オイラー・ラグランジュ方程式

オイラー・ラグランジュ方程式は、古典力学における基本的な方程式のセットであり、ラグランジュ力学とハミルトン力学の両方の枠組みで使用されます。これらは、物理系が時間の経過とともに取る道筋、または「軌道」を見つけることを可能にします。これらの方程式は、通常は最小である作用が定数になる経路を取るという、最小作用の原理から導かれます。

ラグランジュ力学の紹介

ラグランジュ力学は、18世紀にジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって導入された古典力学の再定式化です。ニュートンの法則が力に焦点を当てるのに対し、ラグランジュ力学は力学をエネルギーの観点で再定義します。ラグランジアンと呼ばれる関数を使用し、Lで表されるこの関数は、系の運動エネルギー (T) とポテンシャルエネルギー (V) の差として定義されます：

L = T - V

ラグランジュ力学の美しさは、特に系が制約を持っている場合に、複雑な系の運動方程式を決定する問題を単純化することにあります。

最小作用の原理

最小作用の原理、またはハミルトンの原理としても知られるこの原理は、ラグランジュ力学の基盤を提供する変分原理です。この原理によると、2つの状態間の系が取る経路は、作用 S が最大化される（通常は最小）経路です。作用は、ラグランジアンを時間で積分したものとして定義されます：

S = ∫ L dt

関数を極値に導く道を見つけるために、関数が変換され、初回の変分がゼロに設定されます：

δS = 0

これにより、変分法を適用してオイラー・ラグランジュ方程式が導かれます。

オイラー・ラグランジュ方程式の導出

n個の一般座標 _qi で記述される系を考えます。ラグランジアン L は、これらの一般座標、その時間微分（速度）_dqi/dt、および時間 t の関数です：

L = L(q1, q2, ..., qn, t)

オイラー・ラグランジュ方程式を導出するために、系の道筋にわずかな変化を考えます。

qi(t) → qi(t) + δεi

ここで δε_i は無限小変分です。作用は δε_i に関して次のように1次までになります：

δS = ∫ (∂L/∂qi) δεi + (∂L/∂(dqi/dt)) δ(dqi/dt) dt

部分積分をして、端点での発散が消えると仮定すると、オイラー・ラグランジュ方程式を得ます：

d/dt (∂L/∂(dqi/dt)) - ∂L/∂qi = 0

これらはオイラー・ラグランジュ方程式であり、n 個の2次の微分方程式のセットです。

ラグランジュ力学の例

例1: 単純調和振動子

質量 m の単純調和振動子を考え、ばね定数 k に接続されているとします。運動エネルギー T とポテンシャルエネルギー V は次のように与えられます：

T = 1/2 m (dx/dt)^2

V = 1/2 kx^2

ラグランジアン L は：

L = T - V = 1/2 m (dx/dt)^2 - 1/2 kx^2

オイラー・ラグランジュ方程式を適用すると：

d/dt (∂L/∂(dx/dt)) = ∂L/∂x

これにより古典的な単純調和運動方程式が得られます：

md2x/dt2 + kx = 0

例2: 振り子

長さ l、質量 m の単純振り子を考えます。運動は平面に制限されており、垂直からの角度 θ が一般座標です。運動エネルギー T とポテンシャルエネルギー V は次のように与えられます：

T = 1/2 m (l^2) (dθ/dt)^2

V = mgl (1 - cos θ)

ラグランジアン L は：

L = 1/2 m (l^2) (dθ/dt)^2 - mgl (1 - cos θ)

オイラー・ラグランジュ方程式を適用すると：

ml^2 d2θ/dt2 + mgl sin θ = 0

ハミルトン力学の紹介

ハミルトン力学は、サー・ウィリアム・ローワン・ハミルトンの名にちなんで名付けられた、古典力学のさらなる再定式化です。特に、より高度な力学、量子力学、統計力学で非常に有用な強力な枠組みを提供します。ハミルトン力学の基本的な量は ハミルトニアン であり、通常は系の全エネルギー（運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの合計）です。

ラグランジアンからハミルトニアンへ

ラグランジアンからハミルトニアンへの変換は、ルジャンドル変換と呼ばれるプロセスを含みます。一般化された運動量 p_i は次のように定義されます：

pi = ∂L/∂(dqi/dt)

ハミルトニアン H は、一般座標、運動量、時刻の関数として定義されます：

H(qi, pi, t) = Σ pi (dqi/dt) - L(qi, dqi/dt, t)

ハミルトンの方程式

ハミルトンの運動方程式はハミルトニアンから導かれ、次のように表現されます：

d(qi)/dt = ∂H/∂pi

d(pi)/dt = -∂H/∂qi

例: ハミルトン力学における単純調和振動子

単純調和振動子に再び戻ると、ハミルトン力学では運動量 p は次のように与えられます：

p = m(d(x)/dt)

単純調和振動子のハミルトニアン H は：

H = p(d(x)/dt) - (1/2)m(d(x)/dt)2 + 1/2 kx2

これにより単純化されます：

H = p2/2m + 1/2 kx2

ハミルトンの方程式を適用すると標準の運動方程式が得られます：

d(x)/dt = p/m

d(p)/dt = -kx

応用と重要性

オイラー・ラグランジュ方程式、そして一般的にラグランジュ力学とハミルトン力学は、物理系を理解するための根本的な手段です。特に以下に対して有用です：

• 複雑なシステム：多自由度と制約を持つシステム、例えば多体システムは、この定式化で簡単になります。
• 場の理論：電磁気学や一般相対性理論など、粒子ではなく場が主な対象となる理論。
• 量子力学：運算子や固有状態といった概念を通じて、ハミルトン力学は量子系への架け橋を提供します。

結論

オイラー・ラグランジュ方程式は、古典物理学と現代物理学の両方を探求する物理学者のツールキットの重要な構成要素です。これらの方程式を使用することで、幅広いシステムの運動方程式を決定し、その動的な挙動を支配する原理を理解することができます。ラグランジュとハミルトンの方法は、力学に対する強力でエレガントなアプローチを提供し、数学と物理学の深い関係を際立たせます。

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