न्यूनतम क्रिया का सिद्धांत

न्यूनतम क्रिया का सिद्धांत भौतिकी में एक मौलिक अवधारणा है, विशेष रूप से लैग्रेंजियन और हैमिल्टनियन सूत्रों के माध्यम से शास्त्रीय यांत्रिकी के अध्ययन में। यह प्रणाली के संचलन के समीकरणों को प्राप्त करने के लिए एक शक्तिशाली और सुंदर विधि प्रदान करता है, और इसका विभिन्न भौतिकी क्षेत्रों जैसे कि शास्त्रीय यांत्रिकी से लेकर क्वांटम यांत्रिकी और उससे आगे तक गहरा प्रभाव और अनुप्रयोग हैं।

सूक्ष्म क्रिया के सिद्धांत का परिचय

सरल शब्दों में, न्यूनतम क्रिया का सिद्धांत इस प्रकार कहा जा सकता है: उन सभी संभावित पथों में से, जो एक प्रणाली दो समय बिंदुओं के बीच ले सकती है, वह जो वास्तव में प्रणाली अपनाती है, वह पथ है जिसके लिए एक विशेष मात्रा, जिसे "क्रिया" कहा जाता है, स्थिर है (अधिकतर न्यूनतम)।

क्रिया, जिसे S के रूप में दर्शाया जाता है, समय के ऊपर एक फंक्शन जिसे लैग्रेंजियन कहा जाता है, L(q, dot{q}, t), का इंटीग्रल होता है, जो सामान्यीकृत निर्देशांक q, उनके समय व्युत्पन्न dot{q}, और संभवत: समय t पर निर्भर करता है। गणितीय रूप से, क्रिया इस प्रकार दी गई है:

        S = int_{t_1}^{t_2} L(q, dot{q}, t) , dt
    

लैग्रेंजियन को समझना

लैग्रेंजियन L एक फंक्शन है जो प्रणाली की गतिकी का सार दर्शाता है। कई यांत्रिकी प्रणालियों के लिए, लैग्रेंजियन को प्रणाली की गतिज ऊर्जा T और संभावित ऊर्जा V के अंतराल के रूप में परिभाषित किया जाता है:

        L = T – V
    

उदाहरण के लिए, एक सरल दोलन को ध्यान में रखें। गतिज ऊर्जा T दोलक द्रव्यमान की वेग पर निर्भर करती है, और संभावित ऊर्जा V गुरुत्वीय क्षेत्र में द्रव्यमान की ऊँचाई पर निर्भर करती है।

ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण

सूक्ष्म क्रिया के सिद्धांत पर लागू भिन्नता के गणितीय विश्लेषण का मूल ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण है। पथ को स्थिर बनाने के लिए, हम ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण को स्थिर क्रिया के सिद्धांत से प्राप्त करते हैं:

        frac{d}{dt}left(frac{partial L}{partial dot{q}}right) - frac{partial L}{partial q} = 0
    

प्रणाली के प्रत्येक सामान्यीकृत निर्देशांक q_i इस तरह का समीकरण देता है। इन समीकरणों को हल करके हम प्रणाली के संचलन के समीकरण प्राप्त करते हैं।

उदाहरण: सरल हार्मोनिक दोलनशीलक

आइए एक सरल हार्मनिकी दोलनशीलक पर विचार करें, जैसे कि एक वसंत से जुड़ा द्रव्यमान। इस प्रणाली में एक द्रव्यमान m, एक कोणीय आवृत्ति omega होती है, और इसे एक सामान्यीकृत निर्देशांक x के द्वारा वर्णित किया जाता है (जो द्रव्यमान की समतुल्य स्थिति से विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है)।

गतिज ऊर्जा T को T = frac{1}{2}mdot{x}^2 के द्वारा दर्शाया जाता है, और संभावित ऊर्जा V को V = frac{1}{2}kx^2 के द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ k वसंत स्थिरांक है। इस प्रणाली के लिए लैग्रेंजियन है:

        L = frac{1}{2}mdot{x}^2 - frac{1}{2}kx^2
    

ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण लागू करते हुए, हमें मिलता है:

        frac{d}{dt}left(frac{partial L}{partial dot{x}}right) - frac{partial L}{partial x} = 0
    

लैग्रेंजियन को इसमें प्रतिस्थापित करते हुए, हमें सरल हार्मोनिक दोलनशीलक के संचलन का समीकरण मिलता है:

        mddot{x} + kx = 0
    

उदाहरण के माध्यम से दृश्य व्याख्या

हैमिल्टोनियन यांत्रिकी के लिए जोड़ना

यांत्रिकी का हैमिल्टोनियन सूत्रण लैग्रेंजियन सूत्रण से बहुत करीबी संबंध रखता है। यह एक अलग फंक्शन, हैमिल्टोनियन H का उपयोग करता है, जिसे अक्सर प्रणाली की कुल ऊर्जा (गतिज और संभावित) का प्रतिनिधित्व करने के रूप में माना जा सकता है। हैमिल्टोनियन को लैग्रेंजियन से लेजेंडर परिवर्तन नामक प्रक्रिया के माध्यम से प्राप्त किया जाता है।

हैमिल्टोनियन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

        H = dot{q}p - L
    

जहाँ p = frac{partial L}{partial dot{q}} सामान्यीकृत गति मान है।

उदाहरण परिवर्तन

हमारे सरल हार्मोनिक दोलनशीलक के लिए गति मान p है:

        p = frac{partial L}{partial dot{x}} = mdot{x}
    

हैमिल्टोनियन बनता है:

        H = dot{x}(mdot{x}) - left(frac{1}{2}mdot{x}^2 - frac{1}{2}kx^2right) = frac{1}{2}mdot{x}^2 + frac{1}{2}kx^2
    

दृश्य उदाहरण: ब्राकिस्टोक्रोन समस्या

सूक्ष्म क्रिया के सिद्धांत को और अधिक स्पष्ट बनाने के लिए, आइए ब्राकिस्टोक्रोन समस्या पर विचार करें - उस वक्र का आकार खोजें, जिसके साथ एक मोती गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के अधीन किसी बिंदु से दूसरे बिंदु तक न्यूनतम समय में बिना घर्षण के स्लाइड करेगा।

इस समस्या का समाधान भिन्नता के गणितीय विश्लेषण के द्वारा किया जाता है और यह फिर से न्यूनतम क्रियाओं की विधि के आधार पर चक्रीय पथ में परिणत होता है।

निष्कर्ष

न्यूनतम क्रिया का सिद्धांत प्रणाली के व्यवहार को एकल स्केलर मात्रा - क्रिया के संदर्भ में संक्षेपित करता है। इसकी सुंदरता इसके सामान्यता में निहित है, जो शास्त्रीय यांत्रिकी में समस्याओं की एक व्यापक श्रेणी पर लागू होती है, और यह क्वांटम यांत्रिकी और उच्च ऊर्जा भौतिकी के क्षेत्र सिद्धांतों के लिए एक पुल का निर्माण करती है। लैग्रेंजियन और हैमिल्टोनियन सूत्रों के माध्यम से, यह जटिल प्रणालियों के गतिकी का विश्लेषण करने के लिए एक सुगम दृष्टिकोण प्रदान करता है, जो आधुनिक सैद्धांतिक भौतिकी की नींव के रूप में काम करता है।

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