Doutorado
  1. Mecânica clássica  1.1. Mecânica newtoniana  1.1.1. Leis do movimento na mecânica Newtoniana  1.1.2. Dinâmica de partículas e sistemas  1.1.3. Leis de conservação  1.1.4. Movimento de força central  1.2. Mecânica lagrangiana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Restrições e coordenadas normalizadas  1.2.4. Teorema de Noether  1.3. Mecânica Hamiltoniana  1.3.1. Equações de Hamilton  1.3.2. Conversão canônica  1.3.3. Colchete de Poisson  1.3.4. Variável ação-ângulo  1.4. Mobilidade de corpo rígido  1.4.1. Rotação de corpos rígidos  1.4.2. Tensor de momento de inércia  1.4.3. Equações de Euler na dinâmica de corpos rígidos  1.4.4. Movimento giroscópico  1.5. Caos e Dinâmica Não Linear  1.5.1. Espaço de fase e atrativo  1.5.2. Teoria da Bifurcação e do Caos  1.5.3. Caos Hamiltoniano  1.5.4. Expoente de Lyapunov
  2. Eletrodinâmica  2.1. As equações de Maxwell  2.1.1. Lei de Gauss para eletricidade  2.1.2. Lei de Gauss para o magnetismo  2.1.3. Lei de Faraday  2.1.4. Ampere's Law  2.1.5. Condições de contorno nas equações de Maxwell  2.2. Ondas eletromagnéticas  2.2.1. Equação de onda  2.2.2. Polarização  2.2.3. Reflexão e Refração  2.2.4. Guias de onda e ressonadores  2.3. Relatividade especial  2.3.1. Transformações de Lorentz  2.3.2. Energia e momentum relativísticos  2.3.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.4. Espaço-tempo de Minkowski  2.4. Radiação e dispersão  2.4.1. Radiação de dipolo  2.4.2. Expansão Multipolar  2.4.3. Dispersão de Compton  2.4.4. Dispersão de Thomson e Rayleigh  2.5. Física de Plasma  2.5.1. Tela de Debye  2.5.2. Magnetohidrodinâmica  2.5.3. Instabilidade do plasma  2.5.4. Plasma de Fusão
  3. Mecânica quântica  3.1. Fundamentos da mecânica quântica  3.1.1. Princípios da mecânica quântica  3.1.2. Função de onda e interpretação de probabilidade  3.1.3. Princípio da Incerteza  3.1.4. Tunelamento Quântico  3.2. Equação de Schrödinger  3.2.1. Equação de Schrödinger dependente do tempo  3.2.2. Equação de Schrödinger independente do tempo  3.2.3. Autovalores e autofunções na equação de Schrödinger  3.2.4. Integrais de caminho em mecânica quântica  3.3. Operadores quânticos  3.3.1. Comutadores e observáveis  3.3.2. Operador de momento angular  3.3.3. Ladder Operator  3.3.4. Matrizes de Pauli  3.4. Entrelaçamento quântico e medição  3.4.1. Teorema de Bell  3.4.2. Teletransporte Quântico  3.4.3. Emaranhamento quântico e decoerência quântica na medição  3.4.4. Emaranhamento quântico e medição na mecânica quântica  3.5. Mecânica quântica relativística  3.5.1. Equação de Klein-Gordon  3.5.2. Equação de Dirac  3.5.3. Teoria quântica de campos  3.5.4. Integral de caminho de Feynman
  4. Mecânica estatística e termodinâmica  4.1. Termodinâmica clássica  4.1.1. Leis da Termodinâmica  4.1.2. Ciclo de Carnot  4.1.3. Entropia e energia livre  4.1.4. Eficiência Termodinâmica  4.2. Teoria cinética dos gases  4.2.1. Distribuição de Maxwell–Boltzmann  4.2.2. Fenômeno de transporte  4.2.3. Caminho livre médio  4.2.4. Sistemas fora do equilíbrio na teoria cinética dos gases  4.3. Mecânica Estatística  4.3.1. Microestados e Macroestados  4.3.2. Função de partição  4.3.3. Estatísticas de Bose-Einstein e Fermi-Dirac  4.3.4. Flutuações e correlações  4.4. Transição de fase  4.4.1. Eventos importantes  4.4.2. Teoria de Landau  4.4.3. Modelo de Ising  4.4.4. Teoria do grupo de renormalização
  5. Teoria quântica de campos  5.1. Segunda Quantização  5.1.1. Oscilador harmônico quântico na segunda quantização  5.1.2. Operadores de criação e aniquilação na segunda quantização  5.1.3. Integral de Caminho na Segunda Quantização  5.1.4. Espaço de Fock  5.2. Eletrodinâmica Quântica  5.2.1. Diagramas de Feynman  5.2.2. Renormalização na eletrodinâmica quântica  5.2.3. Invariância de calibre em eletrodinâmica quântica  5.2.4. Polarização do vácuo  5.3. QCD - Cromodinâmica Quântica  5.3.1. Quarks e glúons  5.3.2. Faixa de cores  5.3.3. Lattice QCD  5.3.4. Liberdade assintótica  5.4. Modelo padrão da física de partículas  5.4.1. Teoria eletrofraca  5.4.2. Mecanismo de Higgs  5.4.4. Teorias da Grande Unificação
  6. Relatividade geral e gravidade  6.1. Equações de campo de Einstein  6.1.1. Tensores de Ricci e curvatura escalar  6.1.2. Solução de Schwarzschild  6.1.3. Métrica de Kerr  6.1.4. Ondas gravitacionais  6.2. Cosmologia  6.2.1. Equação de Friedmann  6.2.2. Inflação cósmica  6.2.3. Matéria escura e energia escura  6.2.4. Estrutura em grande escala  6.3. Buracos negros e buracos de minhoca  6.3.1. Horizonte de eventos em buracos negros e buracos de minhoca  6.3.2. Radiação de Hawking  6.3.3. Processo de Penrose  6.3.4. Paradoxo da informação em buracos negros e buracos de minhoca
  7. Física da matéria condensada  7.1. Estrutura cristalina e rede  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Teoria de bandas na estrutura cristalina e redes  7.1.3. Fónons na estrutura cristalina e em redes  7.1.4. Teorema de Bloch  7.2. Supercondutividade  7.2.1. Princípio BCS  7.2.2. Efeito Meissner  7.2.3. Supercondutor de Alta Temperatura  7.2.4. Efeito Josephson

