ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण

ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण क्लासिकल यांत्रिकी में एक मौलिक समीकरणों का सेट है, जिनका उपयोग लैग्रेंजियन और हैमिल्टोनियन यांत्रिकी दोनों के फ्रेमवर्क में किया जाता है। वे हमें उस मार्ग, या "पथ" को खोजने में मदद करते हैं, जो एक भौतिक प्रणाली समय के साथ लेती है। ये समीकरण न्यूनतम क्रिया के सिद्धांत से निकाले गए हैं, जो कहता है कि प्रणाली द्वारा लिया गया मार्ग वह होता है जिसके लिए क्रिया स्थिर होती है (आमतौर पर न्यूनतम)।

लैग्रेंजियन यांत्रिकी का परिचय

लैग्रेंजियन यांत्रिकी क्लासिकल यांत्रिकी का एक पुनः रूपांतरण है, जिसे 18वीं शताब्दी में जोसेफ-लुइस लैग्रेंज द्वारा पेश किया गया था। जबकि न्यूटन के नियम बलों पर केंद्रित होते हैं, लैग्रेंजियन यांत्रिकी यांत्रिकी को ऊर्जा की दृष्टि से पुनर्परिभाषित करता है। यह एक फंक्शन का उपयोग करता है जिसे लैग्रेंजियन कहा जाता है, जिसे L द्वारा चिह्नित किया जाता है, जो कि एक प्रणाली की गतिज ऊर्जा (T) और स्थितिज ऊर्जा (V) के बीच का अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है:

L = T - V

लैग्रेंजियन यांत्रिकी की खूबसूरती यह है कि यह जटिल प्रणालियों के लिए गति के समीकरण निर्धारित करने की समस्या को सरल बनाता है, विशेष रूप से जब प्रणाली पर प्रतिबंध हों।

न्यूनतम क्रिया का सिद्धांत

न्यूनतम क्रिया का सिद्धांत, जिसे हैमिल्टन का सिद्धांत भी कहा जाता है, एक भिन्नात्मक सिद्धांत है जो लैग्रेंजियन यांत्रिकी के लिए आधार प्रदान करता है। इस सिद्धांत के अनुसार, प्रणाली द्वारा दो अवस्थाओं के बीच लिया गया मार्ग वह होता है जिसके लिए क्रिया, S, अधिकतम होती है (आमतौर पर न्यूनतम)। क्रिया को समय के अनुसार लैग्रेंजियन के समाकलन के रूप में परिभाषित किया जाता है:

S = ∫ L dt

उस रास्ते को खोजने के लिए जो फंक्शन को चरम पर ले जाए, फंक्शन को रूपांतरित किया जाता है और इसका पहला चर परिवर्तन शून्य पर सेट किया जाता है:

δS = 0

यह हमें ऑयलर-लैग्रेंज समीकरणों तक लाता है, जो कि भिन्नात्मक कैल्क्यूलस का उपयोग करके निकाले गए हैं।

ऑयलर-लैग्रेंज समीकरणों का व्युत्पत्ति

एक प्रणाली पर विचार करें जिसे n सामान्यीकृत निर्देशांक _qi द्वारा वर्णित किया जाता है, जहाँ i 1 से n तक है। लैग्रेंजियन L इन सामान्यीकृत निर्देशांकों, उनके समय के पहले क्रम के अंतरों (वेगों) _dqi/dt, और समय t का एक फंक्शन है:

L = L(q1, q2, ..., qn, t)

ऑयलर–लैग्रेंज समीकरणों को व्युत्पन्न करने के लिए, प्रणाली के पथ में एक छोटे परिवर्तन पर विचार करें।

qi(t) → qi(t) + δεi

जहाँ δε_i एक सूक्ष्म परिवर्तन है। क्रिया का पहले क्रम में δε_i के अनुसार प्रदर्शन निम्नलिखित हो जाता है:

δS = ∫ (∂L/∂qi) δεi + (∂L/∂(dqi/dt)) δ(dqi/dt) dt

आंशिक अंतर समाकलन के बाद और यह मानते हुए कि छोरों पर विचलन समाप्त हो जाते हैं, हमें ऑयलर–लैग्रेंज समीकरण मिलता है:

d/dt (∂L/∂(dqi/dt)) - ∂L/∂qi = 0

ये ऑयलर–लैग्रेंज समीकरण हैं, n दूसरे क्रम के अवकल समीकरणों का एक सेट।

लैग्रेंजियन यांत्रिकी के उदाहरण

उदाहरण 1: सरल हार्मोनिक दोलक

एक सरल हार्मोनिक दोलक पर विचार करें जिसका द्रव्यमान m एक कर्षण निरंतरता k के साथ जुड़ा हुआ है। गतिज ऊर्जा T और स्थितिज ऊर्जा V निम्नलिखित रूप में दी जाती हैं:

T = 1/2 m (dx/dt)^2

V = 1/2 kx^2

लैग्रेंजियन L होता है:

