Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Cinemática Avanzada


La cinemática, una rama importante de la mecánica clásica, se adentra profundamente en los detalles del movimiento, enfocándose solo en aspectos del movimiento tales como el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, sin considerar las fuerzas o masas que lo afectan. La cinemática avanzada extiende los principios básicos aprendidos en la física de pregrado explorando sistemas complejos e introduciendo herramientas matemáticas más sofisticadas para analizar el movimiento en tres dimensiones.

Ecuaciones cinemáticas para el movimiento lineal

En el movimiento lineal unidimensional, la relación entre desplazamiento (s), velocidad inicial (u), velocidad final (v), aceleración (a) y tiempo (t) se puede expresar mediante las siguientes ecuaciones:

        v = u + at s = ut + 1/2at^2 v^2 = u^2 + 2as

Estas ecuaciones son fundamentales para analizar el movimiento en línea recta. Cuando se considera la cinemática avanzada, se extienden estos conceptos básicos al movimiento multidimensional.

Cinemática vectorial

En la cinemática avanzada, los vectores son necesarios para describir el movimiento en dos o tres dimensiones. La velocidad y la aceleración se convierten en cantidades vectoriales, descritas como:

        (vec{v} = frac{dvec{r}}{dt}) (vec{a} = frac{dvec{v}}{dt})

Aquí, (vec{r}) es el vector de posición. En el sistema de coordenadas cartesianas, los vectores pueden escribirse como:

        (vec{r} = xhat{i} + yhat{j} + zhat{k}) (vec{v} = frac{dx}{dt}hat{i} + frac{dy}{dt}hat{j} + frac{dz}{dt}hat{k}) (vec{a} = frac{d^2x}{dt^2}hat{i} + frac{d^2y}{dt^2}hat{j} + frac{d^2z}{dt^2}hat{k})

Movimiento de proyectiles

El movimiento de proyectiles es un tipo de movimiento experimentado por un objeto lanzado cerca de la superficie de la Tierra, moviéndose a lo largo de un camino curvo bajo la acción solo de la gravedad. El movimiento bidimensional se puede describir sin resistencia al aire de la siguiente manera:

        x = u_xt y = u_yt - frac{1}{2}gt^2

Aquí, (u_x) y (u_y) son las componentes de la velocidad inicial en las direcciones (x) e (y), respectivamente. La trayectoria del proyectil es una parábola, que es la característica principal del movimiento de proyectiles.

Movimiento no lineal y curvilíneo

En la cinemática avanzada, consideramos el movimiento que no está en línea recta. Este estudio implica el uso de coordenadas curvilíneas para describir el movimiento a lo largo de una curva en el plano o en el espacio.

Al tratar con el movimiento curvilíneo, es útil trabajar con coordenadas polares ((r, theta)). La posición en coordenadas polares es:

        (vec{r} = rhat{e}_r)

La velocidad y la aceleración en coordenadas polares se pueden obtener de la siguiente manera:

        (vec{v} = frac{dr}{dt}hat{e}_r + rfrac{dtheta}{dt}hat{e}_theta) (vec{a} = (frac{d^2r}{dt^2} - r(frac{dtheta}{dt})^2)hat{e}_r + (rfrac{d^2theta}{dt^2} + 2frac{dr}{dt}frac{dtheta}{dt})hat{e}_theta)

Movimiento rotacional

La rotación alrededor de un eje fijo es una parte intrínseca de la cinemática avanzada. El desplazamiento angular, la velocidad angular y la aceleración angular corresponden a sus contrapartes lineales:

        (theta = int omega dt) (omega = frac{dtheta}{dt}) (alpha = frac{domega}{dt})

Aquí, (theta) representa el desplazamiento angular, (omega) es la velocidad angular, y (alpha) representa la aceleración angular.

Movimiento circular

El movimiento circular requiere una comprensión de la aceleración centrípeta, que se dirige hacia el centro del camino circular. Se puede dar de la siguiente manera:

        a_c = frac{v^2}{r} = romega^2

En este caso, v es la velocidad lineal, r es el radio del círculo, y (omega) es la velocidad angular.

Ejemplo visual: movimiento circular

A continuación se muestra una representación visual de un simple movimiento circular:

        
        
        
        Centro
        R

En este ejemplo, el pequeño círculo en el centro representa el centro del camino circular. El radio r está representado como una línea desde el centro hasta el borde del círculo.

Velocidad relativa

El movimiento relativo involucra el movimiento de un objeto en relación con otro objeto en movimiento. La velocidad del objeto A en relación con el objeto B se expresa como:

        (vec{v}_{AB} = vec{v}_A - vec{v}_B)

Este concepto es extremadamente importante al analizar sistemas dinámicos relativos a diferentes marcos de referencia, como observar el movimiento de un coche desde diferentes vehículos.

Ejemplo visual: movimiento relativo

Aquí hay un ejemplo de movimiento relativo:

        
        
        
        Coche A
        Coche B

En esta vista, el coche A se mueve de izquierda a derecha como se indica por la flecha roja, y el coche B también se mueve en la misma dirección como se indica por la flecha azul. El movimiento relativo es el análisis del movimiento de estos objetos en relación entre sí.

Dinámica en marcos no inerciales

Los marcos de referencia no inerciales introducen fuerzas ficticias en las ecuaciones cinéticas. Estas fuerzas, como las fuerzas centrífuga y de Coriolis, surgen de la aceleración del propio marco de referencia.

La fuerza de Coriolis para un objeto que se mueve con velocidad ( vec{v'} ) en un marco que gira con velocidad angular ( vec{Omega} ) se da por:

        (vec{F}_{Coriolis} = -2m(vec{Omega} times vec{v'}))

Esta idea es particularmente importante en la aviación, la meteorología y la astrofísica, donde a menudo se utilizan diferentes marcos de referencia.

Conclusión

La cinemática avanzada forma una base importante para explicar el movimiento complejo en múltiples dimensiones y en diferentes marcos de referencia. Usando el cálculo vectorial, coordenadas polares y marcos no inerciales, la cinemática avanzada proporciona un marco integral para comprender sistemas dinámicos sofisticados. Estas herramientas y técnicas son invaluables para ingenieros, físicos y matemáticos que trabajan con sistemas dinámicos y complejos en sus respectivos campos.


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