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Redes de Bravais


O conceito de uma rede de Bravais é fundamental no estudo das estruturas cristalinas e da física da matéria condensada. Nomeadas após o físico francês Auguste Bravais, que as descreveu pela primeira vez em 1848, essas redes fornecem uma maneira sistemática de classificar e entender a disposição dos átomos em sólidos cristalinos. Essa disposição desempenha um papel fundamental na determinação das propriedades dos materiais, afetando tudo, desde a condutividade elétrica até a resistência mecânica.

Compreender as estruturas cristalinas começa com a compreensão da rede espacial tridimensional, que é uma disposição repetitiva de pontos no espaço. Esses pontos representam posições equivalentes na estrutura cristalina e fornecem uma estrutura sobre a qual os motivos reais (grupos de átomos) são colocados. O conceito de rede de Bravais refere-se especificamente aos 14 tipos de rede tridimensional únicos que podem ser criados traduzindo um ponto através do espaço, mantendo a simetria e a periodicidade.

O que é uma rede?

Uma rede no contexto das estruturas cristalinas é uma disposição regular e repetitiva de pontos no espaço. Imagine uma grade tridimensional, como uma coleção de caixas de laranja empilhadas em um armazém. Cada canto de uma caixa de laranja corresponde a um ponto de rede, e toda a coleção pode se estender infinitamente em todas as direções. Esses pontos são conectados por vetores que definem o tamanho e a forma da unidade repetitiva.

Os parâmetros que definem a rede incluem as constantes de rede, que são os comprimentos das arestas da célula unitária e os ângulos entre essas arestas. Essas constantes ajudam a descrever a periodicidade e a orientação do cristal.

Compreendendo as redes de Bravais

As 14 redes de Bravais são classificadas com base em suas propriedades de simetria e nos comprimentos e ângulos das células unitárias. Elas podem ser agrupadas em sete sistemas cristalinos:

  • Cubo
  • Quadrado
  • Ortorrômbico
  • Hexagonal
  • Principalmente rómbico
  • Monoclínico
  • Triclínico

Cada sistema possui diferentes redes de Bravais, dependendo das operações de simetria permitidas, como rotação e reflexão.

