नोएथर का प्रमेय और संरक्षण नियम

क्लासिकल यांत्रिकी के क्षेत्र में, पार्टिकल्स और प्रणालियों की गति को नियंत्रित करने वाले मौलिक सिद्धांतों को समझना महत्वपूर्ण है। इस क्षेत्र में दो सबसे शक्तिशाली औपचारिकताएँ लैग्रेन्जियन और हैमिल्टोनियन यांत्रिकी हैं, जिनका नाम गणितज्ञ जोसफ-लुई लैग्रेंज और विलियम रोवन हैमिल्टन पर रखा गया है। इन चरणबद्धियों में, नोएथर का प्रमेय सहसंबंधों और संरक्षण नियमों को लिंक करके गहन अंतर्दृष्टियाँ प्रदान करता है, जो एक प्रणाली की भौतिकी और इसकी अंतर्निहित सहमाताओं के बीच एक गहरी कड़ी दर्शाता है।

सहमाताओं और उनकी भूमिका को समझना

भौतिकी में, सहमति का अर्थ होता है कि प्रणाली में एक विशेष रूपांतरण या परिवर्तन कोई दृष्टिगत अंतर नहीं उत्पन्न करते। क्लासिकल यांत्रिकी अक्सर सहमतियों जैसे स्थानिक अनुवाद, घूर्णन, और समय अनुवाद से संबंधित होती है। जब किसी प्रणाली की समीकरणें ऐसे परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तित रहती हैं, तो यह सहमति प्रदर्शित करती है।

स्पेस में गति करने वाले एक मुक्त कण के सरल उदाहरण को लें। उसकी गति को नियंत्रित करने वाले नियम उसके विशिष्ट स्थान पर निर्भर नहीं होते। यदि कण स्पेस में किसी अन्य स्थान पर होता लेकिन समान वेग के साथ, तो यह उसी तरह व्यवहार करेगा। यह स्थानिक अनुवाद के अधीन सहमति को इंगित करता है।

लैग्रेन्जियन यांत्रिकी: आधार

लैग्रेन्जियन यांत्रिकी क्लासिकल यांत्रिकी का पुनर्निर्माण प्रदान करती है, जिसके अंतर्गत एक लैग्रेन्जियन फंक्शन L को परिभाषित किया गया है:

L = T – V
    

जहां T गतिज ऊर्जा है, और V प्रणाली की संभावित ऊर्जा है।

न्यूनतम कार्यवाही का सिद्धांत कहता है कि प्रणाली द्वारा लिए गए दो अवस्थाओं के बीच का पथ वही है जिसके लिए कार्यवाही इंटीग्रल स्थिर है। कार्यवाही S दी जाती है:

S = ∫ L dt
    

इस सिद्धांत से व्युत्पन्न यूलर-लैग्रेंज समीकरण गति के समीकरण प्रदान करते हैं:

d/dt (∂L/∂ẋ) – ∂L/∂x = 0
    

जहां ẋ निर्देशांक x का समय के सापेक्ष व्युत्पन्न होता है।

नोएथर का प्रमेय: सहमति और संरक्षण को जोड़ना

एमी नोएथर का प्रमेय सैद्धांतिक भौतिकी का एक मुख्य आधार है, जो मूलभूत सहमाताओं और संरक्षण नियमों को जोड़ता है। यह कहता है कि किसी भौतिक प्रणाली की कार्यवाही का हर विभेदी सहमति एक संरक्षण नियम के अनुरूप होती है।

उदाहरण के लिए, यदि किसी प्रणाली का लैग्रेन्जियन समय पर स्पष्ट रूप से निर्भर नहीं होता, तो प्रणाली समय अनुवाद सहमति प्रदर्शित करती है, जो ऊर्जा संरक्षण की ओर ले जाती है।

उदाहरण: संवेग का संरक्षण

एक एक-आयामी प्रणाली पर विचार करें, जिसका लैग्रेन्जियन केवल वेग v पर निर्भर करता है, स्थिति x पर नहीं:

L = 1/2 m v²
    

यूलर-लैग्रेंज समीकरण लागू करने पर, स्थानिक स्थानान्तरण सहमति यह इंगित करती है:

d/dt (mẋ) = 0
    

यह समीकरण रैखिक संवेग का संरक्षण बताता है, p = mẋ।

संरक्षण का विचार

ऊपर दिए गए आरेख में घर्षण रहित सतह पर दो कण दिखाए गए हैं। जब तक उन पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता, उनका संयुक्त संवेग स्थिर रहता है, जो संरक्षण के सिद्धांत का एक उदाहरण है।

