Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Variable acción-ángulo


En el estudio de la mecánica clásica, el concepto de variables de acción-ángulo proporciona un método poderoso para resolver y entender sistemas Hamiltonianos. Este tema es particularmente importante cuando se trata de sistemas integrables, que pueden resolverse exactamente. Las variables de acción-ángulo proporcionan información sobre la dinámica de movimientos periódicos o casi periódicos que a menudo se encuentran en sistemas mecánicos.

Entendiendo los sistemas Hamiltonianos

Antes de profundizar en las variables de acción-ángulo, es necesario entender la mecánica Hamiltoniana, que es un desarrollo del marco de la mecánica clásica. La función Hamiltoniana representa la energía total de un sistema, que se expresa como:

H(p, q) = T(p) + V(q)

donde T(p) es la energía cinética, que depende del momento p, y V(q) es la energía potencial, que depende de la posición q.

El concepto de variable acción-ángulo

La variable acción-ángulo (J, θ) es una transformación canónica de las coordenadas del espacio de fases, comúnmente utilizada en sistemas que presentan movimiento periódico. La variable de acción J es una constante del movimiento y está relacionada con la región encerrada por una órbita cerrada en el espacio de fases. La variable de ángulo θ evoluciona linealmente con el tiempo.

Variable de acción (J)

La variable de acción J se calcula como la integral del momento sobre un ciclo completo de las coordenadas generalizadas:

J = ∮ p dq

Esto representa la región encerrada por la trayectoria en el espacio de fases. Para un oscilador armónico simple, este concepto puede entenderse mejor mediante un ejemplo visual, donde la trayectoria forma una elipse en el espacio de fases.

Trayectoria

Variable de ángulo (θ)

La variable de ángulo θ representa la fase del sistema, que está asociada con la posición a lo largo de la trayectoria de la órbita cerrada. Evoluciona con el tiempo de la siguiente manera:

θ(t) = θ(0) + ωt

donde ω es la frecuencia angular del sistema y θ(0) es la fase inicial.

Transformaciones canónicas e integración

La transformación de las coordenadas originales (p, q) a las variables de acción-ángulo (J, θ) es una transformación canónica, que preserva la estructura de las ecuaciones de Hamilton. Estas transformaciones simplifican enormemente las ecuaciones de movimiento, especialmente en sistemas integrables.

En un sistema integrable, es posible encontrar tantos integrales del movimiento como grados de libertad haya. Esto permite resolver completamente el sistema en términos de la variable de acción-ángulo.

Resolviendo sistemas Hamiltonianos usando variables de acción-ángulo

Consideremos un sistema Hamiltoniano donde el movimiento es periódico, como el oscilador armónico simple. El Hamiltoniano en términos de las variables de acción y ángulo se convierte en:

H = H(J)

Como H no depende explícitamente de θ, la dinámica se reduce a lo siguiente:

J = constante
θ(t) = ωt + θ(0)

Usar variables de acción-ángulo separa completamente las ecuaciones, dando una solución analítica.

Ejemplo: oscilador armónico simple

Oscilador armónico simple con Hamiltoniano:

H = (p^2 / 2m) + (1/2) kq^2

La variable de acción-ángulo puede convertirse en una función de dimensión finita. Integrando la acción del oscilador J en un período se obtiene:

J = (1/2π) ∮ p dq

Para este sistema J está relacionado con la energía E del sistema de la siguiente manera:

J = E / ω

Convertir esto a una forma de variables de acción-ángulo permite soluciones más simples para la dinámica sin referencia directa a q o p.

Aplicaciones de las variables de acción-ángulo

Las variables de acción-ángulo son invaluables para el análisis de sistemas con comportamiento periódico, como la mecánica celeste, los orbitales atómicos en mecánica cuántica y las moléculas en mecánica estadística. Simplifican problemas complejos en formas manejables.

Por ejemplo, en mecánica celeste, el movimiento de los planetas puede describirse con variables de acción-ángulo, proporcionando información sobre la dinámica orbital a lo largo de escalas de tiempo largas.

Ejemplo: órbitas Keplerianas

Un ejemplo clásico es el uso de variables de acción-ángulo para describir órbitas en un potencial Kepleriano. Aquí, las órbitas son elipses, y la variable de ángulo describe naturalmente el progreso de la órbita.

Camino orbital

Beneficios y limitaciones

La principal ventaja de las variables de acción-ángulo es su capacidad para transformar sistemas dinámicos complejos en formas más tratables. Esta simplificación ayuda significativamente en la comprensión cualitativa de la dinámica del sistema.

Sin embargo, es importante notar que las variables de acción-ángulo son más efectivas en sistemas integrables. Los sistemas no integrables o caóticos no pueden describirse fácilmente usando estas variables, lo cual limita su aplicabilidad.

Conclusión

Las variables de acción-ángulo son una herramienta importante en la mecánica clásica, proporcionando un método claro y efectivo para analizar sistemas periódicos y cuasi-periódicos. Al convertir sistemas Hamiltonianos complejos en formas canónicas más simples, proporcionan profundas ideas sobre la naturaleza de los sistemas mecánicos.

A través del estudio continuo y la aplicación, la efectividad de las variables de acción-ángulo continúa expandiéndose en situaciones tanto teóricas como prácticas, fortaleciendo aún más su importancia en el campo de la física.


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