L = T - V = 1/2 m (dx/dt)^2 - 1/2 kx^2

ऑयलर–लैग्रेंज समीकरण लागू करते समय:

d/dt (∂L/∂(dx/dt)) = ∂L/∂x

यह क्लासिक सरल हार्मोनिक गति समीकरण देता है:

md2x/dt2 + kx = 0

उदाहरण 2: लोलक

लंबाई l और द्रव्यमान m वाले एक सरल लोलक पर विचार करें। गति को एक तल में सीमित किया जाता है और लंबवत से कोण θ सामान्यीकृत निर्देशांक होता है। गतिज ऊर्जा T और स्थितिज ऊर्जा V निम्नलिखित रूप में दी जाती हैं:

T = 1/2 m (l^2) (dθ/dt)^2

V = mgl (1 - cos θ)

लैग्रेंजियन L होता है:

L = 1/2 m (l^2) (dθ/dt)^2 - mgl (1 - cos θ)

ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण लागू करते समय हमें मिलता है:

ml^2 d2θ/dt2 + mgl sin θ = 0

हैमिल्टोनियन यांत्रिकी का परिचय

हैमिल्टोनियन यांत्रिकी क्लासिकल यांत्रिकी का एक और पुनः रूपांतरण है, जिसे सर विलियम रोवन हैमिल्टन के नाम पर रखा गया है। यह एक शक्तिशाली फ्रेमवर्क प्रदान करता है, विशेष रूप से उन्नत यांत्रिकी, क्वांटम यांत्रिकी, और सांख्यिकीय यांत्रिकी में। हैमिल्टोनियन यांत्रिकी में मौलिक मात्रा हैमिल्टोनियन है, जिसे H द्वारा नामांकित किया गया है, जो प्रणाली की कुल ऊर्जा (गतिज और स्थितिज ऊर्जा के योग) होती है।

लैग्रेंजियन से हैमिल्टोनियन तक

लैग्रेंजियन से हैमिल्टोनियन में रूपांतरण एक प्रक्रिया कहलाती है जिसे लेजेंड्रे रूपांतरण कहते हैं। सामान्यीकृत संवेग, p_i, को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

pi = ∂L/∂(dqi/dt)

हैमिल्टोनियन H सामान्यीकृत निर्देशांक, संवेग, और समय का एक फंक्शन है:

H(qi, pi, t) = Σ pi (dqi/dt) - L(qi, dqi/dt, t)

हैमिल्टन की समीकरणें

हैमिल्टन की गति की समीकरणें हैमिल्टोनियन से व्युत्पन्न होती हैं और इस प्रकार व्यक्त की जाती हैं:

d(qi)/dt = ∂H/∂pi

d(pi)/dt = -∂H/∂qi

उदाहरण: सरल हार्मोनिक दोलक हैमिल्टोनियन यांत्रिकी में

सरल हार्मोनिक दोलक में लौटते हुए हैमिल्टोनियन यांत्रिकी के साथ, संवेग p इस प्रकार दिया जाता है:

p = m(d(x)/dt)

सरल हार्मोनिक दोलक के लिए हैमिल्टोनियन H है:

H = p(d(x)/dt) - (1/2)m(d(x)/dt)2 + 1/2 kx2

यह इसे सरल बनाता है:

H = p2/2m + 1/2 kx2

हैमिल्टन की समीकरणों को लागू करते समय मानक गति की समीकरण मिलती हैं:

d(x)/dt = p/m

d(p)/dt = -kx

अनुप्रयोग और महत्व

ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण, और व्यापक रूप से लैग्रेंजियन और हैमिल्टोनियन यांत्रिकी, भौतिक प्रणालियों को समझने के लिए मौलिक हैं। वे निम्नलिखित से निपटने में विशेष रूप से उपयोगी हैं:

• जटिल प्रणालियाँ: जिन प्रणालियों में अनेक स्वतंत्रता की डिग्री और प्रतिबंध होते हैं, जैसे कई-कण प्रणालियाँ, इस रूपांतरण में सरल होती हैं।
• क्षेत्र सिद्धांत: जैसे विद्युतचुंबकत्व और सामान्य सापेक्षता, जहाँ कण बजाय क्षेत्र अध्ययन का प्राथमिक उद्देश्य होते हैं।
• क्वांटम यांत्रिकी: जहाँ हैमिल्टोनियन यांत्रिकी क्वांटम प्रणालियों के लिए एक पुल प्रदान करता है जैसे ऑपरेटर और स्थानिक अवस्था।

निष्कर्ष

ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण भौतिकी के शोधकर्ताओं के लिए आवश्यक उपकरण का एक आवश्यक हिस्सा हैं, जो क्लासिकल और आधुनिक भौतिकी दोनों का अन्वेषण करते हैं। इन समीकरणों का उपयोग करके, हम विभिन्न प्रणालियों के गति की समीकरण निर्धारित कर सकते हैं और उनके गतिशील व्यवहार को नियंत्रित करने वाले सिद्धांतों को समझ सकते हैं। लैग्रेंजियन और हैमिल्टोनियन विधियाँ यांत्रिकी के लिए शक्तिशाली और सुरुचिपूर्ण दृष्टिकोण प्रदान करती हैं, जो गणित और भौतिकी के बीच की गहरी संबंध को उजागर करती हैं।

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