universo eventualmente dejará de expandirse y colapsará en un "Gran Colapso".
  • Un universo abierto (k=-1) se asemeja a una geometría hiperbólica, que se expande para siempre.
  • Un universo plano (k=0) se expande, ralentizándose con el tiempo, pero nunca deteniéndose por completo, lo que se alinea con las observaciones de nuestro universo actual.

Ejemplo de un universo plano (k=0):

En un universo plano sin constante cosmológica, las ecuaciones de Friedmann predicen que solo la densidad de materia gobierna la dinámica general de expansión:

(H(t))² = (8πG / 3) ρ

Este escenario define un estado perfectamente equilibrado dentro de un universo infinito y en constante expansión.

Entendiendo la constante cosmológica

La constante cosmológica, Λ, introducida por Einstein, representa la densidad de energía del espacio vacío o energía oscura. En modelos cosmológicos recientes, la energía oscura se utiliza para explicar la expansión acelerada del universo observada en datos de supernovas.

Ejemplo de un universo en aceleración con energía oscura:

Incluir la constante cosmológica puede cambiar significativamente las ecuaciones de Friedmann. Considere la importancia de λ:

ȧ̈ = (Λc² / 3) a - (4πG / 3)(ρ + 3p / c²) a

Predice que si la energía oscura domina la densidad de materia, la expansión del universo se acelera, lo que podría llevar a un escenario de inflación cósmica infinita.

Explicación visual usando gráficos y ecuaciones

Las siguientes son representaciones gráficas de la dinámica de la expansión del universo usando interpretaciones matemáticas de las ecuaciones de Friedmann:

Tiempo Tasa Universo abierto Universo cerrado Universo plano

Estas curvas simples representan la evolución del universo a lo largo del tiempo con respecto a diferentes escenarios de curvatura. Cada curva representa una de las varias posibilidades cosmológicas derivadas de las ecuaciones de Friedmann.

Conclusión

Las ecuaciones de Friedmann son centrales en los esfuerzos de la cosmología para entender la evolución y estructura del universo. Estas ecuaciones permiten a los científicos ajustar datos observacionales en modelos teóricos y entender mejor fenómenos como el Big Bang, la inflación cósmica y la energía oscura.

Aplicando estas ecuaciones, los investigadores han logrado importantes insights sobre edades pasadas del universo y potencialmente predicho su comportamiento futuro basado en observaciones actuales y avances teóricos. Estos modelos, aunque construidos sobre simplificaciones como simetría e isotropía, continúan proporcionando un sólido marco de trabajo en la búsqueda de verdades cósmicas.


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