Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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Teorema de Noether e leis de conservação


No campo da mecânica clássica, é importante entender os princípios fundamentais que governam o movimento de partículas e sistemas. Os dois formalismos mais poderosos neste campo são a mecânica Lagrangiana e a mecânica Hamiltoniana, nomeados em homenagem aos matemáticos Joseph-Louis Lagrange e William Rowan Hamilton. Dentro destes quadros, o teorema de Noether fornece insights profundos ao ligar simetrias e leis de conservação, demonstrando uma conexão profunda entre a física de um sistema e suas simetrias subjacentes.

Entendendo as simetrias e seu papel

Na física, a simetria implica que uma determinada transformação ou transformação em um sistema não resulta em diferença observável. A mecânica clássica lida frequentemente com simetrias como translação espacial, rotação e translação no tempo. Quando as equações de um sistema permanecem inalteradas sob tais transformações, ele exibe uma simetria.

Tomemos o exemplo simples de uma partícula livre se movendo no espaço. As leis que regem seu movimento não dependem de sua localização específica. Se a partícula estivesse em um local diferente no espaço, mas com a mesma velocidade, ela se comportaria da mesma forma. Isso indica simetria sob translação espacial.

Mecânica Lagrangiana: base

A mecânica Lagrangiana fornece uma reconstrução da mecânica clássica, introduzindo uma função Lagrangiana L que é definida como:

L = T – V

onde T é a energia cinética e V é a energia potencial do sistema.

O princípio da ação mínima afirma que o caminho tomado pelo sistema entre dois estados é aquele para o qual a integral de ação é constante. A ação S é dada por:

S = ∫ L dt

A equação de Euler–Lagrange derivada deste princípio fornece as equações de movimento:

d/dt (∂L/∂ẋ) – ∂L/∂x = 0

onde ẋ denota a derivada da coordenada x em relação ao tempo.

Teorema de Noether: unindo simetria e conservação

O teorema de Emmy Noether é uma pedra angular da física teórica, ligando fundamentalmente simetrias e leis de conservação. Ele afirma que toda simetria diferenciável da ação de um sistema físico corresponde a uma lei de conservação.

Por exemplo, se o Lagrangiano de um sistema não depende explicitamente do tempo, então o sistema exibe simetria de translação no tempo, levando à conservação de energia.

Exemplo: conservação do momento

Considere um sistema unidimensional cujo Lagrangiano depende apenas da velocidade v, não da posição x:

L = 1/2 m v²

A aplicação da equação de Euler–Lagrange, a simetria de transferência espacial implica:

d/dt (mẋ) = 0

Esta equação revela a conservação do momento linear, p = mẋ.

A ideia de conservação

Partícula 1 Partícula 2

O diagrama acima mostra duas partículas em uma superfície sem atrito. A menos que uma força externa atue sobre elas, seu momento combinado permanece constante, o que é um exemplo do princípio de conservação.

Mecânica Hamiltoniana: uma abordagem alternativa

A transição da mecânica Lagrangiana para a mecânica Hamiltoniana envolve uma mudança no espaço de fase, caracterizada por coordenadas e momentos. O Hamiltoniano H representa a energia total do sistema:

H = T + V

As equações de Hamilton, derivadas do princípio da ação estacionária, dão a evolução temporal do sistema:

ẋ = ∂H/∂p
ṗ = -∂H/∂x

Aqui, p é o momento generalizado, e as equações fornecem um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem comparadas às equações de Euler–Lagrange de segunda ordem.

Exemplo: conservação de energia

Para um oscilador harmônico simples com o Hamiltoniano:

h = (p²/2m) + (1/2)k x²

As equações de Hamilton produzem duas equações acopladas que conservam a energia total do oscilador ao longo do tempo.

Visualização do espaço de fase

H = constante

Acima está um diagrama de espaço de fase para o oscilador harmônico, que mostra o caminho como um loop fechado, simbolizando energia constante. O sistema sempre segue a mesma trajetória, o que destaca a conservação de energia.

Teorema de Noether na mecânica Hamiltoniana

Na mecânica Hamiltoniana, o teorema de Noether pode ser aplicado de forma semelhante. A simetria central do Hamiltoniano leva a uma quantidade conservada. Mais geralmente, a simetria de translação no tempo no formalismo Hamiltoniano implica a conservação de energia.

Exemplo: conservação do momento angular

Para um sistema com simetria rotacional, o momento angular é conservado. Considere:

h = (p²/2m) + (1/2) m ω² r²

Podemos concluir que o momento angular L = r × p permanece constante, dada a simetria rotacional.

Visualização da simetria rotacional

R P

Os vetores posição r e momento p refletem a conservação do momento angular através da simetria rotacional contínua.

Influência e implicações mais amplas do teorema de Noether

O teorema de Noether desempenha um papel importante em uma variedade de campos além da mecânica clássica:

  • Mecânica quântica: As simetrias e leis de conservação derivadas do teorema de Noether são importantes para entender as interações de partículas.
  • Relatividade geral: Na teoria de Einstein, o teorema explica a conservação de energia–momento em simetrias de espaço-tempo curvo.
  • Física de partículas: O Modelo Padrão depende fortemente dos princípios de simetria fornecidos pelo teorema de Noether.

A beleza conceitual e a universalidade do teorema de Noether enfatizam sua importância. Ao vincular sistematicamente simetrias a leis de conservação, ele amplia significativamente nossa compreensão dos fenômenos físicos.


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