Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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Variável ação-ângulo


No estudo da mecânica clássica, o conceito de variáveis ação-ângulo fornece um método poderoso para resolver e compreender sistemas Hamiltonianos. Este tema é particularmente importante ao lidar com sistemas integráveis, que podem ser resolvidos exatamente. As variáveis ação-ângulo fornecem uma visão sobre a dinâmica de movimentos periódicos ou quase periódicos frequentemente encontrados em sistemas mecânicos.

Compreendendo sistemas Hamiltonianos

Antes de mergulhar mais fundo nas variáveis ação-ângulo, é necessário compreender a mecânica Hamiltoniana, que é um desenvolvimento do quadro de mecânica clássica. A função Hamiltoniana representa a energia total de um sistema, que é expressa como:

H(p, q) = T(p) + V(q)

onde T(p) é a energia cinética, que depende do momento p, e V(q) é a energia potencial, que depende da posição q.

O conceito de variável ação-ângulo

A variável ação-ângulo (J, θ) é uma transformação canônica de coordenadas do espaço de fase, comumente usada em sistemas que exibem movimento periódico. A variável ação J é uma constante do movimento e está relacionada à região fechada por uma órbita fechada no espaço de fase. A variável ângulo θ evolui linearmente com o tempo.

Variável ação (J)

A variável ação J é calculada como a integral do momento sobre um ciclo completo das coordenadas generalizadas:

J = ∮ p dq

Isso representa a região fechada pela trajetória no espaço de fase. Para um oscilador harmônico simples, esse conceito pode ser melhor compreendido através de um exemplo visual, onde a trajetória forma uma elipse no espaço de fase.

Trajetória

Variável ângulo (θ)

A variável ângulo θ representa a fase do sistema, que está associada à posição ao longo da trajetória da órbita fechada. Ela evolui com o tempo da seguinte forma:

θ(t) = θ(0) + ωt

onde ω é a frequência angular do sistema e θ(0) é a fase inicial.

Transformações canônicas e integração

A transformação das coordenadas originais (p, q) para as variáveis ação-ângulo (J, θ) é uma transformação canônica, que preserva a estrutura das equações de Hamilton. Essas transformações simplificam muito as equações de movimento, especialmente em sistemas integráveis.

Em um sistema integrável, é possível encontrar tantas integrais do movimento quanto há graus de liberdade. Isso permite que o sistema seja resolvido completamente em termos da variável ação-ângulo.

Resolvendo sistemas Hamiltonianos usando variáveis ação-ângulo

Considere um sistema Hamiltoniano onde o movimento é periódico, tal como o oscilador harmônico simples. O Hamiltoniano em termos das variáveis ação e ângulo torna-se:

H = H(J)

Como H não depende explicitamente de θ, a dinâmica se reduz ao seguinte:

J = constante
θ(t) = ωt + θ(0)

Usar variáveis ação-ângulo separa completamente as equações, fornecendo uma solução analítica.

Exemplo: oscilador harmônico simples

Oscilador harmônico simples com Hamiltoniano:

H = (p^2 / 2m) + (1/2) kq^2

A variável ação-ângulo pode ser convertida em uma função de dimensão finita. Integrar a ação do oscilador J por um período dá:

J = (1/2π) ∮ p dq

Para este sistema, J está relacionado à energia E do sistema da seguinte maneira:

J = E / ω

Converter isso para uma forma de variáveis ação-ângulo permite soluções mais simples para a dinâmica sem referência direta a q ou p.

Aplicações de variáveis ação-ângulo

As variáveis ação-ângulo são inestimáveis para a análise de sistemas com comportamento periódico, como mecânica celeste, orbitais atômicos em mecânica quântica e moléculas em mecânica estatística. Elas simplificam problemas complexos em formas manejáveis.

Por exemplo, na mecânica celeste, o movimento dos planetas pode ser descrito com variáveis ação-ângulo, fornecendo informações sobre a dinâmica orbital ao longo de longos períodos de tempo.

Exemplo: órbitas Keplerianas

Um exemplo clássico é o uso de variáveis ação-ângulo para descrever órbitas em um potencial Kepleriano. Aqui, as órbitas são elipses, e a variável ângulo descreve naturalmente o avanço da órbita.

Caminho orbital

Benefícios e limitações

A principal vantagem das variáveis ação-ângulo é sua capacidade de transformar sistemas dinâmicos complexos em formas mais tratáveis. Esta simplificação ajuda significativamente na compreensão qualitativa da dinâmica do sistema.

No entanto, é importante notar que as variáveis ação-ângulo são mais eficazes em sistemas integráveis. Sistemas não integráveis ou caóticos não podem ser facilmente descritos usando essas variáveis, o que limita sua aplicabilidade.

Conclusão

As variáveis ação-ângulo são uma ferramenta importante na mecânica clássica, fornecendo um método claro e eficaz para analisar sistemas periódicos e quase periódicos. Ao converter sistemas Hamiltonianos complexos em formas canônicas mais simples, elas oferecem insights profundos sobre a natureza dos sistemas mecânicos.

Através de estudos e aplicações contínuas, a eficácia das variáveis ação-ângulo continua a se expandir em situações teóricas e práticas, fortalecendo ainda mais sua importância no campo da física.


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