Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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Formulação covariante do momento


A formulação covariante do movimento é um conceito belo e poderoso usado no campo da cinemática avançada dentro da mecânica clássica. Esta abordagem fornece uma estrutura particularmente útil para ir além da física newtoniana, permitindo-nos introduzir conceitos da teoria da relatividade quando necessário. Esta formulação pode ser complexa, mas ao aprofundar-se em seus componentes e aplicações, acrescenta profundidade à nossa compreensão do movimento.

Para entender isso, vamos primeiro relembrar o que queremos dizer com movimento. Na mecânica clássica, o movimento descreve a mudança de posição de um objeto em relação ao tempo. Tradicionalmente, o movimento é descrito em relação a um sistema de coordenadas fixo. No entanto, na formulação covariante, descrevemos o movimento de uma forma que é independente do sistema de coordenadas escolhido. Isso significa que nossa descrição permanece válida mesmo que mudemos o sistema de coordenadas, tornando as leis da física imutáveis e universais.

Introdução à covariância

O termo "covariante" neste contexto refere-se à forma das leis ou equações permanecendo verdadeiras sob mudanças de coordenadas. Isto é um requisito básico da teoria da relatividade geral, que insiste que as leis da física devem ser as mesmas para todos os observadores, independentemente de seu movimento. Em termos matemáticos, quando as equações que descrevem um sistema físico mantêm sua forma sob mudanças de coordenadas, diz-se que são "covariantes".

Por exemplo, considere a simples equação do movimento:

F = ma

Aqui, F representa a força, m é a massa e a é a aceleração. Na formulação covariante, expressamos esta equação em termos de tensores, que são entidades geométricas que permanecem inalteradas sob transformações de coordenadas.

Noções básicas de tensores e cálculo tensorial

Tensores são generalizações de escalares e vetores. Enquanto escalares são representados por um único número (por exemplo, temperatura, massa) e vetores são descritos por uma lista ordenada de números (por exemplo, velocidade nas direções x, y e z), tensores podem ser pensados como grades de números que se transformam de uma maneira particular sob mudanças de coordenadas.

Um tensor que é particularmente importante na formulação do movimento é o tensor métrico, geralmente denotado como g μν. O tensor métrico fornece informações sobre a geometria do espaço e do tempo e nos permite medir distâncias e ângulos.

A B

Nesta representação visual, um objeto move-se do ponto A ao ponto B ao longo de um caminho curvo em um coletor espaço-tempo. A curvatura e o caminho seguido são fatores em como tensores podem ser usados para descrever o movimento.

Papel da inércia e da força

Na mecânica clássica, a inércia é a resistência de um objeto a mudanças em seu momento. Está codificada na massa de um objeto. Na formulação covariante, a inércia é representada usando o conceito de um quadrivetor para o momento. Especificamente, o quadrimomento é dado como:

p μ = (E/c, p x, p y, p z)

Aqui, E é a energia do objeto, c é a velocidade da luz, e (p x, p y, p z) são os componentes do momento. De forma semelhante, a força é substituída pelo tensor de quatro-força, que obedece às leis de conservação de energia e momento no espaço-tempo.

Equações de movimento

Na formulação covariante, as equações de movimento podem ser escritas como equações geodésicas, que descrevem o caminho que minimiza a ação determinada pelo intervalo do espaço-tempo. Em essência, as partículas seguem caminhos no espaço-tempo, conhecidos como geodésicas, que maximizam ou minimizam o tempo próprio, um conceito que generaliza a ideia de distância.

A equação geodésica é dada como:

∂ 2 x λ /dτ 2 + Γ λ μν (dx μ /dτ)(dx ν /dτ) = 0

Aqui, x λ são as coordenadas, τ é o tempo próprio, e Γ λ μν são os símbolos de Christoffel derivados do tensor métrico, que representam a conexão ou informação de curvatura do espaço-tempo.

Exemplo de visualização

caminho de menor ação

Considere um satélite orbitando um planeta. A circunferência verde representa uma geodésica, a trajetória natural determinada pela curvatura do espaço-tempo ao redor da massa do planeta. O arco vermelho representa uma trajetória possível que o satélite poderia seguir se uma força externa ou sistema de propulsão entrar em jogo, alterando seu caminho natural.

Métricas e as leis da física

Através do tensor métrico, pode-se descrever precisamente a forma e a geometria do espaço-tempo em que os objetos se movem. As regras que regem o movimento podem então incorporar aspectos de gravidade e outras forças, examinando como esses campos distorcem a métrica. Considere a métrica de Schwarzschild, que descreve o espaço-tempo ao redor de uma massa esférica não rotativa:

ds 2 = -(1 - 2GM/c 2 r)dt 2 + (1 - 2GM/c 2 r) -1 dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 (θ)dφ 2

Esse tipo de expressão nos permite calcular o caminho ou geodésica de partículas ou luz no campo gravitacional exercido por uma massa M.

Aplicações práticas e exemplos

As formulações covariantes têm aplicações importantes em campos como eletromagnetismo, relatividade geral e teoria quântica de campos. Por exemplo, as equações de Maxwell no eletromagnetismo, que descrevem como os campos elétrico e magnético se propagam e interagem, podem ser elegantemente reescritas na forma covariante usando o tensor eletromagnético:

F μν = ∂ μ A ν - ∂ ν A μ

Aqui, F μν é o tensor de campo eletromagnético, e A μ é o quadrivetor potencial. Tais fórmulas mostram o poder e a flexibilidade de usar expressões covariantes para integrar diferentes leis físicas.

Resumo da importância

A formulação covariante do movimento representa uma porta para a compreensão das complexidades do universo físico além da mecânica newtoniana simples. Ela fornece uma maneira robusta e indutiva de descrever as dinâmicas de sistemas em qualquer sistema de coordenadas, incorporando os efeitos da gravidade, eletromagnetismo e mais através de descrições matemáticas elegantes. À medida que estendemos esses conceitos para outras áreas da física, da relatividade especial e geral à mecânica quântica, a linguagem dos tensores e formulações covariantes torna-se indispensável, ligando a geometria da estrutura do espaço-tempo às energias e forças que agem sobre ela.

Ao se aprofundar nessa formulação, cientistas e engenheiros ampliam os limites da tecnologia, projetando sistemas como o GPS que levam corretamente em conta os efeitos relativísticos, e esculpindo cenários na exploração e pesquisa do espaço profundo que dependem de uma compreensão precisa dos movimentos e forças em escalas cósmicas vastas e variadas.


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Formulação covariante do momento

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