Принцип минимального действия

Принцип минимального действия - это фундаментальное понятие в физике, особенно в изучении классической механики с помощью формулировок Лагранжа и Гамильтона. Он предоставляет мощный и элегантный метод для вывода уравнений движения системы и имеет глубокие последствия и применения в различных областях физики, от классической механики до квантовой механики и далее.

Введение в принцип наименьшего действия

Простыми словами, принцип минимального действия можно сформулировать следующим образом: из всех возможных путей, которые система может пройти между двумя временными точками, тот путь, который система на самом деле проходит, это тот, для которого некоторая величина, называемая "действием", является постоянной (обычно минимальной).

Действие, обозначаемое как S, вычисляется как интеграл по времени от функции, называемой Лагранжианом, L(q, dot{q}, t), которая зависит от обобщенных координат q, их временных производных dot{q} и, возможно, времени t. Математически действие выражается как:

        S = int_{t_1}^{t_2} L(q, dot{q}, t) , dt
    

Понимание Лагранжиана

Лагранжиан L - это функция, которая обобщает динамику системы. Для многих механических систем Лагранжиан определяется как разность между кинетической T и потенциальной V энергиями системы:

        L = T – V
    

Например, рассмотрим простой маятник. Кинетическая энергия T зависит от скорости массы маятника, а потенциальная энергия V зависит от высоты массы в гравитационном поле.

Уравнения Эйлера-Лагранжа

Основой исчисления вариаций, применяемого к принципу минимального действия, является уравнение Эйлера-Лагранжа. Чтобы найти путь, для которого действие стационарно, мы выводим уравнение Эйлера-Лагранжа из принципа стационарного действия:

        frac{d}{dt}left(frac{partial L}{partial dot{q}}right) - frac{partial L}{partial q} = 0
    

Каждая обобщенная координата q_i в системе должна удовлетворять такому уравнению. Решение этих уравнений приводит к получению уравнений движения системы.

Пример: простой гармонический осциллятор

Рассмотрим простой гармонический осциллятор, такой как масса, прикрепленная к пружине. Эта система имеет массу m, угловую частоту omega и описывается одной обобщенной координатой x (обозначающей смещение массы от положения равновесия).

Кинетическая энергия T представляется как T = frac{1}{2}mdot{x}^2, а потенциальная энергия V как V = frac{1}{2}kx^2, где k - это коэффициент жесткости пружины. Лагранжиан для этой системы:

        L = frac{1}{2}mdot{x}^2 - frac{1}{2}kx^2
    

Применяя уравнение Эйлера-Лагранжа, получаем:

        frac{d}{dt}left(frac{partial L}{partial dot{x}}right) - frac{partial L}{partial x} = 0
    

Подставляя Лагранжиан в это уравнение, получаем уравнение движения для гармонического осциллятора:

        mddot{x} + kx = 0
    

Визуальное объяснение через пример

Связь с гамильтоновой механикой

Гамильтоновая формулировка механики очень тесно связана с лагранжиановой формулировкой. Она использует другую функцию, называемую гамильтонианом H, который часто можно рассматривать как представляющий общую энергию (кинетическую и потенциальную) системы. Гамильтониан получается из Лагранжиана с помощью процесса, называемого преобразованием Лежандра.

Гамильтониан определяется следующим образом:

        H = dot{q}p - L
    

где p = frac{partial L}{partial dot{q}} - это нормализованный импульс.

Пример изменений

Импульс p для нашего простого гармонического осциллятора равен:

        p = frac{partial L}{partial dot{x}} = mdot{x}
    

Гамильтониан становится:

        H = dot{x}(mdot{x}) - left(frac{1}{2}mdot{x}^2 - frac{1}{2}kx^2right) = frac{1}{2}mdot{x}^2 + frac{1}{2}kx^2
    

Иллюстративный пример: задача о брахистохроне

Чтобы сделать принцип наименьшего действия более понятным, рассмотрим задачу о брахистохроне - нахождение формы кривой, по которой шарик скользит, под воздействием гравитации, без трения, из одного пункта в другой за наименьшее время.

Решение этой задачи включает использование вариационного исчисления и приводит к циклоидальному пути, еще раз применяя принципы вариационного исчисления, основанные на методе минимальных действий.

Заключение

Принцип минимального действия обобщает поведение системы в терминах единственной скалярной величины - действия. Его красота заключается в его универсальности, которая применима к самому широкому кругу задач, встречающихся в классической механике, и образует мост к квантовой механике и теории поля в физике высоких энергий. Через формулировки Лагранжа и Гамильтона, он предлагает унифицированный подход к анализу динамики сложных систем, являясь одним из краеугольных камней современной теоретической физики.

Комментарии