Sete sistemas cristalinos e suas redes de Bravais

Sistema cúbico

No sistema cúbico, todas as arestas da célula unitária têm o mesmo comprimento, e todos os ângulos são de 90 graus. O sistema cúbico possui três redes de Bravais:

  • Cubo Simples (SC)
  • Cúbico de Corpo Centrado (BCC)
  • Cúbico de Face Centrada (FCC)
        
Rede Cúbica Simples:
- Posição dos pontos: cantos do cubo
- Número de átomos por célula unitária: 1

Rede Cúbica de Corpo Centrado:
- Posição dos pontos: cantos e um ponto central
- Número de átomos por célula unitária: 2

Rede Cúbica de Face Centrada:
- Posição dos pontos: cantos e centros das faces
- Número de átomos por célula unitária: 4

Sistema tetragonal

O sistema tetragonal também tem ângulos de 90 graus, mas duas arestas são iguais e a terceira é diferente. Estes incluem:

  • Tetragonal Simples
  • Tetragonal de Corpo Centrado
        
Rede Tetragonal Simples:
- Posição dos pontos: cantos do prisma
- Número de átomos por célula unitária: 1

Rede Tetragonal de Corpo Centrado:
- Posição dos pontos: cantos e centro
- Número de átomos por célula unitária: 2

Sistema ortorrômbico

Em uma rede ortorrômbica, todos os ângulos permanecem em 90 graus, mas todas as arestas são desiguais. Estes incluem:

  • Ortorrômbica Simples
  • Ortorrômbica Bases Centradas
  • Ortorrômbica de Corpo Centrado
  • Ortorrômbica de Face Centrada
        
Rede Ortorrômbica Simples:
- Posição dos pontos: cantos
- Número de átomos por célula unitária: 1

Rede Ortorrômbica Bases Centradas:
- Posição dos pontos: cantos, mais duas faces opostas
- Número de átomos por célula unitária: 2

Rede Ortorrômbica de Corpo Centrado:
- Posição dos pontos: cantos e um centro
- Número de átomos por célula unitária: 2

Rede Ortorrômbica de Face Centrada:
- Posição dos pontos: cantos e centros de todas as faces
- Número de átomos por célula unitária: 4

Sistema hexagonal

No sistema hexagonal, há duas arestas iguais de 120 graus, e a terceira é diferente e perpendicular às demais. Esse sistema possui apenas uma rede de Bravais:

  • Hexagonal Simples
        
Rede Hexagonal Simples:
- Posição dos pontos: cantos e centro da base do prisma hexagonal
- Número de átomos por célula unitária: 2

Sistema rómbico

Também conhecido como sistema trigonal, todos os lados são iguais, mas os ângulos não são de 90 graus. Inclui:

  • Romboédrica Simples
        
Rede Romboédrica Simples:
- Posição dos pontos: cantos de um romboedro
- Número de átomos por célula unitária: 1

Sistema monoclínico

O sistema monoclínico possui um ângulo único que não é de 90 graus, enquanto os outros estão em ângulos retos. Estes incluem:

  • Monoclínica Simples
  • Monoclínica Bases Centradas
        
Rede Monoclínica Simples:
- Posição dos pontos: cantos
- Número de átomos por célula unitária: 1

Rede Monoclínica Bases Centradas:
- Posição dos pontos: cantos e duas faces opostas
- Número de átomos por célula unitária: 2

Sistema triclínico

O sistema triclínico não possui ângulos retos e todas as arestas são desiguais. Inclui:

  • Triclínica Simples
        
Rede Triclínica Simples:
- Posição dos pontos: cantos
- Número de átomos por célula unitária: 1

Representações visuais dos sistemas de rede

A ilustração acima apresenta uma visão simplificada de uma rede cúbica, onde cada vértice do cubo representa um ponto de rede.

Aplicações e importância das redes de Bravais

Compreender as redes de Bravais é importante para muitos ramos da ciência e tecnologia. Em cristalografia, elas fornecem a base para identificar e classificar estruturas cristalinas. Em ciência dos materiais, conhecer a estrutura ajuda a prever as propriedades dos materiais. Por exemplo:

  • A disposição dos átomos em um metal pode determinar sua condutividade elétrica e térmica.
  • O polimorfismo, ou a capacidade de uma substância adotar mais de uma estrutura cristalina, pode afetar a solubilidade e a eficácia de um medicamento em medicina.

Conclusão

Estudar a rede de Bravais proporciona uma compreensão detalhada de como os átomos se empilham e se repetem em uma estrutura cristalina. Esse conhecimento é a base da física da matéria condensada e proporciona insights essenciais que levam ao desenvolvimento de novos materiais, produtos farmacêuticos e várias tecnologias. Ao reconhecer estruturas de rede fundamentais, cientistas e engenheiros podem manipular e otimizar materiais para propriedades desejadas, levando a inovações que impactam a vida cotidiana.


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