Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Ecuaciones de Euler-Lagrange


Las ecuaciones de Euler-Lagrange son un conjunto fundamental de ecuaciones en la mecánica clásica, utilizadas dentro del marco de la mecánica lagrangiana y hamiltoniana. Nos permiten encontrar el camino, o "trayectoria", que un sistema físico toma a lo largo del tiempo. Estas ecuaciones se derivan del principio de la acción mínima, que establece que el camino tomado por un sistema es aquel para el cual la acción es constante (usualmente mínima).

Introducción a la mecánica lagrangiana

La mecánica lagrangiana es una reformulación de la mecánica clásica, introducida en el siglo XVIII por Joseph-Louis Lagrange. Mientras que las leyes de Newton se centran en las fuerzas, la mecánica lagrangiana redefine la mecánica en términos de energía. Utiliza una función llamada el lagrangiano, denotada por L, que se define como la diferencia entre la energía cinética (T) y la energía potencial (V) de un sistema:

L = T - V

La belleza de la mecánica lagrangiana es que simplifica el problema de determinar las ecuaciones de movimiento para sistemas complejos, especialmente cuando el sistema tiene restricciones.

Principio de la acción mínima

El principio de la acción mínima, también conocido como el principio de Hamilton, es un principio variacional que proporciona la base para la mecánica lagrangiana. Según este principio, el camino tomado por un sistema entre dos estados es aquel para el cual la acción, S, es maximizada (usualmente mínima). La acción se define como la integral del lagrangiano en el tiempo:

S = ∫ L dt

Para encontrar el camino que lleva la función al extremo, la función se transforma y su primera variación se iguala a cero:

δS = 0

Esto nos lleva a las ecuaciones de Euler-Lagrange, que se derivan aplicando el cálculo de variaciones.

Derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange

Considere un sistema descrito por n coordenadas generalizadas qi para i de 1 a n. El lagrangiano L es una función de estas coordenadas generalizadas, sus derivadas temporales (velocidades) dqi/dt, y el tiempo t:

L = L(q1, q2, ..., qn, t)

Para derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange, considere un pequeño cambio en el camino del sistema.

qi(t) → qi(t) + δεi

donde δεi es una variación infinitesimal. La acción hasta primer orden en δεi se convierte en lo siguiente:

δS = ∫ (∂L/∂qi) δεi + (∂L/∂(dqi/dt)) δ(dqi/dt) dt

Después de integrar por partes y suponiendo que las divergencias se desvanecen en los extremos, obtenemos la ecuación de Euler-Lagrange:

d/dt (∂L/∂(dqi/dt)) - ∂L/∂qi = 0

Estas son las ecuaciones de Euler-Lagrange, un conjunto de n ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Ejemplos de mecánica lagrangiana

Ejemplo 1: Oscilador armónico simple

Considere un oscilador armónico simple cuya masa m está conectada a un resorte de constante k. La energía cinética T y la energía potencial V están dadas por:

T = 1/2 m (dx/dt)^2
V = 1/2 kx^2

El lagrangiano L es:

L = T - V = 1/2 m (dx/dt)^2 - 1/2 kx^2

Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange:

d/dt (∂L/∂(dx/dt)) = ∂L/∂x

Esto resulta en la clásica ecuación de movimiento del oscilador armónico simple:

md2x/dt2 + kx = 0

Ejemplo 2: Péndulo

Considere un péndulo simple de longitud l y masa m. El movimiento está confinado a un plano y el ángulo θ desde la vertical es la coordenada generalizada. La energía cinética T y la energía potencial V están dadas por:

T = 1/2 m (l^2) (dθ/dt)^2
V = mgl (1 - cos θ)

El lagrangiano L es:

L = 1/2 m (l^2) (dθ/dt)^2 - mgl (1 - cos θ)

Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange obtenemos:

ml^2 d2θ/dt2 + mgl sin θ = 0

Introducción a la mecánica hamiltoniana

La mecánica hamiltoniana es una reformulación adicional de la mecánica clásica, nombrada así en honor a Sir William Rowan Hamilton. Proporciona un poderoso marco, especialmente útil en mecánica avanzada, mecánica cuántica y mecánica estadística. La cantidad fundamental en la mecánica hamiltoniana es el hamiltoniano, denotado por H, que a menudo es la energía total del sistema (la suma de energías cinética y potencial).

Del lagrangiano al hamiltoniano

Transformar del lagrangiano al hamiltoniano implica un proceso llamado transformación de Legendre. El momento generalizado, pi, se define como:

pi = ∂L/∂(dqi/dt)

El hamiltoniano H se define como una función de las coordenadas generalizadas, el momento y el tiempo:

H(qi, pi, t) = Σ pi (dqi/dt) - L(qi, dqi/dt, t)

Ecuaciones de Hamilton

Las ecuaciones de movimiento de Hamilton se derivan del hamiltoniano y se expresan de la siguiente manera:

d(qi)/dt = ∂H/∂pi
d(pi)/dt = -∂H/∂qi

Ejemplo: Oscilador armónico simple en la mecánica hamiltoniana

Retornando al oscilador armónico simple con la mecánica hamiltoniana, el momento p está dado por:

p = m(d(x)/dt)

El hamiltoniano H para un oscilador armónico simple es:

H = p(d(x)/dt) - (1/2)m(d(x)/dt)2 + 1/2 kx2

Esto lo simplifica:

H = p2/2m + 1/2 kx2

Aplicando las ecuaciones de Hamilton se obtienen las ecuaciones de movimiento estándar:

d(x)/dt = p/m
d(p)/dt = -kx

Aplicaciones y significado

Las ecuaciones de Euler-Lagrange, y más generalmente la mecánica lagrangiana y hamiltoniana, son fundamentales para entender sistemas físicos. Son especialmente útiles al tratar con lo siguiente:

  • Sistemas complejos: Sistemas con muchos grados de libertad y restricciones, como los sistemas de muchos cuerpos, son más simples en esta formulación.
  • Teorías de campo: como el electromagnetismo y la relatividad general, donde los campos en lugar de las partículas son los objetos principales de estudio.
  • Mecánica cuántica: donde la mecánica hamiltoniana proporciona un puente hacia los sistemas cuánticos a través de conceptos como operadores y estados propios.

Conclusión

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son un componente esencial del conjunto de herramientas del físico para explorar tanto la física clásica como la moderna. Usando estas ecuaciones, podemos determinar las ecuaciones de movimiento para una vasta gama de sistemas y comprender los principios que gobiernan su comportamiento dinámico. Los métodos lagrangianos y hamiltonianos proporcionan enfoques poderosos y elegantes a la mecánica, destacando la profunda conexión entre matemáticas y física.


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