Фононы в кристаллической структуре и решётке

В области физики конденсированных сред важно понимать поведение материалов на атомарном уровне. Ключевой концепцией, помогающей нам понять тепловые свойства, распространение звука и даже сверхпроводимость в материалах, является концепция «фононов». Ниже мы подробно рассмотрим фононы, чтобы всесторонне изучить их роль в кристаллических структурах и решётках.

Понимание колебаний решётки

В основе фононов лежит концепция колебаний решётки. Кристаллы состоят из атомов или молекул, упорядоченных в повторяющейся геометрической структуре, известной как решётка. Каждая точка в решётке может рассматриваться как равновесное положение для атома. Однако атомы являются динамичными объектами; они не остаются неподвижными в равновесных положениях, а колеблются вокруг них.

Эти колебания вызваны тепловой энергией. По мере повышения температуры увеличивается амплитуда колебаний этих атомов. Важно отметить, что колебания не являются случайными, а происходят коллективно и могут распространяться по решётке.

Определение фононов

Фононы — это квантуемые единицы вибрационной энергии. Они для колебаний в жёстких решётчатых структурах то же, что и фотоны для световых волн. Концепция фононов важна, потому что она вводит в картину квантовую механику, позволяя нам описывать колебания в кристаллической решётке в квантуемой форме.

По сути, фонон — это элементарное вибрационное движение, вызывающее периодическое, коллективное колебание атомов в кристаллической решётке. Точно так же, как фотоны представляют собой пакеты световой энергии, фононы можно рассматривать как пакеты вибрационной энергии.

Типы фононов

Фононы можно грубо классифицировать на основе их поляризации и степени распространения:

• Акустические фононы: Эти фононы связаны со звуковыми волнами и имеют длины волн больше, чем расстояние между поверхностями решётки. Акустические фононы заставляют всю решётку двигаться вместе, так же как звуковые волны распространяются в воздухе. Имеют, как правило, низкую энергию и отвечают за передачу звука и тепла через материал.
• Оптические фононы: Эти фононы включают относительное движение между соседними атомами в решётке и обычно имеют более высокие энергии, чем акустические фононы. Оптические фононы, как правило, возникают на более высоких частотах и могут взаимодействовать с электромагнитными полями, именно поэтому их считают «оптическими».

Дисперсионное соотношение фононов

Дисперсионные соотношения фононов описывают, как частота фононной волны изменяется с её волновым вектором. Понимание этих соотношений необходимо для прогнозирования таких свойств материалов, как теплопроводность и теплоемкость.

Для простоты рассмотрим одномерную решётку с одним атомом в элементарной ячейке. Динамические уравнения для таких колебаний могут быть записаны следующим образом:

d²u/dt² = C(u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n)

Здесь u_n — смещение n-го атома от его равновесного положения, а C — константа силы между атомами.

Решение этого дифференциального уравнения с использованием плосковолнового решения u_n(t) = A e^{i(kna - ωt)} дает следующее дисперсионное соотношение:

ω = 2√(C/m) |sin(ka/2)|

Это уравнение показывает, что частота ω является функцией волнового вектора k, и это приводит к синусоидальному соотношению, описывающему распространение фононов вдоль решётки.

Визуализация фононов

Давайте попробуем представить себе простую одномерную цепочку атомов и посмотрим, как они могут демонстрировать фононное поведение. Предположим, что каждая точка — это атом, соединённый пружинами, которые представляют силы между ними.

В этой диаграмме круги представляют атомы, а линии, соединяющие их, символизируют упругие силы (как пружины). Фонон проявится как колебание положения этих атомов, которое распространяется по решётке.

Роль фононов в теплопроводности

Фононы играют важную роль в тепловых свойствах материалов. В частности, они важны при обсуждении теплопроводности, которая является мерой способности материала проводить тепло.

В неметаллическом твёрдом теле основными носителями тепловой энергии являются фононы. Перенос тепловой энергии между атомами включает передачу фононами своей энергии соседним атомам, эффективно рассеивая тепло через решётку.

Эффективность этого переноса зависит от таких факторов, как средняя длина свободного пробега фонона, которая является средним расстоянием, пройденным фононом до рассеивания. Эти события рассеяния могут быть вызваны несовершенствами в решётке, взаимодействиями с другими фононами (фонон-фононные взаимодействия) или пределами.

Фонон-фононные взаимодействия

Для того чтобы фононы легко распространялись по решётке и проводили тепло, идеальны сильно упорядоченные структуры с минимальными возмущениями. Однако на самом деле взаимодействия между фононами, называемые фонон-фононными взаимодействиями, играют важную роль.

Два важных типа фонон-фононных взаимодействий называются нормальными процессами и процессами Умклаппа. Оба включают трёхфононное взаимодействие, но они по-разному влияют на теплопроводность.

• Нормальные процессы (n-процессы): Эти взаимодействия сохраняют кристаллический импульс фононов. Хотя они не приводят непосредственно к тепловому сопротивлению, они способствуют термализации, перераспределяя импульс между фононами.
• Процессы Умклаппа (U-процессы): Эти взаимодействия фононов приводят к изменению кристаллического импульса на вектор обратной решётки. U-процессы являются основными факторами, влияющими на тепловое сопротивление, потому что они выводят импульс из нормального направления потока, влияя на теплопроводность.

Фононы в сверхпроводниках

Удивительно, но фононы также играют ключевую роль в другой передовой области физики: сверхпроводимости. В обычных сверхпроводниках образование пар Купера ниже критической температуры позволяет материалу проводить электричество без какого-либо сопротивления.

Это удивительное явление в значительной степени вызвано взаимодействиями, опосредованными решёткой. По мере того, как электрон проходит через решётку, он может вызвать небольшое искажение из-за взаимодействия с вибрациями атомной решётки. Это местное искажение может притянуть другой электрон, создавая косвенное притяжение, облегчаемое фононами.

Заключение

Путь к пониманию фононов многое рассказывает о поведении материалов на атомарном и макроскопическом уровне. Фононы предоставляют основу для анализа теплопроводности, понимания механических свойств и даже исследования интересного мира сверхпроводников. Хотя фононы представляют собой фундаментальную концепцию в физике твёрдого тела, их эффекты охватывают различные области, предоставляя объяснения широкого спектра явлений в материаловедении и физике конденсированных сред.

Комментарии