हैमिल्टोनियन यांत्रिकी: एक वैकल्पिक दृष्टिकोण

लैग्रेन्जियन से हैमिल्टोनियन यांत्रिकी की ओर परिवर्तन चरण स्थान में परिवर्तन शामिल करता है, जिसे निर्देशांक और संवेग से विभक्त किया जा सकता है। हैमिल्टोनियन H प्रणाली की कुल ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है:

H = T + V
    

हैमिल्टन समीकरण, स्थिर कार्यवाही के सिद्धांत से व्युत्पन्न, प्रणाली की समय आपूर्ति प्रदान करते हैं:

ẋ = ∂H/∂p
ṗ = -∂H/∂x
    

यहाँ, p परिवर्ती संवेग है, और समीकरण पहले-क्रम डिफरेंशियल समीकरणों का सेट प्रदान करते हैं, जो द्विवारीय यूलर-लैग्रेंज समीकरण से तुलना में होते हैं।

उदाहरण: ऊर्जा संरक्षण

एक सरल हार्मोनिक दोलित्र के लिए हैमिल्टोनियन:

h = (p²/2m) + (1/2)k x²
    

हैमिल्टन के समीकरण दो सारणीबद्ध समीकरण उत्पन्न करते हैं जो समय के साथ दोलित्र की कुल ऊर्जा को संरक्षित रखते हैं।

चरण स्थान का दृश्यण

ऊपर एक हार्मोनिक दोलित्र के लिए चरण स्थान आरेख है, जो एक बंद लूप के रूप में पथ दर्शाता है, जो निरंतर ऊर्जा का प्रतीक है। प्रणाली हमेशा उसी पथ का अनुसरण करती है, जो ऊर्जा संरक्षण को रेखांकित करता है।

हैमिल्टोनियन यांत्रिकी में नोएथर का प्रमेय

हैमिल्टोनियन यांत्रिकी में, नोएथर का प्रमेय इसी प्रकार लागू किया जा सकता है। हैमिल्टोनियन की केन्द्रीय सहमति एक संरक्षित मात्रा की ओर ले जाती है। अधिक सामान्य रूप से, हैमिल्टोनियन औपचारिकता में समय अनुवाद सहमति ऊर्जा संरक्षण को इंगित करती है।

उदाहरण: कोणीय संवेग का संरक्षण

एक घूर्णीय सममित प्रणाली के लिए, कोणीय संवेग संरक्षित रहता है। विचार करें:

h = (p²/2m) + (1/2) m ω² r²
    

हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कोणीय संवेग L = r × p स्थिर रहता है, दिए गए घूर्णीय सहमति के साथ।

घूर्णीय सहमति का दृश्यण

स्थिति r और संवेग p वेक्टर निरंतर घूर्णीय सहमति के माध्यम से कोणीय संवेग के संरक्षण को प्रतिबिंबित करते हैं।

नोएथर के प्रमेय का प्रभाव और व्यापक परिणाम

नोएथर के प्रमेय का क्लासिकल यांत्रिकी से परे विभिन्न क्षेत्रों में महत्वपूर्ण भूमिका होती है:

• क्वांटम यांत्रिकी: नोएथर के प्रमेय से प्राप्त सहमतियां और संरक्षण नियम कण संबंधों को समझने में महत्वपूर्ण होते हैं।
• सामान्य सापेक्षता: आइंस्टीन के सिद्धांत में, यह प्रमेय वक्रित स्थान-समय सहमतियों में ऊर्जा-संवेग संरक्षण को समझाता है।
• कण भौतिकी: मानक मॉडल नोएथर के प्रमेय द्वारा प्रदत्त सहमति सिद्धांतों पर गहराई से निर्भर करता है।

नोएथर के प्रमेय की संरचनात्मक सुंदरता और सार्वभौमिकता इसकी महत्वता को दर्शाती है। सहमतियों को संरक्षण नियमों से व्यवस्थित रूप से जोड़कर, यह हमारे भौतिक घटनाओं के समक्ष समझ को बहुत बढ़ाता है।

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