Уравнения Эйлера-Лагранжа

Уравнения Эйлера-Лагранжа представляют собой фундаментальный набор уравнений в классической механике, используемых в рамках как лагранжевой, так и гамильтоновой механики. Они позволяют найти путь, или "траекторию", которую физическая система принимает со временем. Эти уравнения выводятся из принципа минимального действия, который утверждает, что путь, принятый системой, - это тот, для которого действие постоянно (обычно минимально).

Введение в лагранжевую механику

Лагранжева механика - это реформулировка классической механики, введенная в 18 веке Жозефом Луи Лагранжем. Тогда как законы Ньютона фокусируются на силах, лагранжева механика переопределяет механику с точки зрения энергии. Она использует функцию, называемую лагранжиан, обозначаемую L, которая определяется как разница между кинетической энергией (T) и потенциальной энергией (V) системы:

L = T - V

Прелесть лагранжевой механики заключается в том, что она упрощает задачу определения уравнений движения для сложных систем, особенно когда система имеет ограничения.

Принцип минимального действия

Принцип минимального действия, также известный как принцип Гамильтона, является вариационным принципом, который служит основой для лагранжевой механики. Согласно этому принципу, путь, принятый системой между двумя состояниями, - это тот, для которого действие S максимально (обычно минимально). Действие определяется как интеграл лагранжиана по времени:

S = ∫ L dt

Чтобы найти путь, который приводит функцию к экстремуму, функция преобразуется, и первая вариация функции равна нулю:

δS = 0

Это приводит нас к уравнениям Эйлера-Лагранжа, которые выводятся с применением вариационного исчисления.

Выведение уравнений Эйлера-Лагранжа

Рассмотрим систему, описываемую n обобщенными координатами _qi для i от 1 до n. Лагранжиан L является функцией этих обобщенных координат, их временных производных (скоростей) _dqi/dt и времени t:

L = L(q1, q2, ..., qn, t)

Чтобы вывести уравнения Эйлера-Лагранжа, рассмотрим малое изменение пути системы.

qi(t) → qi(t) + δεi

где δε_i - бесконечно малая вариация. Действие до первого порядка в δε_i принимает вид:

δS = ∫ (∂L/∂qi) δεi + (∂L/∂(dqi/dt)) δ(dqi/dt) dt

После интегрирования по частям и предположения, что расходимости исчезают на конечных точках, мы получаем уравнение Эйлера-Лагранжа:

d/dt (∂L/∂(dqi/dt)) - ∂L/∂qi = 0

Это уравнения Эйлера-Лагранжа, набор из n дифференциальных уравнений второго порядка.

Примеры лагранжевой механики

Пример 1: Простое гармоническое колебание

Рассмотрим простое гармоническое колебание, масса m которого соединена с пружиной с постоянной k. Кинетическая энергия T и потенциальная энергия V определяются как:

T = 1/2 m (dx/dt)^2

V = 1/2 kx^2

Лагранжиан L:

L = T - V = 1/2 m (dx/dt)^2 - 1/2 kx^2

Применяя уравнение Эйлера-Лагранжа:

d/dt (∂L/∂(dx/dt)) = ∂L/∂x

Это приводит к классическому уравнению простого гармонического движения:

md2x/dt2 + kx = 0

Пример 2: Маятник

Рассмотрим простой маятник длиной l и массой m. Движение ограничено плоскостью, и угол θ от вертикали является обобщенной координатой. Кинетическая энергия T и потенциальная энергия V определяются как:

T = 1/2 m (l^2) (dθ/dt)^2

V = mgl (1 - cos θ)

Лагранжиан L:

L = 1/2 m (l^2) (dθ/dt)^2 - mgl (1 - cos θ)

Применяя уравнение Эйлера-Лагранжа, мы получаем:

ml^2 d2θ/dt2 + mgl sin θ = 0

Введение в гамильтонову механику

Гамильтонова механика - это дальнейшее реформулирование классической механики, названное в честь сэра Уильяма Роуэна Гамильтона. Она предоставляет мощную рамку, особенно полезную в более продвинутой механике, квантовой механике и статистической механике. Основной величиной в гамильтоновой механике является гамильтониан, обозначаемый H, который часто является полной энергией системы (суммой кинетической и потенциальной энергий).

От лагранжиана к гамильтониану

Переход от лагранжиана к гамильтониану включает в себя процесс, называемый преобразованием Лежандра. Обобщенный импульс, p_i, определяется как:

pi = ∂L/∂(dqi/dt)

Гамильтониан H определяется как функция обобщенных координат, импульса и времени:

H(qi, pi, t) = Σ pi (dqi/dt) - L(qi, dqi/dt, t)

Уравнения Гамильтона

Уравнения движения Гамильтона выводятся из гамильтониана и выражаются следующим образом:

d(qi)/dt = ∂H/∂pi

d(pi)/dt = -∂H/∂qi

Пример: Простое гармоническое колебание в гамильтоновой механике

Вернемся к простому гармоническому колебанию с использованием гамильтоновой механики, импульс p определяется как:

p = m(d(x)/dt)

Гамильтониан H для простого гармонического колебания:

H = p(d(x)/dt) - (1/2)m(d(x)/dt)2 + 1/2 kx2

Это делает его проще:

H = p2/2m + 1/2 kx2

Применение уравнений Гамильтона дает стандартные уравнения движения:

d(x)/dt = p/m

d(p)/dt = -kx

Применения и значение

Уравнения Эйлера-Лагранжа, а также в более общем плане лагранжева и гамильтонова механика, являются основой для понимания физических систем. Они особенно полезны для работы:

• Сложные системы: системы с множеством степеней свободы и ограничениями, такие как системы многих тел, проще в этой формулировке.
• Теории поля: такие как электромагнетизм и общая теория относительности, где основными объектами исследования являются поля, а не частицы.
• Квантовая механика: где гамильтонова механика служит мостом к квантовым системам через такие концепции, как операторы и собственные состояния.

Заключение

Уравнения Эйлера-Лагранжа являются важным компонентом инструментов физика для изучения как классической, так и современной физики. Используя эти уравнения, мы можем определить уравнения движения для множества систем и понять принципы, которые управляют их динамическим поведением. Методы лагранжевой и гамильтоновой механики предоставляют мощные и элегантные подходы к механике, подчеркивая глубокую связь между математикой и физикой.

Комментарии