Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Formulación covariante del momentum


La formulación covariante del movimiento es un concepto hermoso y poderoso utilizado en el campo de la cinemática avanzada dentro de la mecánica clásica. Este enfoque proporciona un marco que es particularmente útil para avanzar más allá de la física newtoniana, permitiéndonos introducir conceptos de la teoría de la relatividad cuando sea necesario. Esta formulación puede ser compleja, pero al profundizar en sus componentes y aplicaciones, agrega profundidad a nuestra comprensión del movimiento.

Para entender esto, recordemos primero qué queremos decir con movimiento. En la mecánica clásica, el movimiento describe el cambio en la posición de un objeto con respecto al tiempo. Tradicionalmente, el movimiento se describe respecto a un sistema de coordenadas fijo. Sin embargo, en la formulación covariante, describimos el movimiento de una manera que es independiente del sistema de coordenadas elegido. Esto significa que nuestra descripción sigue siendo válida incluso si cambiamos el sistema de coordenadas, haciendo que las leyes de la física sean inmutables y universales.

Introducción a la covarianza

El término "covariante" en este contexto se refiere a la forma en que las leyes o las ecuaciones permanecen verdaderas bajo cambios de coordenadas. Este es un requisito básico de la teoría de la relatividad general, que insiste en que las leyes de la física deben ser las mismas para todos los observadores, independientemente de su movimiento. En términos matemáticos, cuando las ecuaciones que describen un sistema físico retienen su forma bajo cambios de coordenadas, se dice que son "covariantes".

Por ejemplo, consideremos la simple ecuación del movimiento:

F = ma

Aquí, F representa la fuerza, m es la masa y a es la aceleración. En la formulación covariante, expresamos esta ecuación en términos de tensores, que son entidades geométricas que permanecen sin cambios bajo transformaciones de coordenadas.

Fundamentos de los tensores y el cálculo tensorial

Los tensores son generalizaciones de los escalares y vectores. Mientras que los escalares se representan por un solo número (por ejemplo, temperatura, masa) y los vectores se describen por una lista ordenada de números (por ejemplo, velocidad en las direcciones x, y y z), los tensores pueden considerarse como una matriz de números que se transforman de una manera particular bajo cambios de coordenadas.

Un tensor particularmente importante en la formulación del movimiento es el tensor métrico, usualmente denotado como g μν. El tensor métrico proporciona información sobre la geometría del espacio y el tiempo y nos permite medir distancias y ángulos.

A B

En esta representación visual, un objeto se mueve desde el punto A al punto B a lo largo de una trayectoria curva en una variedad espacio-temporal. La curvatura y la trayectoria seguida son factores en cómo los tensores pueden usarse para describir el movimiento.

Papel de la inercia y la fuerza

En la mecánica clásica, la inercia es una resistencia de un objeto a los cambios en su momento. Está codificada en la masa de un objeto. En la formulación covariante, la inercia se representa utilizando el concepto de un cuatrivector para el momento. Específicamente, el cuatrimomento se da como:

p μ = (E/c, p x, p y, p z)

Aquí, E es la energía del objeto, c es la velocidad de la luz, y (p x, p y, p z) son los componentes del momento. De manera similar, la fuerza se reemplaza por el tensor de cuatrifuerza, que obedece las leyes de conservación de la energía y el momentum en el espacio-tiempo.

Ecuaciones del movimiento

En la formulación covariante, las ecuaciones del movimiento pueden escribirse como ecuaciones geodésicas, que describen la trayectoria que minimiza la acción determinada por el intervalo espacio-temporal. En esencia, las partículas siguen trayectorias en el espacio-tiempo, conocidas como geodésicas, que maximizan o minimizan el tiempo propio, un concepto que generaliza la idea de distancia.

La ecuación geodésica se da como:

∂ 2 x λ /dτ 2 + Γ λ μν (dx μ /dτ)(dx ν /dτ) = 0

Aquí, x λ son las coordenadas, τ es el tiempo propio, y Γ λ μν son los símbolos de Christoffel derivados del tensor métrico, que representan la conexión o información de curvatura del espacio-tiempo.

Ejemplo de visualización

trayectoria de menor acción

Considere un satélite orbitando un planeta. La circunferencia verde representa una geodésica, la trayectoria natural determinada por la curvatura del espacio-tiempo alrededor de la masa del planeta. El arco rojo representa una posible trayectoria que podría tomar el satélite si entra en juego una fuerza externa o un sistema de propulsión, alterando su trayectoria natural.

Las métricas y las leyes de la física

Mediante el tensor métrico, se puede describir con precisión la forma y geometría del espacio-tiempo en el que se mueven los objetos. Luego, las reglas que gobiernan el movimiento pueden incorporar aspectos de la gravedad y otras fuerzas, al examinar cómo estos campos distorsionan el métrico. Considere el métrico de Schwarzschild, que describe el espacio-tiempo alrededor de una masa esférica no giratoria:

ds 2 = -(1 - 2GM/c 2 r)dt 2 + (1 - 2GM/c 2 r) -1 dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2(θ)dφ 2

Este tipo de expresión nos permite calcular la trayectoria o geodésica de las partículas o la luz en el campo gravitacional ejercido por una masa M.

Aplicaciones prácticas y ejemplos

Las formulaciones covariantes tienen aplicaciones importantes en campos como el electromagnetismo, la relatividad general y la teoría cuántica de campos. Por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell en el electromagnetismo, que describen cómo los campos eléctricos y magnéticos se propagan e interactúan, pueden reescribirse elegantemente en forma covariante usando el tensor electromagnético:

F μν = ∂ μ A ν - ∂ ν A μ

Aquí, F μν es el tensor del campo electromagnético, y A μ es el cuatro-potencial. Tales fórmulas muestran el poder y la flexibilidad de utilizar expresiones covariantes para integrar diferentes leyes físicas.

Resumen de importancia

La formulación covariante del movimiento se presenta como una puerta de entrada para entender las complejidades del universo físico más allá de la simple mecánica newtoniana. Proporciona una manera robusta e inductiva de describir la dinámica de sistemas en cualquier sistema de coordenadas, incorporando los efectos de la gravedad, el electromagnetismo y más a través de elegantes descripciones matemáticas. A medida que extendemos estos conceptos a otras áreas de la física, desde la relatividad especial y general hasta la mecánica cuántica, el lenguaje de tensores y formulaciones covariantes se vuelve indispensable, vinculando la geometría del marco espacio-temporal con las energías y fuerzas que actúan sobre él.

Al profundizar en esta formulación, los científicos e ingenieros empujan los límites de la tecnología, diseñando sistemas como el GPS que tienen en cuenta correctamente los efectos relativistas, y configurando escenarios en la exploración e investigación del espacio profundo que dependen de una comprensión precisa de los movimientos y fuerzas en escalas cósmicas vastas y variadas.


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Formulación covariante del momentum

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