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फ्रीडमैन समीकरण
फ्रीडमैन समीकरण ब्रह्मांड के विस्तार का वर्णन करने के लिए खगोलविज्ञान में मौलिक होते हैं। रूसी भौतिक विज्ञानी अलेक्जेंडर फ्रीडमैन द्वारा 1922 और 1924 में तैयार, ये समीकरण आइंस्टीन के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र समीकरणों से एक समरूप और असममिति ब्रह्मांड के संदर्भ में प्राप्त होते हैं। वे ब्रह्मांड की गतियों को समझने के महत्वपूर्ण उपकरण के रूप में कार्य करते हैं, भिन्न स्थितियों के तहत ब्रह्मांड के व्यवहार की भविष्यवाणी करते हैं जैसे कि पदार्थ का प्रभुत्व, विकिरण का प्रभुत्व या अंधेरे ऊर्जा का प्रभाव।
खगोल भौतिकीय सिद्धांत की समझ
खगोल भौतिकीय सिद्धांत इस धारणा पर आधारित है कि ब्रह्मांड बड़े पैमाने पर समरूप और असममिति है। "समरूप" का अर्थ है कि ब्रह्मांड हर बिंदु पर समान दिखता है (अर्थात, ब्रह्मांड के हर स्थान का सांख्यिकीय रूप से वही होना)। "असममिति" का अर्थ है कि ब्रह्मांड हर दिशा में समान दिखता है। इन अनुमानों के आधार पर, हम ब्रह्मांड को फ्रीडमैन-लेमात्र-रॉबर्टसन-वॉकर (FLRW) मीट्रिक का उपयोग करके मॉडल कर सकते हैं।
गणितीय रूप से, इन अवधारणाओं को FLRW मीट्रिक में प्रस्तुत किया जाता है, जो 4-आयामी स्थानकाल ब्रह्मांड का वर्णन करता है जो समान रूप से फैलता या सिमटता है:
ds² = -c²dt² + a(t)² [ dr² / (1 - kr²) + r²(dθ² + sin²θ dφ²) ]
मीट्रिक के घटक
ds²
स्थानकालांतराल है।a(t)
स्केल फैक्टर है, समय का एक कार्य जो ब्रह्मांड के विस्तार का वर्णन करता है।k
वक्रता पैरामीटर है, जो -1 (खुला ब्रह्मांड), 0 (समतल ब्रह्मांड) या +1 (बंद ब्रह्मांड) हो सकता है।c
प्रकाश की गति है।r
,θ
, औरφ
गोलाकार निर्देशांक हैं।
FLRW मीट्रिक हमें एक समान ब्रह्मांड की इन अनुमानों के तहत आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का अनुमानित करके फ्रीडमैन समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देता है।
आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण
सामान्य सापेक्षता और खगोल विज्ञान के हृदय में आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण होते हैं, जो स्थानकालिकी की ज्यामिति को पदार्थ और ऊर्जा के वितरण से जोड़ते हैं। सरल शब्दों में, वे वर्णन करते हैं कि कैसे पदार्थ और ऊर्जा स्थानकाल जैसी पर वक्रता को प्रभावित करते हैं। समीकरण इस प्रकार दिए जाते हैं:
Gμν + Λgμν = (8πG / c⁴) Tμν
आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के घटक
Gμν
आइंस्टीन टेंसर है, जो पदार्थ के कारण स्थानकाल वक्रता का प्रतिनिधित्व करता है।Λ
आइंस्टीन द्वारा प्रस्तावित खगोल भौतिकीय स्थिरांक है, जो खाली स्थान की ऊर्जा घनत्व को चित्रित करता है।gμν
FLRW मीट्रिक से मीट्रिक टेंसर है।G
गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है।c
प्रकाश की गति है।Tμν
तनाव-ऊर्जा टेंसर है, जो पदार्थ और ऊर्जा वस्तु को दर्शाता है।
FLRW मीट्रिक का उपयोग करके, हम आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों को एक अधिक प्रबंधनीय रूप में सरल कर सकते हैं, जो मुख्य रूप से स्केल फैक्टर a(t)
की डाइनामिक्स का वर्णन करते हैं।
फ्रीडमैन समीकरण
फ्रीडमैन समीकरण विस्तारण चरण को, जो स्केल फैक्टर a(t)
द्वारा निर्धारित होता है, ब्रह्मांड की पदार्थ-ऊर्जा सामग्री पर संबंधित करते हैं। ये समीकरण हमें ब्रह्मांड के विकास के विभिन्न चरणों को मॉडल कर सकते हैं।
पहला फ्रीडमैन समीकरण
पहला फ्रीडमैन समीकरण विस्तारण की दर को ब्रह्मांड की ऊर्जा घनत्व से संबंधित करता है:
(H(t))² = (8πG / 3) ρ - (kc² / a(t)²) + (Λ / 3)
H(t)
हबल पैरामीटर है, जिसेH(t) = ȧ/a
के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँȧ
समय के संदर्भ मेंa(t)
का व्युत्पन्न है।ρ
ब्रह्मांड की औसत ऊर्जा घनत्व है।k
वक्रता पैरामीटर है।Λ
खगोल भौतिकीय स्थिरांक है।
