硕士 → 经典力学 → 拉格朗日和哈密顿力学 ↓
欧拉–拉格朗日方程
欧拉-拉格朗日方程是经典力学中的一组基本方程，适用于拉格朗日力学和哈密顿力学框架。它们允许我们找到物理系统随时间变化的路径或“轨迹”。这些方程由最小作用量原理导出，该原理指出系统采取的路径是其作用量恒定（通常是最小）的路径。
拉格朗日力学简介
拉格朗日力学是经典力学的一种重新表述，由约瑟夫-路易·拉格朗日在18世纪引入。牛顿定律聚焦于力，而拉格朗日力学则用能量重新定义力学。它使用一种称为拉格朗日量的函数，用L表示，该函数定义为系统的动能（T）与势能（V）之差：
L = T - V拉格朗日力学的美在于它简化了确定复杂系统运动方程的问题，特别是当系统有约束时。
最小作用量原理
最小作用量原理，也称为哈密顿原理，是为拉格朗日力学提供基础的变分原理。根据这一原理，系统在两个状态之间采取的路径是其作用量S最大（通常是最小）的路径。作用量被定义为拉格朗日量关于时间的积分：
S = ∫ L dt为了找到使函数达到极值的路径，需要对函数进行变换，并将其一阶变分置为零：
δS = 0这将引导我们到达欧拉–拉格朗日方程，这些方程通过变分法计算得出。
欧拉–拉格朗日方程的推导
考虑由n个广义坐标qi描述的系统，其中i从1到n。拉格朗日量L是这些广义坐标及其时间导数（速度）dqi/dt和时间t的函数：
L = L(q1, q2, ..., qn, t)为了推导欧拉–拉格朗日方程，考虑系统路径的一个微小变化。
qi(t) → qi(t) + δεi其中δεi是一个无穷小变分。作用量对于δεi的一阶展开公式为：
δS = ∫ (∂L/∂qi) δεi + (∂L/∂(dqi/dt)) δ(dqi/dt) dt通过分部积分并假设在端点处的发散消失，我们得到欧拉–拉格朗日方程：
d/dt (∂L/∂(dqi/dt)) - ∂L/∂qi = 0这些是欧拉–拉格朗日方程，一组n个二阶微分方程。
拉格朗日力学实例
实例1：简谐振子
考虑一个简谐振子，其质量m连接到常数为k的弹簧。动能T和势能V分别为：
T = 1/2 m (dx/dt)^2V = 1/2 kx^2拉格朗日量L为：
L = T - V = 1/2 m (dx/dt)^2 - 1/2 kx^2应用欧拉–拉格朗日方程：
d/dt (∂L/∂(dx/dt)) = ∂L/∂x这导致经典的简谐运动方程：
md2x/dt2 + kx = 0实例2：单摆
考虑一个简单的单摆，其长度为l，质量为m。运动限制于一个平面，偏离垂直方向的角度θ为广义坐标。动能T和势能V分别为：
T = 1/2 m (l^2) (dθ/dt)^2V = mgl (1 - cos θ)拉格朗日量L为：
L = 1/2 m (l^2) (dθ/dt)^2 - mgl (1 - cos θ)应用欧拉-拉格朗日方程得到：
ml^2 d2θ/dt2 + mgl sin θ = 0哈密顿力学简介
哈密顿力学是经典力学的另一种重新表述，以威廉·罗恩·哈密顿爵士命名。它提供了一种有力的框架，特别是在更高级的力学、量子力学和统计力学中非常有用。哈密顿力学中的基本量是哈密顿量，用H表示，通常是系统的总能量（动能和势能之和）。
从拉格朗日到哈密顿
从拉格朗日量到哈密顿量的转换涉及一个称为勒让德变换的过程。广义动量pi定义为：
pi = ∂L/∂(dqi/dt)哈密顿量H被定义为广义坐标、动量和时间的函数：
H(qi, pi, t) = Σ pi (dqi/dt) - L(qi, dqi/dt, t)哈密顿方程
哈密顿方程由哈密顿量导出，表示如下：
d(qi)/dt = ∂H/∂pid(pi)/dt = -∂H/∂qi实例：简谐振子的哈密顿力学
回到哈密顿力学中的简谐振子，其动量p给出如下：
p = m(d(x)/dt)对于简谐振子的哈密顿量H：
H = p(d(x)/dt) - (1/2)m(d(x)/dt)2 + 1/2 kx2这使其更简单：
H = p2/2m + 1/2 kx2应用哈密顿方程给出标准运动方程：
d(x)/dt = p/md(p)/dt = -kx应用与意义
欧拉–拉格朗日方程，广义的拉格朗日力学和哈密顿力学，都是理解物理系统的基础。它们在处理以下问题时特别有用：
- 复杂系统： 具有许多自由度和约束的系统，例如多体系统，在这种方法中更简单。
- 场论： 如电动力学和广义相对论，研究的主要对象是场而非粒子。
- 量子力学： 哈密顿力学通过运算符和本征态等概念为量子系统提供了桥梁。
结论
欧拉–拉格朗日方程是物理学家探索经典物理和现代物理的重要工具。使用这些方程项，我们可以确定大量系统的运动方程，并理解支配它们的动态行为的原理。拉格朗日和哈密顿方法提供了强大而优雅的力学方法，突出显示了数学与物理之间的深刻联系。
评论