Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Principio de mínima acción


El principio de mínima acción es un concepto fundamental en la física, particularmente en el estudio de la mecánica clásica a través de las fórmulas lagrangiana y hamiltoniana. Proporciona un método poderoso y elegante para derivar las ecuaciones de movimiento de un sistema, y tiene profundas implicaciones y aplicaciones en varios campos de la física, desde la mecánica clásica hasta la mecánica cuántica y más allá.

Introducción al principio de mínima acción

En términos simples, el principio de mínima acción se puede enunciar como sigue: De todos los caminos posibles que un sistema puede tomar entre dos puntos de tiempo, el camino que el sistema realmente sigue es aquel para el cual una cantidad particular, llamada "acción", es constante (usualmente mínima).

La acción, denotada como S, se calcula como la integral a través del tiempo de una función llamada Lagrangiana, L(q, dot{q}, t), que depende de las coordenadas generalizadas q, sus derivadas temporales dot{q}, y posiblemente del tiempo t. Matemáticamente, la acción se da como:

        S = int_{t_1}^{t_2} L(q, dot{q}, t) , dt

Entendiendo la Lagrangiana

La Lagrangiana L es una función que resume la dinámica del sistema. Para muchos sistemas mecánicos, la Lagrangiana se define como la diferencia entre la energía cinética T y la energía potencial V del sistema:

        L = T – V

Por ejemplo, considera un péndulo simple. La energía cinética T depende de la velocidad de la masa del péndulo, y la energía potencial V depende de la altura de la masa en el campo gravitatorio.

Ecuaciones de Euler–Lagrange

El núcleo del cálculo de variaciones aplicado al principio de mínima acción es la ecuación de Euler-Lagrange. Para encontrar el camino que hace que la acción sea estacionaria, obtenemos la ecuación de Euler-Lagrange del principio de acción estacionaria:

        frac{d}{dt}left(frac{partial L}{partial dot{q}}right) - frac{partial L}{partial q} = 0

Cada coordenada generalizada q_i en el sistema produce tal ecuación. Resolver estas ecuaciones da las ecuaciones de movimiento para el sistema.

Un ejemplo: el oscilador armónico simple

Consideremos un oscilador armónico simple, como una masa unida a un resorte. Este sistema tiene una masa m, una frecuencia angular omega y está descrito por una coordenada generalizada única x (que representa el desplazamiento de la masa desde su posición de equilibrio).

La energía cinética T se representa por T = frac{1}{2}mdot{x}^2, y la energía potencial V se representa por V = frac{1}{2}kx^2, donde k es la constante del resorte. La Lagrangiana para este sistema es:

        L = frac{1}{2}mdot{x}^2 - frac{1}{2}kx^2

Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange, obtenemos:

        frac{d}{dt}left(frac{partial L}{partial dot{x}}right) - frac{partial L}{partial x} = 0

Sustituyendo la Lagrangiana en ella, obtenemos la ecuación de movimiento para el oscilador armónico:

        mddot{x} + kx = 0

Explicación visual a través de un ejemplo

La visualización anterior muestra un oscilador armónico simple en equilibrio, donde las energías potencial y cinética cambian de un lado a otro, lo que se explica a través del principio de mínima acción.

Conexión con la mecánica hamiltoniana

La formulación hamiltoniana de la mecánica está muy relacionada con la formulación lagrangiana. Utiliza una función diferente, el Hamiltoniano H, que a menudo se puede considerar como representativa de la energía total (cinética y potencial) del sistema. El hamiltoniano se obtiene de la lagrangiana a través de un proceso llamado transformación de Legendre.

El Hamiltoniano se define como sigue:

        H = dot{q}p - L

donde p = frac{partial L}{partial dot{q}} es el momento normalizado.

Cambios de ejemplo

El momento p para nuestro oscilador armónico simple es:

        p = frac{partial L}{partial dot{x}} = mdot{x}

El Hamiltoniano se convierte en:

        H = dot{x}(mdot{x}) - left(frac{1}{2}mdot{x}^2 - frac{1}{2}kx^2right) = frac{1}{2}mdot{x}^2 + frac{1}{2}kx^2

Ejemplo ilustrativo: el problema de la braquistrocrona

Para hacer más claro el principio de mínima acción, consideremos el problema de la braquistrocrona: encontrar la forma de la curva a lo largo de la cual una cuenta se deslizará, bajo la influencia de la gravedad, sin fricción, de un punto a otro, en el menor tiempo posible.

La solución de este problema involucra cálculo de variaciones y resulta en una trayectoria ciclóide, aplicando nuevamente los principios del cálculo de variaciones basados en el método de acciones mínimas.

Conclusión

El principio de mínima acción resume el comportamiento de un sistema en términos de una única cantidad escalar: la acción. Su belleza radica en su generalidad, que se aplica a una amplia gama de problemas en la mecánica clásica y forma un puente hacia la mecánica cuántica y teorías de campo en la física de altas energías. A través de las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana, proporciona un enfoque simplificado para analizar la dinámica de sistemas complejos, que sirve como piedra angular de la física teórica moderna.


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