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Equação de Friedmann
As equações de Friedmann são fundamentais na cosmologia para descrever a expansão do universo. Derivadas pelo físico russo Alexander Friedmann em 1922 e 1924, essas equações vêm das equações de campo de Einstein da gravidade no contexto de um universo homogêneo e isotrópico. Elas servem como ferramentas importantes para entender a dinâmica do universo, prevendo o comportamento do universo sob diferentes condições, como domínio de matéria, domínio de radiação ou a influência da energia escura.
Entendendo o princípio cosmológico
O princípio cosmológico assume que o universo é homogêneo e isotrópico em grandes escalas. "Homogêneo" significa que o universo parece o mesmo em todos os pontos (ou seja, cada local no universo é estatisticamente igual). "Isotrópico" significa que o universo parece o mesmo em todas as direções. Baseado nessas suposições, podemos modelar o universo usando a métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW).
Matematicamente, esses conceitos são representados na métrica FLRW, que descreve um universo de espaço-tempo 4-dimensional que expande ou contrai uniformemente:
ds² = -c²dt² + a(t)² [ dr² / (1 - kr²) + r²(dθ² + sin²θ dφ²) ]
Componentes da métrica
ds²
é o intervalo de espaço-tempo.a(t)
é o fator de escala, uma função do tempo que descreve a expansão do universo.k
é o parâmetro de curvatura, que pode ser -1 (universo aberto), 0 (universo plano) ou +1 (universo fechado).c
é a velocidade da luz.r
,θ
eφ
são coordenadas esféricas.
A métrica FLRW nos leva a obter as equações de Friedmann estimando as equações de campo de Einstein sob essas suposições de um universo uniforme.
Equações de campo de Einstein
No coração da relatividade geral e da cosmologia estão as equações de campo de Einstein, que relacionam a geometria do espaço-tempo à distribuição de matéria e energia. Em termos simples, elas descrevem como a matéria e a energia afetam a curvatura do espaço-tempo. As equações são dadas por:
Gμν + Λgμν = (8πG / c⁴) Tμν
Componentes da equação de campo de Einstein
Gμν
é o tensor de Einstein, representando a curvatura do espaço-tempo devido à matéria.Λ
é a constante cosmológica proposta por Einstein, que caracteriza a densidade de energia do espaço vazio.gμν
é o tensor métrico da métrica FLRW.G
é a constante gravitacional.c
é a velocidade da luz.Tμν
é o tensor energia-momento, representando o conteúdo de matéria e energia.
Usando a métrica FLRW, podemos simplificar as equações de campo de Einstein em uma forma mais controlável, as equações de Friedmann, que descrevem principalmente a dinâmica do fator de escala a(t)
.
Equação de Friedmann
As equações de Friedmann relacionam a expansão do universo, determinada pelo fator de escala a(t)
, ao conteúdo matéria-energia do universo. Essas equações nos permitem modelar diferentes etapas da evolução do universo.
Primeira equação de Friedmann
A primeira equação de Friedmann relaciona a taxa de expansão à densidade de energia do universo:
(H(t))² = (8πG / 3) ρ - (kc² / a(t)²) + (Λ / 3)
H(t)
é o parâmetro de Hubble, definido comoH(t) = ȧ/a
, ondeȧ
é a derivada dea(t)
em relação ao tempo.ρ
é a densidade média de energia do universo.k
é o parâmetro de curvatura.Λ
é a constante cosmológica.
A primeira equação de Friedmann mostra como a taxa de expansão é afetada pela densidade de matéria, pela curvatura do espaço e pelo efeito da energia escura representada pela constante cosmológica.
Segunda equação de Friedmann
A segunda equação de Friedmann descreve como a aceleração da expansão do universo é determinada pela pressão e densidade de energia:
ȧ̈ + (4πG / 3)(ρ + 3p / c²) a + (Λc² / 3) a = 0
ȧ̈
é a segunda derivada dea(t)
em relação ao tempo, que representa a aceleração da expansão do universo.p
é a pressão do material do universo.- Os outros termos são os mesmos definidos na primeira equação.
Esta equação mostra que o aumento da pressão pode retardar a expansão, enquanto uma constante cosmológica suficientemente grande pode levar à expansão acelerada.
Exemplo de aplicações das equações de Friedmann
Universos fechado, aberto e plano
As equações de Friedmann classificam universos em três tipos, dependendo do parâmetro de curvatura k
:
- Um universo fechado (
k=1
) é aquele com curvatura positiva, como uma esfera 3D, onde o universo eventualmente parará de se expandir e colapsará em um "Big Crunch". - Um universo aberto (
k=-1
) assemelha-se a uma geometria hiperbólica, que está em expansão para sempre. - Um universo plano (
k=0
) expande-se, desacelerando ao longo do tempo, mas nunca parando completamente, o que se alinha com observações do nosso universo atual.
Exemplo de um universo plano (k=0):
Em um universo plano sem constante cosmológica, as equações de Friedmann preveem que apenas a densidade de matéria governa a dinâmica geral da expansão:
(H(t))² = (8πG / 3) ρ
Este cenário define um estado perfeitamente equilibrado dentro de um universo infinito e em expansão contínua.
Entendendo a constante cosmológica
A constante cosmológica, Λ
, introduzida por Einstein, representa a densidade de energia do espaço vazio ou energia escura. Em modelos cosmológicos recentes, a energia escura é usada para explicar a expansão acelerada do universo observada em dados de supernovas.
Exemplo de um universo em aceleração com energia escura:
Incluir a constante cosmológica pode alterar significativamente as equações de Friedmann. Considere a importância de λ:
ȧ̈ = (Λc² / 3) a - (4πG / 3)(ρ + 3p / c²) a
Ela prevê que, se a energia escura dominar a densidade de matéria, a expansão do universo acelera, potencialmente levando a um cenário de inflação cósmica infinita.
Explicação visual usando gráficos e equações
As seguintes são representações gráficas da dinâmica da expansão do universo usando interpretações matemáticas das equações de Friedmann:
Essas curvas simples descrevem a evolução do universo ao longo do tempo com relação a diferentes cenários de curvatura. Cada curva representa uma das várias possibilidades cosmológicas derivadas das equações de Friedmann.
Conclusão
As equações de Friedmann são centrais nos esforços da cosmologia para entender a evolução e a estrutura do universo. Essas equações permitem que os cientistas ajustem dados observacionais em modelos teóricos e compreendam melhor fenômenos como o Big Bang, a inflação cósmica e a energia escura.
Aplicando essas equações, os pesquisadores obtiveram importantes insights sobre as idades passadas do universo e potencialmente previram seu comportamento futuro com base em observações atuais e avanços teóricos. Esses modelos, embora construídos com base em simplificações como simetria e isotropia, continuam a fornecer uma sólida estrutura de trabalho na busca por verdades cósmicas.