पहला फ्रीडमैन समीकरण दिखाता है कि विस्तारण दर पर पदार्थ की घनत्व, स्थान की वक्रता, और खगोल भौतिकीय स्थिरांक द्वारा निरूपित अंधेरे ऊर्जा का प्रभाव कैसे पड़ता है।
दूसरा फ्रीडमैन समीकरण
दूसरा फ्रीडमैन समीकरण बताता है कि ब्रह्मांड की विस्तारण की त्वराण दबाव और ऊर्जा घनत्व द्वारा कैसे निर्धारित की जाती है:
ȧ̈ + (4πG / 3)(ρ + 3p / c²) a + (Λc² / 3) a = 0
ȧ̈
समय के संदर्भ मेंa(t)
का दूसरा व्युत्पन्न है, जो ब्रह्मांड की विस्तारण की त्वराण का प्रतिनिधित्व करता है।p
ब्रह्मांड की सामग्री का दबाव है।- अन्य शब्दों की परिभाषा पहले समीकरण में दी गई है।
यह समीकरण दिखाता है कि दबाव का बढ़ना विस्तारण को धीमा कर सकता है, जबकि पर्याप्त बड़ी खगोल भौतिकीय स्थिरांक त्वरित विस्तारण की ओर ले जा सकता है।
फ्रीडमैन समीकरणों के उदाहरण अनुप्रयोग
बंद, खुले और समतल ब्रह्मांड
फ्रीडमैन समीकरण ब्रह्मांडों को तीन प्रकारों में विभाजित करते हैं जिनमें वक्रता पैरामीटर k
होता है:
- एक बंद ब्रह्मांड (
k=1
) एक सकारात्मक वक्रता वाला ब्रह्मांड है, जैसा कि एक 3D गोला, जहाँ ब्रह्मांड अन्ततः विस्तारण को रोक देगा और एक "बिग क्रंच" में सिमट जाएगा। - एक खुला ब्रह्मांड (
k=-1
) एक हाइपरबोलिक ज्यामिति के समान है, जो हमेशा के लिए विस्तरित होता है। - एक समतल ब्रह्मांड (
k=0
) विस्तरित होता है, समय के साथ धीमा होता जाता है, लेकिन कभी पूरी तरह से नहीं रुकता, जो हमारे वर्तमान ब्रह्मांड के अवलोकनों के साथ मेल खाता है।
समतल ब्रह्मांड का उदाहरण (k=0):
बिना खगोल भौतिकीय स्थिरांक वाले समतल ब्रह्मांड में, फ्रीडमैन समीकरण भविष्यवाणी करते हैं कि केवल पदार्थ की घनत्व सामान्य विस्तारण गतिशीलता को नियंत्रित करती है:
(H(t))² = (8πG / 3) ρ
यह परिदृश्य एक अनंत, हमेशा विस्तारित होता है ब्रह्मांड के भीतर एक पूर्ण संतुलित स्थिति को परिभाषित करता है।
खगोल भौतिकीय स्थिरांक की समझ
आइंस्टीन द्वारा प्रस्तुत किया गया खगोल भौतिकीय स्थिरांक, Λ
, खाली स्थान या अंधेरे ऊर्जा की ऊर्जा घनत्व को चित्रित करता है। हाल के खगोल भौतिकीय मॉडलों में, अंधेरी ऊर्जा सुपरनोवा डेटा में देखी गई ब्रह्मांड के त्वरित विस्तारण को समझाने के लिए प्रयोग की जाती है।
अंधेरे ऊर्जा के साथ विस्तारणशील ब्रह्मांड का उदाहरण:
खगोल भौतिकीय स्थिरांक को शामिल करना फ्रीडमैन समीकरणों को महत्वपूर्ण रूप से बदल सकता है। λ का महत्व विचार करें:
ȧ̈ = (Λc² / 3) a - (4πG / 3)(ρ + 3p / c²) a
यह भविष्यवाणी करता है कि यदि अंधेरा ऊर्जा पदार्थ की घनत्व पर हावी होती है, तो ब्रह्मांड का विस्तारण त्वरित हो जाता है, संभवतः एक अनंत ब्रह्मांडीय मुद्रास्फीति परिदृश्य की ओर ले जा रहा है।
गणनात्मक व्याख्या और समीकरणों का दृश्य व्याख्या
ब्रह्मांड के विस्तारण की गतियों की गणनात्मक व्याख्या हेतु फ्रीडमैन समीकरणों के गणितीय व्याख्यानों का ग्राफिकल प्रस्तुति:
ये सरल वक्र ब्रह्मांड के विविध वक्रता परिदृश्यों के संदर्भ में समय के साथ ब्रह्मांड की विकास को चित्रित करते हैं। प्रत्येक वक्र फ्रीडमैन समीकरणों से उत्पन्न कई खगोल भौतिकीय संभावनाओं में से एक का प्रतिनिधित्व करता है।
निष्कर्ष
फ्रीडमैन समीकरण खगोल भौतिकी के प्रयासों में केंद्र में हैं ताकि ब्रह्मांड के विकास और संरचना को समझा जा सके। ये समीकरण वैज्ञानिकों को सैद्धांतिक मॉडलों में अवलोकन डेटा को फिट करने और ऐसी घटनाओं को समझने में मदद करते हैं जैसे कि बिग बैंग, ब्रह्मांडीय मुद्रास्फीति, और अंधेरी ऊर्जा।
इन समीकरणों को लागू करके, शोधकर्ताओं ने अब तक के ब्रह्मांड के प्रमुख उम्रों के बारे में महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टियाँ प्राप्त की हैं और वर्तमान अवलोकनों और सैद्धांतिक प्रगति के आधार पर ब्रह्मांड के भविष्य के व्यवहार की संभावित भविष्यवाणियाँ कर सकते हैं। ये मॉडल, यद्यपि समरूपता और असममिति जैसी सरलीकरणों पर आधारित हैं, ब्रह्मांडीय सत्य की खोज में एक मजबूत कार्यकारी ढांचे के रूप में सेवा करते हैं।