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Equação de Friedmann


As equações de Friedmann são fundamentais na cosmologia para descrever a expansão do universo. Derivadas pelo físico russo Alexander Friedmann em 1922 e 1924, essas equações vêm das equações de campo de Einstein da gravidade no contexto de um universo homogêneo e isotrópico. Elas servem como ferramentas importantes para entender a dinâmica do universo, prevendo o comportamento do universo sob diferentes condições, como domínio de matéria, domínio de radiação ou a influência da energia escura.

Entendendo o princípio cosmológico

O princípio cosmológico assume que o universo é homogêneo e isotrópico em grandes escalas. "Homogêneo" significa que o universo parece o mesmo em todos os pontos (ou seja, cada local no universo é estatisticamente igual). "Isotrópico" significa que o universo parece o mesmo em todas as direções. Baseado nessas suposições, podemos modelar o universo usando a métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW).

Matematicamente, esses conceitos são representados na métrica FLRW, que descreve um universo de espaço-tempo 4-dimensional que expande ou contrai uniformemente:

ds² = -c²dt² + a(t)² [ dr² / (1 - kr²) + r²(dθ² + sin²θ dφ²) ]

Componentes da métrica

  • ds² é o intervalo de espaço-tempo.
  • a(t) é o fator de escala, uma função do tempo que descreve a expansão do universo.
  • k é o parâmetro de curvatura, que pode ser -1 (universo aberto), 0 (universo plano) ou +1 (universo fechado).
  • c é a velocidade da luz.
  • r, θ e φ são coordenadas esféricas.

A métrica FLRW nos leva a obter as equações de Friedmann estimando as equações de campo de Einstein sob essas suposições de um universo uniforme.

Equações de campo de Einstein

No coração da relatividade geral e da cosmologia estão as equações de campo de Einstein, que relacionam a geometria do espaço-tempo à distribuição de matéria e energia. Em termos simples, elas descrevem como a matéria e a energia afetam a curvatura do espaço-tempo. As equações são dadas por:

Gμν + Λgμν = (8πG / c⁴) Tμν

Componentes da equação de campo de Einstein

  • Gμν é o tensor de Einstein, representando a curvatura do espaço-tempo devido à matéria.
  • Λ é a constante cosmológica proposta por Einstein, que caracteriza a densidade de energia do espaço vazio.
  • gμν é o tensor métrico da métrica FLRW.
  • G é a constante gravitacional.
  • c é a velocidade da luz.
  • Tμν é o tensor energia-momento, representando o conteúdo de matéria e energia.

Usando a métrica FLRW, podemos simplificar as equações de campo de Einstein em uma forma mais controlável, as equações de Friedmann, que descrevem principalmente a dinâmica do fator de escala a(t).

Equação de Friedmann

As equações de Friedmann relacionam a expansão do universo, determinada pelo fator de escala a(t), ao conteúdo matéria-energia do universo. Essas equações nos permitem modelar diferentes etapas da evolução do universo.

Primeira equação de Friedmann

A primeira equação de Friedmann relaciona a taxa de expansão à densidade de energia do universo:

(H(t))² = (8πG / 3) ρ - (kc² / a(t)²) + (Λ / 3)
  • H(t) é o parâmetro de Hubble, definido como H(t) = ȧ/a, onde ȧ é a derivada de a(t) em relação ao tempo.
  • ρ é a densidade média de energia do universo.
  • k é o parâmetro de curvatura.
  • Λ é a constante cosmológica.

A primeira equação de Friedmann mostra como a taxa de expansão é afetada pela densidade de matéria, pela curvatura do espaço e pelo efeito da energia escura representada pela constante cosmológica.

Segunda equação de Friedmann

A segunda equação de Friedmann descreve como a aceleração da expansão do universo é determinada pela pressão e densidade de energia:

ȧ̈ + (4πG / 3)(ρ + 3p / c²) a + (Λc² / 3) a = 0
  • ȧ̈ é a segunda derivada de a(t) em relação ao tempo, que representa a aceleração da expansão do universo.
  • p é a pressão do material do universo.
  • Os outros termos são os mesmos definidos na primeira equação.

Esta equação mostra que o aumento da pressão pode retardar a expansão, enquanto uma constante cosmológica suficientemente grande pode levar à expansão acelerada.

Exemplo de aplicações das equações de Friedmann

Universos fechado, aberto e plano

As equações de Friedmann classificam universos em três tipos, dependendo do parâmetro de curvatura k:

  • Um universo fechado (k=1) é aquele com curvatura positiva, como uma esfera 3D, onde o universo eventualmente parará de se expandir e colapsará em um "Big Crunch".
  • Um universo aberto (k=-1) assemelha-se a uma geometria hiperbólica, que está em expansão para sempre.
  • Um universo plano (k=0) expande-se, desacelerando ao longo do tempo, mas nunca parando completamente, o que se alinha com observações do nosso universo atual.

Exemplo de um universo plano (k=0):

Em um universo plano sem constante cosmológica, as equações de Friedmann preveem que apenas a densidade de matéria governa a dinâmica geral da expansão:

(H(t))² = (8πG / 3) ρ

Este cenário define um estado perfeitamente equilibrado dentro de um universo infinito e em expansão contínua.

Entendendo a constante cosmológica

A constante cosmológica, Λ, introduzida por Einstein, representa a densidade de energia do espaço vazio ou energia escura. Em modelos cosmológicos recentes, a energia escura é usada para explicar a expansão acelerada do universo observada em dados de supernovas.

Exemplo de um universo em aceleração com energia escura:

Incluir a constante cosmológica pode alterar significativamente as equações de Friedmann. Considere a importância de λ:

ȧ̈ = (Λc² / 3) a - (4πG / 3)(ρ + 3p / c²) a

Ela prevê que, se a energia escura dominar a densidade de matéria, a expansão do universo acelera, potencialmente levando a um cenário de inflação cósmica infinita.

Explicação visual usando gráficos e equações

As seguintes são representações gráficas da dinâmica da expansão do universo usando interpretações matemáticas das equações de Friedmann:

Tempo Curvatura Universo aberto Universo fechado Universo plano

Essas curvas simples descrevem a evolução do universo ao longo do tempo com relação a diferentes cenários de curvatura. Cada curva representa uma das várias possibilidades cosmológicas derivadas das equações de Friedmann.

Conclusão

As equações de Friedmann são centrais nos esforços da cosmologia para entender a evolução e a estrutura do universo. Essas equações permitem que os cientistas ajustem dados observacionais em modelos teóricos e compreendam melhor fenômenos como o Big Bang, a inflação cósmica e a energia escura.

Aplicando essas equações, os pesquisadores obtiveram importantes insights sobre as idades passadas do universo e potencialmente previram seu comportamento futuro com base em observações atuais e avanços teóricos. Esses modelos, embora construídos com base em simplificações como simetria e isotropia, continuam a fornecer uma sólida estrutura de trabalho na busca por verdades cósmicas.


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